一元二次方程及解法[上学期]
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课件29张PPT。 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设:长方形绿地的宽为x,xx +10x(x+10)=900x2+10x-900=0由题意得:整理得: 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.设这两年的年平均增长率为x, 去年今年明年5万册5(1＋x)万册5(1＋x)(1＋x)万册xx由题意得:整理得:5(1＋x)2=7.2 5x2＋10x－2.2=0 5(1＋x)2万册7.2万册x2＋10x－900=0 (1)5x2＋10x－2.2=0 (2)思考、讨论 这两个方程都是不是一元一次方程？
那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？
它们有什么共同特点呢？ 共同特点：
（1） 都是整式方程
（2） 只含有一个未知数
区别： 未知数的最高次数是2 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次x2＋10x－900=0 (1)5x2＋10x－2.2=0 (2)思考、讨论 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 通常可写成如下的一般形式： ax2＋bx＋c＝0 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.1.下列方程中哪些是一元二次方程？(a≠0)2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 3.关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是什么？4.关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.一元二次方程的解法（一）试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）(x+1)2＝81;这种方法叫做直接开平方法.解：(1)开平方，得：
X=±2(2) 开平方，得：
x+1=±3∴原方程的解为
x1=2,x2＝－4∴原方程的解为
x= ±2 形如 （a≠0）的一 元二次方程的解法：当b≧ 0时 ，当b< 0 时 ，此方程无实数解.直接开平方法解下列方程:（1） y2＝5 ； （2）4(x+3)2＝12;（3） x2-100＝0 ； （4）(2x+3)2-25＝0;解:将方程左边分解因式 得 (x-10)(x+10)＝0x-10=0或x+10=0∴x1=10, x2=-10解:将方程左边分解因式 得 (2x-2)(2x+8)＝02x-2=0或2x+8=0∴x1=1, x2=-4这种方法叫做因式分解法.解下列方程：（3）3x2＋2x=0； （4）x2= 3x .（1）16x2-25＝0 ； （2）x2- 4x +4＝0;注意:用因式分解法解一元二次方程,先要把方程化为一般形式,即等式的一边为0.练 习
解下列方程(课本P30 练习 1)
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0；
（5）(t－2)(t+1)=0； （6）x(x＋1)－5x＝0.2.解下列方程：3.小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么？作业：一、用直接开平方法解下列方程：(1)x2-16=0 (2)x2-32=0
(3)3x2 - =0 (4)2y2=
(5) 9(5x+1)2=49
(6) 5（2x-1）2=4(2x-1)2+9二、用因式分解法解下列方程：(1)4x2-121=0 （2）5x2+x = x2+2x
(3)(x+1)2+3(x+1)=0 (4) 2x(3x-1)=5(3x-1)今天我们学到了……一元一次方程的有关概念一元一次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)一元一次方程的解法：直接开平方法因式分解法例１、方程 是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项、一次项系数及常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8.
移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３，一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.一元二次方程的解法（二）一、复习旧知，提出问题：1.解下列方程，并说明所用的方法。（1）3－2x2=1 (2)(x+1)2-6=0 (3)(x－2)2-1=0 2.请说出完全平方公式。(x+a)2=(x-a)2=x2+2ax+a2x2-2ax+a23.你能解以下方程吗？（1）x2＋2x＝5 (2)x2-4x+3=0都可化为x2=b(b≧0)或(x-a)2=b(b≧0)今天我们要研究二次项系数为1的一般形式的一元二次方程的解法。二、探究方程解法：问题1：对于方程（1）x2＋2x＝5 (2)x2- 4x+3=0能否经过适当的变形，将它们转化为（ ）2＝b的形式，应用直接开方法求解呢？问题2：把方程x2+2x=5变形为(x+1)2=6,把方程x2-4x+3=0变形为(x-2) 2=1,方程的左边和右边各有什么特征？可以用什么方法求解？方程的左边是一个含有未知数的_________，右边是一个_______，可以用直接开平方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做_______。配方法非负数完全平方式三、例题：例1.用配方法解下列方程：（1）x2-6x-7=0 (2)x2+3x+1=0例2.如何用配方法解下列方程？ (1) 4x2-12x-1=0
(2) 3x2+2x-3=0课堂小结：配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到等号右边，方程两边同除以二次项系数，使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法求解；如果右边是个负数，则原方程无实根。四、课堂练习：课本P33 练习1、2。五、作业：一、填空：1. x2-2x+____=(x- )2 2. x2+16+____=(x+ )23. y2+5y+____=(y+ )2 4. 2x2－5x+____=2(x- )2二、用配方法解下列方程：1. x2－10x－11=02. x2－5x+6=03. x2－4x+7=04. x2+6x+7=0三、用配方法解下列方程：1. 4x2＋4x＋1=02. 9x2－6x＋1=03. 2x2－x－1=04. 5x2－4x－1=0一元二次方程的解法（三）一、复习旧知，提出问题2.用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3.用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一个更直接的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索问题的解决方法：问题3：在研究了问题1和问题2后，你能得出方程
ax2+bx+c=0的根吗？当b2- 4ac<0时的情况呢？这个公式说明一元二次方程的根是由方程的系数所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中的系数a,b,c的值直接求得方程的根。这种解一元二次方程方程的方法叫做公式法。三、例题：例1、解下列方程：
（1）2x2+x-6=0 (2)x2+4x=2 (3) 5x2-4x-12=0
(4)4x2+4x+10=1-8x （5）x2-x+1=0四、课堂练习：P35练习五、知识扩展：一元二次方程根的判别式我们在一元二次方程的配方过中得到： 发现只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，
得：也就是说，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac≥0时才有实数根.我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；③当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，
用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根. 新题型：
应用判别式来确实方程中的待定系数 练习1：不解方程，判别下列方程根的情况.①2x2+3x-4=0 ②16y2+9=24y
③x2+1=-x ④ 5(x2+1)-7x=0六、作业：2、用适当的方法解下列方程：配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到等号右边，方程两边同除以二次项系数，使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法求解；如果右边是个负数，则原方程无实根。
那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？
它们有什么共同特点呢？ 共同特点：
（1） 都是整式方程
（2） 只含有一个未知数
区别： 未知数的最高次数是2 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次x2＋10x－900=0 (1)5x2＋10x－2.2=0 (2)思考、讨论 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 通常可写成如下的一般形式： ax2＋bx＋c＝0 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.1.下列方程中哪些是一元二次方程？(a≠0)2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 3.关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是什么？4.关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.一元二次方程的解法（一）试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）(x+1)2＝81;这种方法叫做直接开平方法.解：(1)开平方，得：
X=±2(2) 开平方，得：
x+1=±3∴原方程的解为
x1=2,x2＝－4∴原方程的解为
x= ±2 形如 （a≠0）的一 元二次方程的解法：当b≧ 0时 ，当b< 0 时 ，此方程无实数解.直接开平方法解下列方程:（1） y2＝5 ； （2）4(x+3)2＝12;（3） x2-100＝0 ； （4）(2x+3)2-25＝0;解:将方程左边分解因式 得 (x-10)(x+10)＝0x-10=0或x+10=0∴x1=10, x2=-10解:将方程左边分解因式 得 (2x-2)(2x+8)＝02x-2=0或2x+8=0∴x1=1, x2=-4这种方法叫做因式分解法.解下列方程：（3）3x2＋2x=0； （4）x2= 3x .（1）16x2-25＝0 ； （2）x2- 4x +4＝0;注意:用因式分解法解一元二次方程,先要把方程化为一般形式,即等式的一边为0.练 习
解下列方程(课本P30 练习 1)
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0；
（5）(t－2)(t+1)=0； （6）x(x＋1)－5x＝0.2.解下列方程：3.小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么？作业：一、用直接开平方法解下列方程：(1)x2-16=0 (2)x2-32=0
(3)3x2 - =0 (4)2y2=
(5) 9(5x+1)2=49
(6) 5（2x-1）2=4(2x-1)2+9二、用因式分解法解下列方程：(1)4x2-121=0 （2）5x2+x = x2+2x
(3)(x+1)2+3(x+1)=0 (4) 2x(3x-1)=5(3x-1)今天我们学到了……一元一次方程的有关概念一元一次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)一元一次方程的解法：直接开平方法因式分解法例１、方程 是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项、一次项系数及常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8.
移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３，一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.一元二次方程的解法（二）一、复习旧知，提出问题：1.解下列方程，并说明所用的方法。（1）3－2x2=1 (2)(x+1)2-6=0 (3)(x－2)2-1=0 2.请说出完全平方公式。(x+a)2=(x-a)2=x2+2ax+a2x2-2ax+a23.你能解以下方程吗？（1）x2＋2x＝5 (2)x2-4x+3=0都可化为x2=b(b≧0)或(x-a)2=b(b≧0)今天我们要研究二次项系数为1的一般形式的一元二次方程的解法。二、探究方程解法：问题1：对于方程（1）x2＋2x＝5 (2)x2- 4x+3=0能否经过适当的变形，将它们转化为（ ）2＝b的形式，应用直接开方法求解呢？问题2：把方程x2+2x=5变形为(x+1)2=6,把方程x2-4x+3=0变形为(x-2) 2=1,方程的左边和右边各有什么特征？可以用什么方法求解？方程的左边是一个含有未知数的_________，右边是一个_______，可以用直接开平方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做_______。配方法非负数完全平方式三、例题：例1.用配方法解下列方程：（1）x2-6x-7=0 (2)x2+3x+1=0例2.如何用配方法解下列方程？ (1) 4x2-12x-1=0
(2) 3x2+2x-3=0课堂小结：配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到等号右边，方程两边同除以二次项系数，使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法求解；如果右边是个负数，则原方程无实根。四、课堂练习：课本P33 练习1、2。五、作业：一、填空：1. x2-2x+____=(x- )2 2. x2+16+____=(x+ )23. y2+5y+____=(y+ )2 4. 2x2－5x+____=2(x- )2二、用配方法解下列方程：1. x2－10x－11=02. x2－5x+6=03. x2－4x+7=04. x2+6x+7=0三、用配方法解下列方程：1. 4x2＋4x＋1=02. 9x2－6x＋1=03. 2x2－x－1=04. 5x2－4x－1=0一元二次方程的解法（三）一、复习旧知，提出问题2.用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3.用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一个更直接的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索问题的解决方法：问题3：在研究了问题1和问题2后，你能得出方程
ax2+bx+c=0的根吗？当b2- 4ac<0时的情况呢？这个公式说明一元二次方程的根是由方程的系数所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中的系数a,b,c的值直接求得方程的根。这种解一元二次方程方程的方法叫做公式法。三、例题：例1、解下列方程：
（1）2x2+x-6=0 (2)x2+4x=2 (3) 5x2-4x-12=0
(4)4x2+4x+10=1-8x （5）x2-x+1=0四、课堂练习：P35练习五、知识扩展：一元二次方程根的判别式我们在一元二次方程的配方过中得到： 发现只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，
得：也就是说，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac≥0时才有实数根.我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；③当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，
用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根. 新题型：
应用判别式来确实方程中的待定系数 练习1：不解方程，判别下列方程根的情况.①2x2+3x-4=0 ②16y2+9=24y
③x2+1=-x ④ 5(x2+1)-7x=0六、作业：2、用适当的方法解下列方程：配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到等号右边，方程两边同除以二次项系数，使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法求解；如果右边是个负数，则原方程无实根。