2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区四校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

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2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区四校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，比大的数是( )
A. B. C. D.
2. 年月日，国务院新闻办公室公布：截至年末全国人口总数为万，比上年末增加万人，中国人口的增长逐渐缓慢．用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 已知点、、在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是( )
A. B. C. D.
6. 如图，矩形的边在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）
7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
8. 分解因式： ．
9. 请填写一个常数，使得关于的方程 有两个相等的实数根．
10. 九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为，则可列方程为 ．
11. 已知，则______．
12. 把二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件： ．
13. 根据以下作图过程解决问题：
第一步：在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，以为直径作半圆；
第二步：以点为圆心，为半径作弧交半圆于点如图；
第三步：以点为圆心，为半径作弧交数轴的正半轴于点．
则点在数轴上表示的数为______．
14. 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
15. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
16. 先化简，再求值：，其中是方程的根．
四、解答题（本大题共9小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
计算：．
18. 本小题分
解方程：；
解方程组：．
19. 本小题分
已知，
用含的代数式分别表示，；
当时，求的取值范围．
20. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
若、是原方程的两根，且，求的值．
21. 本小题分
城市书房为市民带来阅读便利，某市计划投资万元建设几间城市书房，为了保证质量，实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了一间城市书房，总投资追加了万元，求原计划每间城市书房的建设费用．
22. 本小题分
某公司研发了一款成本为元的新型玩具，投放市场进行试销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，调研发现在一段时间内，每天的销售量个与销售单价元满足一次函数关系如图：
求与之间的函数关系式；
销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
23. 本小题分
如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度现计划将此余料进行切割：
若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积；
若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长．
24. 本小题分
如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
求反比例函数的关系式；
设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值；
连接，，当时，求点的坐标．
25. 本小题分
定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“阶方点”．
在；；三点中，是反比例函数图象的“阶方点”的有______填序号；
若关于的一次函数图象的“阶方点”有且只有一个，求的值；
若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数大小的比较．掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．
根据有理数大小比较的方法判断即可．
【解答】
解：，
比大的数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【解答】
解：．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．
【解答】
解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.与，无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据偶次方的非负数判断出点的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】
解：，
，
点所在的象限是第二象限．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项的函数解析中，再判断的大小．
根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断，，之间的关系，再判断即可．
【解答】
解：，因为，所以随的增大而增大，所以，不符合题意；
B.，当和时，相等，即，故不符合题意；
C.，当时，随的增大而减小，时，随的增大而减小，所以，不符合题意；
D.，当时，随的增大而增大，时，随的增大而增大，所以，符合题意，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：双曲线经过点，
设，
则，，
矩形，
，
，
，．
∽．
，
．
．
．
．
．
故选：．
先用含的代数式表示的面积，再求．
本题考查求反比例的，通过相似三角形边的关系将三角形的面积用含的代数式表示是求解本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】
解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查提公因式与公式法相结合的因式分解．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的方程，求出的值即可．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．
【解答】
解：若设人数为，则可列方程为：．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：由题意知，
，得：，
故答案为：
由题意得出、，将两等式相加即可得．
本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数图象与几何变换以及抛物线与坐标轴的交点，关键是掌握二次函数的几何变换．
先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得，即可求解．
【解答】
解：把二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，
平移后的解析式为：，
平移后的解析式为：，
平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
，
，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：如图，点即为所求，
连接、，
由题意知，、，
为圆的直径，
，
则，
点在数轴上表示的数为．
故答案为：．
按照要求作图即可得点，连接、，由题意知、、，从而可得，继而可得答案．
本题主要考查作图尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．
14.【答案】
【解析】解：一次函数的图象过点，
，
，
关于
，
，
．
故答案为：．
利用待定系数法求得，再利用一元一次不等式解法得出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，利用待定系数法求得是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：二次函数，
当时，，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，解得，
即直线的函数解析式为，
，点在抛物线上且在第一象限，
设点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
令且，
解得，
此时直线的解析式为，当时，
点横坐标为最大值是，
点经过的路程为：，
故答案为：．
根据题意，可以先求出点、、的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程．
本题考查抛物线与轴的交点、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
16.【答案】解：原式，
是方程的根，
，即，
则原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则分别判断，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：两边都乘以，得，
解得：，
检验：当时，，所以是方程的解．
，
得：，
解得，
代入得：，解得：
所以方程组的解为．
【解析】方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】解：由，得，
由，得；
因为，
所以，，
解得：．
【解析】直接利用已知将原式变形求出答案；
利用得出关于的不等式求出答案．
此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键．
20.【答案】证明：，
无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
解：、是原方程的两根，
，，
，
，
，
，
，．
【解析】此题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
先求出的值，再通过配方得出，即可得出结论；
根据、是原方程的两根，得出，，再根据，得出，再根据，代入计算即可．
21.【答案】解：设原计划每间城市书房的建设费用为万元，则实际每间建设费用为万元，
根据题意得：．
解得．
经检验：是所列方程的根．
答：原计划每间城市书房的建设费用为万元．
【解析】设原计划每间城市书房的建设费用为万元，则实际每间建设费用为万元，根据建设城市书房的间数不变列出方程并解答．
考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
22.【答案】解：设，
将点，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为：；
设每天获得的利润为元，由题意得，
按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，
，
，抛物线开口向下，
当时，随着的增大而增大，
有最大值，当时，，
销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】由待定系数法可得函数的解析式；
设每天获得的利润为元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．
23.【答案】解：如图，由题意得：，，，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
，
抛物线的解析式为：，
四边形是正方形，
，
设，
，
解得：，不符合题意，舍去，
此正方形的面积；
如图，由知：设，
矩形的周长，
，
当时，矩形的周长最大，且最大值是．
【解析】先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据计算的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；
由知：设，表示矩形的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可．
本题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出二次函数解析式是解决问题的关键．
24.【答案】解：点是反比例函数图象上的点，
，
解得：，
故反比例函数的关系式为：；
证明：在和中，
，，，
≌，
，
点坐标为，则可得，
，，
即，
整理得；
解：设点坐标为，
则，，
，，
，
即，
解得舍去或，
点的坐标为：
【解析】将点坐标代入函数解析式即可求得值；
根据可证≌，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
设点坐标为，则可得、的坐标，根据勾股定理求出值，即可求得点的坐标．
本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
25.【答案】解：；
，
函数经过定点，
在以为中心，边长为的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“阶方点”有且只有一个，
由图可知，，，
一次函数图象的“阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，此时图象的“阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，此时图象的“阶方点”有且只有一个，
综上所述：的值为或；

【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
根据定义进行判断即可；
在以为中心，边长为的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“阶方点”有且只有一个，结合图象求的值即可；
在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】
解：到两坐标轴的距离分别是，，
不是反比例函数图象的“阶方点”；
到两坐标轴的距离分别是，，
是反比例函数图象的“阶方点”；
到两坐标轴的距离分别是，，
是反比例函数图象的“阶方点”；
故答案为：；
见答案
在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，
如图，当时，，，，，
当抛物线经过点时，
当抛物线经过点时，舍或
时，二次函数图象有“阶方点”
综上所述：当时，二次函数图象的“阶方点”一定存在．
故答案为：
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