参考答案：
1．C
解:向量，，若与方向相反，
所以，解得..
2．C
解:由题，，∴.
3．A
解:由题意，得，，
则与的夹角的余弦值为．
4．A
解:由正弦定理得，
即，，
∵,∴，即，，
5．B
解:
在上的投影向量为
6．D
解:由题意，在中，由余弦定理，
；
因为，所以，
在中，由正弦定理所以，
解得
7．B
解：如图，因为点为的中点，，
所以，，
，
所以，即，解得
所以，的值为.
8．C
解,
即 ,
又 ,
,
即 ,
, 又.
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知, ,,
,
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
.
9．CD
解:选项A：复数的虚部为，故A错误；
选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，
对应的点的坐标为，位于第二象限，故B判断错误；
选项C：，故C判断正确；
选项D：设，，对应的点的坐标为，由得，所以在以原点为圆心1为半径的圆内（含圆周），在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为，故D判断正确.
故选：CD
10．BCD
解:对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；
对B，由图易得，直线平分角，
且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向，
易知均为含的直角三角形，故，则，
而，故，故，故B正确；
对C，，
，则，又，，
，，故C正确；
对D，由C知，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
11．AC
解:对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；
对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：
对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．
故选：AC.
12．AD
解:以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
A选项：易知，，，，所以，，
则，所以，所以A正确.
B选项：易知，，，，
，，所以，，，
所以，得，解得，，所以，所以B错误.
C选项：由选项A，B知，则，
，，所以C错误.
D选项：易知，，设，则，，
所以.因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值40.所以的取值范围是，所以D正确.
故选：AD.
13．
解因为，，
所以，
所以.
14．
解:设的中点是，连接，
由，可得，
因为，所以，
所以为的五等分点（靠近点），
即，
所以的面积为的面积的．
故答案为：.
15．或1
解:因为，
所以，
所以或，
当时，由可得的面积，
当时，，的面积，
所以的面积为或1.
故答案为：或1.
16．
解:在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
17．解:（1），
故，
即，
化简得：，
故；
（2），
所以，
两式平方相加得：，
故.
18．解:（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，
在△AEF中，由正弦定理得：，
即，
解得；
（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ABE中，，
所以隧道长度．
19．解:（1）方法一：，
所以，
所以
.
方法二：在中，由正弦定理得：，
所以，
所以.
因为，所以，所以，
因为.
（2）方法一: ，
当且仅当时取，
，
.
方法二:
在中，由余弦定理得：
当且仅当取“=”）
所以,
所以的面积.
.
20．解:（1）因为，
所以 .
（2）①因为，
所以，所以；
②两人在t时刻相距，
所以
当时，即小时后，他们两人相距最短．
21．解:（1）在中，，故，
即，
同理可得：，
，为定值.
（2）在中，，
即，
故，
当且仅当时等号成立，
故当点是的中点时，三条小径的长度之和最小， 最小为 米.
22．解:（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.
则.
由于就是的夹角.
∴.
∴的余弦值为.
（2）设.
.
∴.
由题得.
①当点在上时，设，
∴；
②当点在上时，设，
∴舍去；
③当点在上时，设，
∴舍去；
④当点在上时，设，
∴.
综上，存在或者.
答案第1页，共2页曲靖市重点中学 2025 届高一下学期第一次阶段性测验 内角大于或等于120 时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中所求的点称为费马点.已知 a,b,c分
数 学 试 卷 cos A 别是△ABC三个内角 A,B,C的对边，且b2 a c 2 6， sin C ，若点 P为△ABC的费马
时间：120 分钟 总分：150 分 2cosB 6
考试范围：新人教 A 版必修 2 第六章，第七章（前两节） 点，则 PA PB PB PC PA PC ( )
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上； A． 6 B． 4 C． 3 D． 2
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效； 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效，务必注意对应答题； 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分．
4．考试结束后，只交答题卡，试卷自己带走. 9．下列命题为真命题的是（ ）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 A．复数 2 i的虚部为 - i
目要求的.
B．在复平面内，复数 2 i的共轭复数对应的点在第四象限
1．已知向量 a (m,3)，b 1,m ，若 a与b方向相反，则m （ ）
C i n 1 i
4n
A 0 B 3 C - 3 D 3 ．若 为虚数单位， 为正整数，则． ． ． ． 1 1 i
2．已知 2 i 2 z 4 3i ，则 z z （ ） D．若 z 1，则在复平面内 z对应的点 Z的集合确定的图形面积为 π
A． i B． i C．1 D．－1 10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另
3．已知点 A 1,1 ， B 2, 1 ，向量 a 2,1 ，b 1,1 ，则 AB与 a b的夹角的余弦值为（ ） 一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正
六边形 ABCDEF ，下列说法正确的是（ ）
A． - 5 B - 2 5 C 5 2 5． ． D．
5 5 5 5 A． AC AE 2 BF B． AC AE AD
4．已知 a，b，c为△ABC的三个内角 A，B，C所对的边，若 3bcos C＝c（1－3cos B），则 sin C∶sin A＝（ ） 3
A．3∶1 B．3∶2 C．1∶3 D．4∶3 2C． AD AB AB D． AD在 AB上的投影向量为 AB
5．已知 b 2 a ，若 a与b的夹角为120 ，则 2a b在b上的投影向量为（ ）
11．在△ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，下列说法中正确的是（ ）
3
A． 3b B． b
1
C． b D．
2 2 3b A．“△ABC为锐角三角形”是“ sin A cos B ”的充分不必要条件
6．冬奧会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格 B．若 sin 2A sin 2B，则△ABC为等腰三角形
融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定 C．命题“若 A B，则 sin A sin B ”是真命题
的角度，比如在弯折位置通常采用 30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度
D．若 a 8,c 10,B ，则符合条件的△ABC有两个
是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得 AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点 C恰好 3
在边 BD上，请帮忙计算 sin ACD的值（ ） 12．如图 1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层
5 2 14 形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物，某博古架的部分示意图如图A． B．
9 9 2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为 1，则下列结论正确的是（ ）
C 22 14 A．． D． BQ OJ
6 6 3
7．在△ABC中，点 E为 AC的中点，AF 2FB，BE与 CF交于点 P，且满足 BP BE B．若AY xDV yHM，则x y ，则 的值为（ ） 2
1 1 2 3
A． B． C． D． C． AY OJ BQ 2DV HM 0
3 2 3 4
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个 D．设 Z为线段 AK上任意一点，则UZ KZ 的取值
三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于 9
范围是 ,40
120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一 4
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 20．（本题满分 12分）如图，设 Ox、Oy是平面内相交成60 角的两条数轴， e1,e2 分别是与 x轴，y轴正方
13．在复平面内，O为坐标原点，向量OA所对应的复数为 z1 1 2i，向量 AB所对应的复数为 z2 4 3i， 向同向的单位向量，若向量OP xe1 ye2 ，则把有序数对 x, y 叫做向量OP在坐标系 xOy中的坐标，设
点 C所对应的复数为 z3 1 4i，则 cos ABC 的值为_________. OP 2e1 e2 .
14．如图 3所示，设 P为△ABC内一点，且 2PA 2PB PC 0，则 S ABP : S ABC ________． (1)计算的 OP 大小；
15．在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，sin 2A cos A,bc 2，则△ABC的面积为__________.
16．如图 4 所示，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的仰角 (2)甲在 Ox上距 O点 3千米的点 A处，乙在 Oy上距 O点 1千米的点 B处，现在甲沿 xO的方向，乙沿Oy的
MAN 45 ,C点的仰角 CAB 30 以及 MAC 75 ；从 C点测得 MCA 60 ，已知山高 BC=50m， 方向同时以 4千米/小时的速度行走；
则山高 MN=________m . ①若过半小时后甲到达 C点，乙到达 D点，请用 e1 与 e2 来表示CD；
②若 t时刻，甲到达 G点，乙到达 H点，求 GH 的最小值.
图 3 图 4
四、解答题：本题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题各 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤. 21．（本题满分 12分）农田节水灌溉的目的是节约水资源 土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌
17．（本题满分 10分）已知 a cos , sin ,b cos , sin ,0 . 溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效.如图，等腰梯形 ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC
(1)若a b 2,求证a b. 为农田与河流分界的部分河坝，BC长为 800米， B 75
.现在边界 BC上选择一点 Q，修建两条小水渠 QE，
QF，其中 E，F分别在边界 AB，DC上，且小水渠 QE，QF与边界 BC的夹角都是60 .
(2)设c 0,1 ，若a b c ，求cos 的值. (1)探究小水渠 QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
(2)为实现高效灌溉，现准备在区域 AEQFD内再修建一条小水渠 EF，试问当点 Q在何处时，三条小水渠（QE，
QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？
18．（本题满分 12分）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B，E，
F为山脚两侧共线的三点，在山顶 A处测得这三点的俯角分别为30 ，60 ， 45 ，计划沿直线 BF开通穿山
隧道，现已测得 BC，DE，EF三段线段的长度分别为 3，1，2.
（1）求出线段 AE的长度；
（2）求出隧道 CD的长度. 22．（本题满分 12分）如图，正方形 ABCD的边长为 6，E是 AB的中点，F是 BC边上靠近点 B的三等分点，
AF与 DE交于点 M.
(1)求 EMF 的余弦值.
(2)若点 P自 A点逆时针沿正方形的边运动到 A点，在这个过程中，是否存在这样的点 P，使得 EF MP？
若存在，求出 MP的长度，若不存在，请说明理由.
19．（本题满分 12分）在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知b 4，且bcosC 1 c a .
2
(1)求 B；
(2)若 D在 AC上，且 BD⊥AC，求 BD的最大值.
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