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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
一、温故知新（导）
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是 ，又是 ，（如图18.2-11）它具有的性质应该有哪些呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握正方形的概念、性质并会灵活运用；
2、理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系；
3、掌握正方形的判定条件，能灵活运用正方形性质与判定进行推理或计算.
学习重难点
重点：正方形的定义、性质和判定及运用方法；
难点：正方形的性质及与其他特殊四边形的联系与区别.
二、自我挑战（思）
1、正方形的定义：有一组 相等，且有一个角是 的平行四边形是正方形.
2、正方形即是矩形又是菱形，它有哪些性质呢？
正方形的性质：（1）边： 条边都相等；
（2）角： 个角都是直角；
（3）对角线：对角线 ，每条对角线平分 .
3、我们知道，正方形是特殊的矩形，特殊的菱形，特殊的平行四边形，特殊的四边形，那么，当矩形、菱形、平行四边形、四边形满足什么样的条件时，就成为正方形呢？
正方形的判定方法：
（1）有一组邻边 的矩形是正方形；
（2） 有一个角是 的菱形是正方形；
（3）即是矩形，又是菱形，所以是 ；
（4） 有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形是正方形；
（5）对角线 的四边形是正方形.
4、求证：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
已知：如图，四边形ABCD，对角线AC、BD相较于点O，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD且AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形
三、互动质疑（议、展）
1、正方形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
2、正方形的每一条对角线平分的一组对角，得到的每一个角是多少度？
3、满足下列条件的四边形是不是正方形？（是的在括号内填是；不是的填否.）
①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形． （ ）
③对角线相等的菱形是正方形． （ ）
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（ ）
⑤四条边都相等的四边形是正方形．（ ）
⑥四个角都相等的四边形是正方形．（ ）
⑦对角线垂直且相等的四边形是正方形．（ ）
4、实例：
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图18.2-12，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相较于点O.
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
5、正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？并列表或用框图表示这些关系.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AC=BD，平行四边形ABCD是矩形
C．当AB=BC，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
2、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是 （ ）
A．AC=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AB=BC，CD⊥DA
3、如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4、边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为 cm2．
5、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点，若BM＝，则正方形ABCD的边长为 ．
6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD=32，求四边形AFDE的面积．
六、用
（一）必做题
1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC=BC B．∠AOB=60°
C．OA=AD D．BC=CD
2、给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
3、下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出③
D．由①推出③，由③推出②
4、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（5，0），点E为对角线的交点，则点E的坐标为（ ）．
5、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确结论的是 填序号．
（二）选做题
6、如图所示△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠ABC的平分线相交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC=6，BC=8，则CE的长为 ．
7、如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．
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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
一、温故知新（导）
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是 菱形 ，又是 矩形 ，（如图18.2-11）它具有的性质应该有哪些呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握正方形的概念、性质并会灵活运用；
2、理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系；
3、掌握正方形的判定条件，能灵活运用正方形性质与判定进行推理或计算.
学习重难点
重点：正方形的定义、性质和判定及运用方法；
难点：正方形的性质及与其他特殊四边形的联系与区别.
二、自我挑战（思）
1、正方形的定义：有一组 邻边 相等，且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形.
2、正方形即是矩形又是菱形，它有哪些性质呢？
正方形的性质：（1）边： 四 条边都相等；
（2）角： 四 个角都是直角；
（3）对角线：对角线 互相垂直平分且相等 ，每条对角线平分 每一组对角 .
3、我们知道，正方形是特殊的矩形，特殊的菱形，特殊的平行四边形，特殊的四边形，那么，当矩形、菱形、平行四边形、四边形满足什么样的条件时，就成为正方形呢？
正方形的判定方法：
（1）有一组邻边 相等 的矩形是正方形；
（2） 有一个角是 直角 的菱形是正方形；
（3）即是矩形，又是菱形，所以是 正方形 ；
（4） 有一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形；
（5）对角线 互相垂直平分且相等 的四边形是正方形.
4、求证：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
已知：如图，四边形ABCD，对角线AC、BD相较于点O，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD且AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
又∵AC=BD，
∴ ABCD是矩形，
∴ ABCD是正方形.
三、互动质疑（议、展）
1、正方形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点连线和对角线所在直线.
2、正方形的每一条对角线平分的一组对角，得到的每一个角是多少度？
每一个角都是45° .
3、满足下列条件的四边形是不是正方形？（是的在括号内填是；不是的填否.）
①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．（ 是 ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形． （ 是 ）
③对角线相等的菱形是正方形． （ 是 ）
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（ 是 ）
⑤四条边都相等的四边形是正方形．（ 否 ）
⑥四个角都相等的四边形是正方形．（ 否 ）
⑦对角线垂直且相等的四边形是正方形．（ 否 ）
4、实例：
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图18.2-12，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相较于点O.
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO .
5、正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？并列表或用框图表示这些关系.
由定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；由一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可以看出：
正方形、菱形、矩形都是特殊的平行四边形，正方形即是矩形又是菱形，它们之间的关系用框图表示为：
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AC=BD，平行四边形ABCD是矩形
C．当AB=BC，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
1、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB=BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
2、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是 （ ）
A．AC=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AB=BC，CD⊥DA
2、解：因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故C选项符合题意，
故选：C．
3、如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3、解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=DM=CF=BE．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF=EN=NM=MF，∠ENA=∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA=∠DMN，∠DMN+∠DNM=90°，
∴∠ENA+∠DNM=90°．
∴∠ENM=90°．
∴四边形EFMN是正方形．
故选：D．
4、边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为 cm2．
4、解：由题意可得，
B′E=4-2=2（cm），DE=4-1=3（cm），
∴阴影部分的面积：B′E DE=3×2=6（cm2），
故答案为：6．
5、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点，若BM＝，则正方形ABCD的边长为 ．
5、解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴AH=MH，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
在Rt△AMH中，AM==2，
∴AB=AM+BM=2+，
故答案为：2+．
6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD=32，求四边形AFDE的面积．
6、（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD．
∴∠EDA=∠EAD．
∴AE=DE．
∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形．
（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD=32，
∴AF=DF=DE=AE==16．
∴四边形AFDE的面积为16×16=512．
六、用
（一）必做题
1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC=BC B．∠AOB=60°
C．OA=AD D．BC=CD
1、解：由邻边相等的矩形是正方形可知，当BC=CD时，矩形ABCD是正方形，故选项D符合题意，
而选项A，B，C都不符合题意；
故选：D．
2、给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
2、解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意；
故选：D．
3、下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出③
D．由①推出③，由③推出②
3、解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；
菱形的对角线互相垂直，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
正方形拥有菱形的一切性质，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②；
故选：A．
4、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（5，0），点E为对角线的交点，则点E的坐标为（ ）．
4、解：∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（5，0），
∴OA=3，OB=5，
过D作DH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，DE=BE，
∵∠AHD=∠AOB=90°，
∴∠DAH+∠ADH=∠ADH+∠BAO=90°，
∴∠ADH=∠BAO，
在△ADH和△BAO中，，
∴△ADH≌△BAO（AAS），
∴AH=OB=5，DH=OA=3，
∴OH=8，
∴D（3，8），
∵点B的坐标为（5，0），
∵点E为正方形对角线的交点，
即E（4，4），
故答案为：4，4．
5、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确结论的是 填序号．
5、解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，
即AF=DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE=BF，故①正确；
∠ABF=∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ABF+∠BAO=90°，
在△ABO中，∠AOB=180°-（∠ABF+∠BAO）=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO=OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，
即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
（二）选做题
6、如图所示△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠ABC的平分线相交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC=6，BC=8，则CE的长为 ．
6、（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分线交于D点，
∴DF=DE=DN，
∴矩形FCED是正方形；
（2）解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°，
∴AB=10，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DF=DE=DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB=AC×BC，
则EC（AC+BC+AB）=AC×BC，
故EC==2．
故答案为：2．
7、如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．
7、（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM=EN，
∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN=∠DEF=90°，
∴∠DEM=∠FEN，
∵∠EMD=∠ENF=90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED=EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG=DE，DC=DA=AB=4，∠GDE=∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG=CE，
∴AE+AG=AE+EC=AC=
AD=4．
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF=FB
∴DF==2，
∴正方形DEFG的面积为2××2×=10．
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