海南华侨中学 2022-2023 学年第二学期
高一年级第一次阶段性考数学科答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A C B B C A ABD BCD BD ABD
二、填空题
5+2
13. 3 14. -8 15. 32 2 16.
8 , 0,2 3
3
三、解答题
17.解：(1)设 = ( , )，由| | = 3 2，且 // ，
+ =0 = 3 =3
得 2 + 2 = 18 ,所以 = 3或 = 3，
故 = ( 3,3)，或 = (3, 3)．
(2)因为| | = 1，且 ⊥ ( 2 )，
所以 ( 2 ) = 0，即 2 2 = 0，
2
所以 2 2 = 0， = 1， = = ，| | | | 2
因为夹角 ∈ [0, ]所以 与 的夹角 = 4．
18.解：（1）由正弦定理化简得：
sin Bcos A 3 sin A sinC sin(A B) sin AcosB cos Asin B ，
2
π
得 cosB 3 ，而 B (0, π)，故 B ，
2 6
（2）由余弦定理得：b2 a2 c2 2ac cosB ，而 a 4,c 3b，
化简得b2 6b 8 0，解得b 2或b 4，
1
当b 2时， S△ABC ac sin B 2 3
1
，当b 4时， S
2 △ABC
acsinB 4 3，
2
故 ABC的面积为 2 3或 4 3．
19.解：(1) ( ) = 3 2 + 2 = 2 (2 + 6 )，
列表如下：
0 5 2 11 6 12 3 12
2 + 3 13 6 6 2 2 2 6
1 2 0 2 0 1
函数 ( )在区间[0, ]上的图象是：
．
(2)将函数 ( ) = 2 (2 + 6 )
的图象向右平移6个单位后得到：
= 2 sin[2( 6 ) + 6 ] = 2 (2 6 )的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4倍，纵坐标不变，
( ) = 2 ( 得到函数 2 6 ) 的图象，
∵ ∈ [0,2 ]，
∴ 2 6 ∈ [
5
6 , 6 ]，∴ ( )的取值范围是[ 1,2].
20.解：(1)如图，设水轮与 轴正半轴交点为 ， 轴与水面交点为 ．
根据题意，设 = sin( + ) + ，
= =2， = = 1，∠ 0 = 3， = 6，
因为函数 = sin + + 2 的最小正周期 = 4，所以 = 4 = 2，
点 距离水面的高度 h(单位：米)表示为时间 (单位：秒)的函数是 = 2 ( 2 6 ) +
1( 0).
(2) = 2 ( ) + 1 > 2 ( ) > 1根据题意， 2 6 ， 2 6 2 ，
不妨设 ∈ [0,4] ，则 6 2
6
11
6 ，
所以6 < 2
< 5 26 6，解得，3 < < 2，2
2 4
3 = 3 ，
所以，在水轮转动的任意一圈内，点 4距水面的高度超过 2 米的时间有3秒.
21. 解：(1) ( ) = 3sin cos cos 2 = 3 sin 2 1+cos 2 2 2
= sin (2 6 )
1
2，
∵ = , ∴ = 1，即 ( ) = sin (2 6 )
1
2 .
3 1 3
(2) ∵ ( 0) = 3 2 , ∴ sin(2 0 6 ) = 3 ,
∵ ∈ 0 4 ,
7
12 , ∴ 2 0
6 ∈
3 , ，∵ sin(2
0 6 ) =
3
3 <
3
2 ,
∴ 2 2 0 6 ∈ 3 , ，∴ cos (2 0
) = 6，∴ 2 0 = cos[(2 6 3 0
6 ) + 6 ]
= cos(2 0
)cos sin(2 0 )sin
= 3 2+ 3．6 6 6 6 6
22. 解：（1）在△ABC 中， ABC 5 ， AB 3， BC 1，
6
由余弦定理 AC2 AB2 BC2 2AB BC cos ABC 7，
可得 AC 7 ，
AB AC
由正弦定理 ，可得 sin ACB 21 ，
sin ACB sin ABC 14
所以 cos ACB 5 7 ，
14
sin BCD sin 90 ACB cos ACB 5 7故 .
14
（2）在△ABC 2中，有 AC AB2 BC2 2AB BC cos ABC ，
即 AC 4 2 3 cos ，
AC AB 3 sin
由 ，即 sin ACB ，
sin ABC sin ACB AC
在△ACD 中， ADC ， AC CD ，故CD 3AC ，
6
在△BCD 2 2 2中，由余弦定理可得 BD BC CD 2BC CD cos BCD，
即 BD2 1 3 4 2 3 cos 2 1 CD cos ACB
2
13 6 3 cos 2CDsin ACB 3 sin 13 6 3 cos 2CD
AC
6sin 6 3 cos 13 12sin 13 ，
3
因为 BD 0，故 BD2最大时， BD也最大，
sin 5 当
1，即 时， BD
2
最大， BD3 6 25，故 BDmax max 5 . 海南华侨中学 2022-2023 学年第二学期
高一年级第一次阶段性考数学科
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．若向量 a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则 x等于( )
A 5 5．－3 B．3 C. D．－
3 3
2．在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a2－b2＋c2＝ 3ac，则角 B为( )
A.π B.π C.π 2π或 D.π 5π或
6 3 3 3 6 6
3.如图，在△ABC中，点D是线段 AB上靠近 A的三等分点，点 E是线段CD的中点，则（ ）
1 1 1 1
A. AE AB AC B. AE AB AC
6 2 3 2
AE 1
1 1
C. AB 1 AC D. AE AB AC
6 2 3 2
4.在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c.已知 A 45 ，a 6，b 3 2 ，则 B的大小为（ ）
A.30°或 150° B.60°或 120° C.30° D.60°
5. 已知在△ABC中， AB 3, AC 4,BC 10，则 AB BC＝（ ）
3 3 3 3
A. B. C. D.
4 2 2 4
6. 时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温
上升到 20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到 28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭
合，且每天开闭一次．已知某景区一天内 5～17时的气温 (单位：℃)与时间 (单位： )近似满足关系式 =
20 10sin 8
3
8 ，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(sin 10 ≈ 0.8) ( )
A. 1.4 B. 2.4 C. 3.2 D. 5.6
π 1 2π7. 若 sin ，则 cos 2 等于（ ）．
6 3 3
1 1 7 7
A． B． C． D．
3 3 9 9
8.已知O是 ABC所在平面上的一点，若（OA OB） AB （OB OC） BC （OC OA） CA 0
第 1页，共 4页
则O点是 ABC的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
二、多项选择（每道题全部选对得 5 分，漏选得 2 分，错选、不选得 0 分，满分 20 分）
9. 下列等式成立的是（ ）
A. cos215 3 2 sin215 B. sin cos
2 8 8 4
C. 1 sin 40 3 cos40 sin 70 D. tan15 2 3
2 2
10.下列说法中正确的是 ( )
A.模相等的两个向量是相等向量；
.若 2 + + 3 = 0 ，则 : = 1: 6；
.两个非零向量 , ，若| | = | | + | |，则 , 共线且反向；
.设向量 , ，均为单位向量，且| + | = 1
2
，则 与 的夹角为 3
11. 对于 ABC，有如下命题，其中正确的有（ ）
A. 若 sin 2A sin 2B，则 ABC是等腰三角形
B. 若 ABC是锐角三角形，则不等式 sin A cosB恒成立
C. 若 sin2 A sin2 B cos2 C 1，则 ABC为锐角三角形
2
D. 若 AC AB AB ，则 ABC为钝角三角形
12.三角形 ABC中，P是斜边 BC上一点，且满足BP 2PC，点 M、N在过点 P的直线上，若 AM mAB，
AN nAC ， m 0,n 0 ，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A. 为常数 B. m 2n的最小值为 3
m n
m n 16 1 1 9C. 的最小值为 D. 的最小值为
9 m2 n2 5
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.若 ∈ ( 22 , 0)，sin ( ) = ，则 sin (3 + ) + sin (
2 ) =3 ．
14.已知 a 2，b在a上的投影向量为 2a，则 a b =__________
第 2页，共 4页
15.如图，需要测量某塔的高度，选取与塔底 在同一个水平面内的两个测量基点 与 ，现测得∠ = 75 ，
∠ = 45 ， = 96 米，在点 处测得塔顶 的仰角为30 ，则塔高 为 米.
16.如图，边长为 2的正三角形 ABC的边 AC落在直线 l上，AC中点与定点 O重合，顶点 B与定点 P重合.
将正三角形 ABC沿直线 l顺时针滚动，即先以顶点 C为旋转中心顺时针旋转，当顶点 B落在 l上，再以顶点
B为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当△ABC滚动到△A1B1C1时，顶点 B运动轨迹的长度为____________；
在滚动过程中，OB OP的取值范围为____________.
三、解答题（本大题共 2 小题，共 24.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10分)
已知向量 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 = (1, 1)．
(1)若| | = 3 2，且 // ，求向量 的坐标；
(2)若 是单位向量，且 ⊥ ( 2 )，求 与 的夹角 ．
18. (本小题 12分)
在 ABC 3中，三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．且 bcos A a c．
2
（1）求角 B的大小；
（2）若 a 4,c 3b，求 ABC的面积．
19. (本小题 12分)
已知函数 ( ) = 3sin 2 + cos 2 ．
(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 ( )在[0, ]上的图像；
第 3页，共 4页
(2) 先将函数 = ( )的图像向右平移6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的 4倍，纵
坐标不变，得到函数 = ( )的图像，求 ( )在[0,2 ]上的取值范围．
20.(本小题 12.0分)
一个半径为 2米的水轮如图所示，其圆心 距离水面 1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每 4秒转一圈，
如果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 0)开始计算时间．
(1)以过点 且与水面垂直的直线为 轴，过点 且平行于水轮所在平面与水面的交
线的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点 距离水面的高度 (单位：米)
表示为时间 (单位：秒)的函数；
(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点 距水面的高度超过 2米？
21.（本小题满分 12分）
→ →
已知向量 = ( 3 , 1), = ( , 2 )( > 0)，函数 ( ) = · 图象上相邻两条对称轴之间的
距离为2
(1)求 ( )的解析式；
(2) ∈ [ , 7 若 3 10 4 12 ]且 ( 0) = ，求 cos2 3 2 0的值．
22.（本小题满分 12分）
如图，平面四边形 ABCD的对角线相交于四边形内部， AB 3， BC 1， AC CD， ADC .
6
5
（1）若 ABC ，求 sin BCD的值；
6
（2）记 ABC ，当 变化时，求BD长度的最大值.
第 4页，共 4页
