2022-2023学年山东省聊城市运河联盟学校九年级（下）第一次月考数学试卷(含解析）

2022-2023学年山东省聊城市运河联盟学校九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列说法正确的是( )
A. 人中至少有人生日相同
B. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C. 天气预报说明天的降水概率为，则明天一定会下雨
D. 某种彩票中奖的概率是，则买张彩票一定有张中奖
4. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是( )
A. B.
C. 或 D. 或
5. 如图，是的直径，弦交于点，连接、若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7. 若图象上有三个点，，，则，，大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9. 等腰三角形一边长为，它的另外两条边的长度是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
10. 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，透明的圆柱形玻璃容器容器厚度忽略不计的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为( )
A. B. C. D.
12. 如图所示，在矩形中，，，点是上的中点，、均以的速度在矩形边上匀速运动，其中动点从点出发沿方向运动，动点从点出发沿方向运动，二者均达到点停止运动，设点的运动时间为，的面积为，则下列能大致反应与函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 函数中，自变量的取值范围是 ．
14. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是______．
15. 关于的方程有两个不相等实根，则的取值范围是______．
16. 用半径为、圆心角为的扇形铁皮制作一个圆锥形漏斗，则这个漏斗的高是______ ．
17. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使按照此规律，线段的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：；
解方程：．
19. 本小题分
第届冬奥会于年月日在北京胜利闭幕某校七、八年级各有名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理得分用表示：
：，：，：，：，：，：，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如：
已知八年级测试成绩组的全部数据如下：，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
， ；
八年级组测试成绩的中位数是 ；
若测试成绩不低于分，则认定该学生对冬奥会关注程度高请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
20. 本小题分
如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，．
求证：∽；
若的面积为，求平行四边形的面积．
21. 本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，与轴交于点．
求一次函数的表达式；
若点在轴上，且的面积为，求点的坐标．
22. 本小题分
如图是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点为眼睛所在位置，为的中点，连接，当时，称点为“最佳视角点”，作，垂足在的延长线上，且．
当时，求的长；
若，求的长．结果精确到，参考数据：，
23. 本小题分
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同
求每次下降的百分率；
若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24. 本小题分
如图，在中，为的直径，点在上，为的中点，连接，并延长交于点连接，在的延长线上取一点，连接，使．
求证：为的切线；
若，，求的半径．
25. 本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，．
求抛物线的解析式；
在第二象限内的抛物线上确定一点，使四边形的面积最大，求出点的坐标；
在的结论下，点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在中，，，，
．
故选：．
直接利用锐角三角函数的定义得出的值．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】
【解析】解：、人中至少有人生日相同，故A符合题意；
B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，故B不符合题意；
C、天气预报说明天的降水概率为，则明天下雨的可能性是，故C不符合题意；
D、某种彩票中奖的概率是，则买张彩票不一定有张中奖，故D不符合题意；
故选：．
根据概率公式，概率的意义，逐一判断即可．
本题考查了概率公式，概率的意义，熟练掌握概率公式，概率的意义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
而点坐标为，
点的对应点的坐标是或．
故选：．
根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点的横纵坐标乘以或得到其对应点的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
5.【答案】
【解析】解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，取网格点，连接，
由网格图，可得：，，，
，
是直角三角形，且，
，
故选：．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求、，再根据三角函数的意义可求出的值．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：函数中，，
函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，由随着的增大而增大，
又图象上有三个点，，，
，，
，，的大小关系为，
故选：．
依据在每个象限内，由随着的增大而增大，即可得到，，的大小关系．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解决问题的关键是依据，得到函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，由随着的增大而增大．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数与二次函数的图象，掌握抛物线和直线的性质，分别判断出一次函数与二次函数的系数与常数项的符号是解题的关键．
先由二次函数的图象判断出、的正负，再由一次函数图象得到、的正负，比较看是否一致即可解答．
【解答】
解：由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
B.由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
C.由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
D.由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：当等腰三角形的底边为时，
此时关于的一元二次方程有两个相等实数根，
，
，
此时两腰长为，
，
满足题意，
当等腰三角形的腰长为时，
此时是方程的其中一根，
，
，
此时方程另外一根为：，
，
不能组成三角形，不合题意，
综上所述，，
故选：．
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
10.【答案】
【解析】解：由翻折的性质可知，，，
在中，，
，
，
，
，
故选：．
根据翻折的性质，可得到，进而求出，，再根据进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，翻折的性质以及含角的直角三角形的性质是正确解答的前提．
11.【答案】
【解析】解：如图：将圆柱展开，为上底面圆周长的一半，
作关于的对称点，连接交于，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为的长，即，
延长，过作于，
，
，
中，由勾股定理得：，
则该圆柱底面周长为．
故选：．
将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
12.【答案】
【解析】解：当时，
，
该函数为开口向下的抛物线；
当时，
同理可得：，
该函数为一次函数；
当时，
同理可得：；
该函数为开口向下的抛物线，
故选：．
分、、三段，分别求出函数表达式即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
13.【答案】．
【解析】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】
【解析】解：把、、分别记为、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，即、、、，
同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】且
【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为且．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
16.【答案】
【解析】解：如图是圆锥的轴截面，，
扇形的弧长底面周长，
，，
由勾股定理知，，
故答案为：．
利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长得到圆锥底面半径，进而利用勾股定理求得圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算，利用了弧长公式和圆的周长公式，勾股定理求解．
17.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，
当时，，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到的式子，从而可以写出线段的长．
本题主要考查图形规律问题、解直角三角形，解答本题的关键是发现的变化特点．
18.【答案】解：原式
；
，
，，，
，
，
解得．
【解析】先计算负整数指数幂，化简二次根式和特殊角三角函数值，然后根据实数的混合计算法则求解即可；
利用公式法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值，化简二次根式，实数的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
19.【答案】 分
【解析】解：由题意得，，
，
故答案为：，；
把八年级组测试成绩从小到大排列为：，，，，，，，处在最中间的数据为，
八年级组测试成绩的中位数是分，
故答案为：分；
人，
该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人．
用八年级组测试的人数除以其人数占比即可求出，进而求出的值即可；
根据中位数的定义求解即可；
用两个年级各自的总人数乘以其样本中测试成绩不低于分的人数占比，然后相加即可得到答案．
本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数，灵活运用所学知识是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
∽；
解：四边形是平行四边形，
，平行且等于，
∽，∽，
，
，，
，
，，
，
．
【解析】要证∽，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用，可得一对内错角相等，则可证．
由于∽，可根据两三角形的相似比，求出的面积，也就求出了四边形的面积．同理可根据∽，求出的面积．由此可求出 的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．
21.【答案】解：把代入反比例函数中得：，
反比例函数解析式为，
把代入反比例函数得：，
的坐标为，
把、的坐标代入一次函数中得：
解得
一次函数的解析式为；
一次函数与轴交于点，
，
，，点在轴上，且的面积为．
，
，
，
或．

【解析】把代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再把点、的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
根据结合三角形面积公式求出的长即可得到答案．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
22.【答案】解：连接，
为的中点，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
的长为；
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
由题意得：
，，，
，
，
为的中点，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的长约为．
【解析】连接，根据已知可得是的垂直平分线，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出，，的长，再利用平行线的性质求出的度数，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：设每次下降的百分率为，根据题意，得：
，
解得：舍或，
答：每次下降的百分率为；
设每千克应涨价元，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价元．
【解析】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到隐含的相等关系，列出方程，解答即可．
设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
24.【答案】证明：如图，连接，
是圆的直径，则，
为的中点，则，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，
是圆的直径，则，
，，
，
又，
∽，
：：，
：：，，
，则，
的半径为．
【解析】连接，由圆周角定理可得，由等弧对等角可得，再进行等量代换可得便可证明；
连接，由圆周角定理可得，，于是，由∽可得：：，再代入求值即可．
本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
25.【答案】解：，，，
，即，
解得：，
，
，，
，
，
设抛物线解析式为，将代入，
得：，
解得：，
，
该抛物线的解析式为；
如图，过点作轴交于点，
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为；
存在如图，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．
当点在轴上方时，与纵坐标相等，
，
解得：，舍去，
，
当点在轴下方时，与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
，，
综上所述，点的坐标为，，
【解析】根据勾股定理求出、，得出点、的坐标，进而得出点的坐标，运用待定系数法即可求出答案；
如图，过点作轴交于点，利用待定系数法求出设直线解析式，设，则，根据，得出，运用二次函数求最值方法即可得出答案；
如图，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方当点在轴上方时，根据与纵坐标相等，建立方程求解即可；当点在轴下方时，根据与纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．
本题是有关二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积和四边形面积，平行四边形性质，解一元二次方程等知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握待定系数法及平行四边形性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想思考解决问题是解题关键．
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