(共13张PPT)
22.1 一元二次方程
22一元二次方程
1．问题一
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分 析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得 x2＋10x－900=0. （1）
2．问题二
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分析：设这两年的年平均增长率为x，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程
5（1＋x）2=7.2,
整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2）
3．思考、讨论
这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
x2＋10x－900=0. （1）
5x2＋10x－2.2=0. （2）
一元二次方程的概念
整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程
一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数； bx叫做一次项，b叫做一次项系数， c叫做常数项。
例题讲解
[例1]下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
例题讲解
[例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（x-2）(x+3)=8
1.
2.
3.
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
例题讲解
[例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
例题讲解
［例4 ］已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
［分析］一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。
练习巩固
[练习一 ]将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
2x(x-1)=3(x-5)-4
[练习二] 关于x的方程
在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
本课小结：
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
布置作业：
课本第27页习题1、2、3(共19张PPT)
一元二次方程解法（４）
—公式法
九年级数学(上) 一元二次方程
北京市二十中 王云松
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square)
回顾与复方根的意义:
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2.
如果x2=a,那么x=
用配方法解一元二次方程的的工具:
配方法
回顾与复习
2
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗
心动 不如行动
1.化1:把二次项系数化为1;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
公式法是这样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗
心动 不如行动
1.化1:把二次项系数化为1;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
心动 不如行动
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular).
老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
公式法是这样产生的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗
心动 不如行动
1.变形:化已知方程为一般形式;
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
例 1 解方程：x2-7x-18=0
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
即：x1=9, x2= -2.
学习是件很愉快的事
例 2 解方程：
解：化简为一般式：
这里 a=1, b= , c= 3.
∵b2 - 4ac=( )2 - 4×1×3=0,
即：x1= x2=
动脑筋
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
解：去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0
3x2-7x+8=0
想一想
我最棒 ,用公式法解下列方程
1). 2x2＋x－6＝0；
2). x2＋4x＝2；
3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
4). 4x2+4x+10 =1-8x ；
5). x2－6x＋1＝0 ；
6). 2x2－x＝6 ；
7). 4x2- 3x - 1=x - 2；
8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1);
9). 9x2+6x+1 =0 ；
10). 16x2+8x=3 ；
参考答案：
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,
求这个三角形的三边长.
我最棒 ,会用公式法解应用题!
B
A
C
参考答案:
我最棒 ,解题大师——规范正确!
解下列方程:
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤:
一审;二设;三列;四解;五验;六答.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
小结 拓展
知识的升华
独立
作业
1、习题P38 4;
2、复习题 P44 1。
祝你成功！
知识的升华
独立
作业
根据题意，列出方程：
1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两相去适一丈.问户高,广各几何.”
大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
即
2x2+13.6x-9953.76＝0.
解这个方程,得
x1 ＝9.6;
x2 ＝-2.8(不合题意,舍去).
∴x-6.8=2.8.
答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
x
x-6.8
10
知识的升华
独立
作业
2. 用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0；
2). 5+2＝3x2 ；
3). (x-2)(3x-5) =1;
参考答案:
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本技能来掌握.
一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.
下课了!(共9张PPT)
一元二次方程的解法
北京二十中 王云松
配方法
1． x2+2x=5
2． x2-4x+3=0
能否经过适当变形，将它们转化为
( )2=a
的形式，应用直接开方法求解
1． x2+2x=5
2． x2-4x+3=0
解：1、原方程化为 x2+2x+1=6
2、原方程化为
x2-4x+4=-3+4
请大家归纳：
如何有用配方法解一元二次方程
讲解例题
用配方法解下列方程
1、 x2-6x－7=０ 2、x2+3x+1=0
解：1、移项，得 x2-6x=7
左边配方，得 x2-6x+32=7+32
(x-3)2=16
x-3=(+-) 4
原方程的解是 x1=7, x2=-1
2、移项，得
左边配方，得
原方程的解是
试一试
试一试
用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
思 考
如何用配方法解下列方程？
(1)4x2－12x－1＝0; (2)3x2＋2x－3＝0.
讨 论
请你和同桌讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
配方法归纳
1.若二次项系数不为一，方程两边同除以二次项系数．
２．若有常数项先将常数项移到方程右边
３．方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方
４．利用直接开平方法解方程(共30张PPT)
一元二次方程的解法(3)
因式分解法
22.2.2 一元二次方程的解法
22一元二次方程
因式分解法
一、复习引入
已学过的一元二次方程的解法有：
直接开平方法
请用已学过的一元二次方程的解法解下列方程：
解法二
(直接开平方法):
用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解下列一元二次方程：
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
这样解是否正确呢？
方程的两边同时除以同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式.
注：如果一元二次方程有实数根，那么一定有两个实数根.
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
( )
小张和小林一起解方程
x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小林的解法是这样的：
移项，得 x(3x＋2)＝6(3x＋2),
方程两边都除以（3x+2），得
x＝6.
小林说:“我的方法多简便！”
小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.
当一元二次方程的一边为 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.
0
用因式分解法解下列方程：
练习：用因式分解法解下列方程
小结：
1.因式分解法解一元二次方程的基本思想和方法：
当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个一次因式等于零，分别解两个一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解.
（降次）
2.一元二次方程的解法：
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
作业 P37 1 (4) (6)
P38 2 (6)(共11张PPT)
22.2
一元二次方程的解法
22一元二次方程
直接开平方法
试一试
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2－1＝0;
直接开平方法
x2＝4，
意味着x是4的平方根，所以
即x= 2.
练一练1
解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0；
（4）x2－2x＝0；
（5）（t－2）（t+1）=0；
（6）x（x＋1）－5x＝0.
思考： （４）、（５）、（６）适用刚才的方法吗？
例题讲解
例１解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0；
（2）12（2－x）2－9＝0.
分 析 两个方程都可以转化为
2
＝a
的形式，从而用直接开平方法求解.
例１解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0；
（2）12（2－x）2－9＝0.
解 （1）原方程可以变形为
（x＋1）2＝4，
直接开平方，得
x＋1＝±2.
所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3.
例１解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
解 （2）原方程可以变形为
（ ）2＝ ，
直接开平方，得
＝± .
所以原方程的解是 x1＝ ，
x2＝ .
练一练2
解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0；
（2）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1；
（4）(2x＋3)2－25＝0.
课堂小节
１．直接开平方法的依据是什么？
（平方根）
２．何种类型的一元二次方程适合用直接开平方法？
（左边为含有未知数的平方的形式，右边为非负数或能整理为此形式）
作业
P30练习１（１）（２）
P31练习
P37 习题１（１）（２）；
习题２（１）（２）
