一元二次方程[上学期]
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文档简介
第22章一元二次方程
单元整体说明
单元教材分析
本章主要的内容有两个方面：（1）一元而次方程的基本概念及其解法；（2）一元二次方程在实际问题中的应用——实践与探索。其中一元二次方程的基本解法在本章知识及整个中学数学知识体系中起着举足轻重的作用。因此，对这部分内容的教学要不惜花费大量的时间和精力；还要注意本章内容的相互联系，将教学环境置于实际情景之中，让学生感受和经历在实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中进行解释、检验和应用的过程，从而认识数学的价值。
单元整体目标
本章应联系一次方程、方程组和函数等已有知识，使学生了解一元二次方程的基本概念，进一步体会到“方程是刻画显示世界的一个有效的数学模型。”同时，应使学生掌握一元二次方程解法的基本思想，能够比较灵活地运用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等方法去解有简单数字系数的一元二次方程；理解一元二次方程与一院一次方程的联系，体会转化与类比的思想；能够从具体的实际情境中抽象出数学模型，列出一院二次方程并求解。
1 . 一元二次 方程
[教学目标]
·知识与能力
1、正确理解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式。
3、培养学生有具体到抽象、由特殊到一般的分析、概括能力。
·过程与方法
为了能使学生正确理解一元二次方才发横的概念，掌握一元二次方程多一般形式，本节以学生熟悉的方程和一元一次方程的复习入手，然后用两个与实际生活相关的实例列出一元二次方程，让学生意识到已有的方程知识已经不能满足学习的需要，必须进一步拓展和探究才能更有效的解决实际问题。从而引出一元二次方程。
·情感态度与价值观
体会类比的思想的运用，形成和发展学生的数学观念和思维方式。
[重点难点]
·1．经历抽象一元二次 方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解一元二次方程及相互概念。
·2．经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算能力及意识，能列出方程来刻画实际问题。
[教学环节]
[知识分析]
1．一元二次方程的引入
[师]：在前面，我们已经学习过通过列一元一次方程，二元一次方程组来解决实际问题，但有些问题，所列出的方程它们是一元一次方程吗？是二元一次方程吗？它们又有什么特点呢？现在我们就来看两个例题：
[生]：带着老师的问题，进入问题的解答。
问题1
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽为多少？
[师]：认真读题，分析数量关系，根据列方程解应用题的一般步骤，列出方程。
[生]：认真审题，列出方程。
分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题，现设长方形绿地的宽X米，则长为（X+10）米，不难列出方程得：
X（X+10）=900
整理可得： X +10X-900=0 （1）
问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
[师]:认真审题,列出方程.
[生]:运用列方程解应用题的一般步骤,列出方程。
分析：设这两年的年平均增长率为X，我们知道，去年年底的图书书是5万册，则今年年底的图书书是（ ）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（ ）倍，所以可得方程：
5（1+X） =7.2
整理得: 5X +10X-2.2=0 (2)
问题3
从前有一天，一个醉汉拿着一根竹竿进屋横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，这时一道的另一个醉汉教他沿着门的两个对角线斜 着拿竿，这个醉汉一试不多不少刚好把竹竿拿进去了，你知道竹竿有多长吗？
[师]：请你根据这一问题列出方程
[生]：弄清题意，根据列方程解应用题的步骤，列出方程，
[点拔]本例中，设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，门框的对角线长为x尺，根据“宽2+高2=对角线2”可列方程：
（x-4）2+(x-2)2=x2,
整理得：x2-12x+20=0, （3）
[师]：现在我们观察刚才我们所得到的（1）（2）（3）三个方程，这三个方程都不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里呢？他们的共同点又在哪里呢？
[生]：相同点： （1）都是整式方程；（2）都只含有1个未知数
区别：未知数的最高次书都是2，而一元一次方程的未知数的次数是1。
[师]：同学们归纳得很详尽。这就是我们今天要学习的一元二次方程。那么现在大家能给一元二次方程给个定义吗？
[生]：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程就叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的概念
归纳总结：方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：
ax +bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0)其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
（一元二次方程的项以及系数是针对方程的一般形式而言的，因此，我们在确定一元二次方程的项或系数时必须先把方程化为一般形式，然后再确定。）
下列方程是一元二次方程吗？为什么？
①2x2-3x+1=0 ②x2+y+2=3x ③
3．一元二次方程的解
能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样。
检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解。
[师]：判断方程后面的数是否是方程的解：
（1）2x2-3x+1=0 (,1) (2)x2-=0 ()
[生]：((1)x=,x=1是此方程的解。
（2）x=是此方程的解，x=1不是此方程的解。
例1．判断下列式子是不是关于x的一元二次方程。
下列关于x的方程（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);
(4)(m2+3)x2+-2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序号）
[解析]所谓关于“x”的一元二次方程，就是方程中只含有x为未知数，而其它的字母均理解为已知数。（1）不一定是一次方程，因为当a=0时，它不是一元二次方程；（2）中不含未知数x;(3)中x的最高指数为3，故（3）也不是一元二次方程；（4）中含一个未知数x，且其最高次数为2，其系数(m2+2)>0,故它是关于x的一元二次方程；（5）是分式方程，故它也不是一元二次方程。
[生]：根据一元二次方程的概念，判断出应填（4）
[思路探究]判断一个方程是否一元二次方程，看方程是否满足以下三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2。三个条件缺一不可才是一元二次方程。
例2．求出下列方程二次项，一次项及常数项：（1）6x2=5x+2,(2)(3x-1)(x+2)=
[师]：分析：（1）通过移项方程化成一般形式：6x2-5x-2=0,从而确定其二次项，一次项，常数项分别为 6x2,-5x,-2。
（2）先把方程变形整理为一般形式：3x2+5x-=0故二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x,-
[生]：解：（1）把方程化成一般形式为：6x2-5x-2=0 ∴这个方程的二次项，一次项，常数项分别为6x2,-5x,-2。
（2）把方程化成一般形式为：3x2+5x-=0 ∴这个方程的二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x,-
[本课小结]
一元二次方程的二次项，一次项，常数项这三个概念都是相对一般形式而言的，求解时必须先把一元二次方程化为一般形式；此外还应注意，确定一元二次方程的项还应包括前面的符号。
[板书设计]：
[课后反思]
一元二次方程的解法（一）
[教学目标]
·知识与能力
要求学生熟练掌握一元二次方程的几种解法，初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，回用直接开平方法解形如（x-a） =b的方程。
·过程与方法
降次法是把高次方程转化为低次昂成的基本方法。本章中解一元二次方程的方法实际上就是把一元二次方程降次为一远一次方程来解。
·情感态度与价值观
从学生已知的一远一次方程和二元一次方程组、列一元一次方程解应用题、解可化为一元一次方程的分式方程、数的开方等内容入手进行教学，在新旧知识间进行类比，提高学生的学习兴趣。
[教学重难点]
·重点：解一元二次方程的基本方法
·难点：灵活运用直接开平方法和因式分解法。
[教学环节]
[在探索中学习新知识]
1、引入新课
教师活动 学生活动
1、上节课我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，我们也用试验的方法求了方程的近似值，要知道一元二次方程的精确值就要学习它的解法。这就是我们本节课的内容。2、在黑板上写下方程：（1）x =4 (2)x -1=0观察黑板上这两个题，与周围的同学互相交流一下，看看该如何解这两个简单的方程。3、对于方程（1）因为X是4的平方，所以X=±√4，这种方法叫做直接开平方法对方程（2）左边用平方差公式分解因式，得(x-1)(x+1)=0分别解这两个一元一次方程，得 x=1，X=-1 这种方法叫做因式分解法。4、在回过头来看这两个方程，那么（1）能否用因式分解法来解？（2）能不能用直接开平方法来解呢？5、那么，要想用直接开平方法或因式分解法来解题，应该化成什么形式呢？6、那么下面我们来看一下29页的做一做用两种方法解方程；X -900=0X=300和X=-3007、接下来我们看一下例题：例1：解下列方程（1）X -2=0 （2）16X -25=0解：（1）移项，得 X =2直接开平方，得 X=±√2所以原方程的解为：X1=-√2 X2=√2归纳：这两个题主要是对于直接开平方法的应用和熟练。那么要注意在用直接开平方法的时候要注意要先将方程化成（ ） =a的形式。8、现在我们来看一下因式分解法的具体例题。例2：解下列方程（1）3X+2X=0 （2）X =3X解：（1）将方程左边分解因式，得X（3X+2）=0 所以， X=0或3X+2=0解得X=0 或 X=-2/3原方成的解是X1=0 X2=-2/39、现在看一下30页的练习第1题 1、回忆一元二次方程的基本概念的同时猜测解一元二次方程的方法。2、展开讨论。对方程（1）大多数人容易向导方程的解，对方程（2）有人想到了做边可以因式分解。3、观察解题过程，认识这两种解一元二次方程的解法。注意一元二次方程的两个根的表示方法。4、对比刚才的过程，意识到只要将（1）和（2）化为X -4=0和X =1的形式就可以用因式分解法和直接开平方法。5、直接开平方法要求左边是X的平方的形式，右边是非负数；因式分解法要求左边可以分解因式，右边是0的形式。6、认真解题。；领会开平方法和因式分解法的思想，加以应用，很快用两种方法解出方程的两根。7、认真观察第一题的解法，然后自己先在练习本上完成第2题。移项，得 16X =25方程两边同时除以16，得X =25/16直接开平方 得 X=±5/4所以原方程的解为X1=-5/4 X2=5/4认真观察第1小题的解法，根据解题思路，试着完成第2个小题。解：（2）原方程即：X -3X=0 方程左边分解因式，得 X（X-3）=0则：X=0或X-3=0原方程的解为 X1=0或X2=3认真完成练习。
[本课小结]：这节课我们主要学习了一元二次方程的两种解法的简单应用，在解题过程中要注意方程的变形，以方便用直接开平方法或因式分解法解方程。下去的时候通过作业进一步巩固这两种方法。
[板书设计]
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单元整体说明
单元教材分析
本章主要的内容有两个方面：（1）一元而次方程的基本概念及其解法；（2）一元二次方程在实际问题中的应用——实践与探索。其中一元二次方程的基本解法在本章知识及整个中学数学知识体系中起着举足轻重的作用。因此，对这部分内容的教学要不惜花费大量的时间和精力；还要注意本章内容的相互联系，将教学环境置于实际情景之中，让学生感受和经历在实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中进行解释、检验和应用的过程，从而认识数学的价值。
单元整体目标
本章应联系一次方程、方程组和函数等已有知识，使学生了解一元二次方程的基本概念，进一步体会到“方程是刻画显示世界的一个有效的数学模型。”同时，应使学生掌握一元二次方程解法的基本思想，能够比较灵活地运用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等方法去解有简单数字系数的一元二次方程；理解一元二次方程与一院一次方程的联系，体会转化与类比的思想；能够从具体的实际情境中抽象出数学模型，列出一院二次方程并求解。
1 . 一元二次 方程
[教学目标]
·知识与能力
1、正确理解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式。
3、培养学生有具体到抽象、由特殊到一般的分析、概括能力。
·过程与方法
为了能使学生正确理解一元二次方才发横的概念，掌握一元二次方程多一般形式，本节以学生熟悉的方程和一元一次方程的复习入手，然后用两个与实际生活相关的实例列出一元二次方程，让学生意识到已有的方程知识已经不能满足学习的需要，必须进一步拓展和探究才能更有效的解决实际问题。从而引出一元二次方程。
·情感态度与价值观
体会类比的思想的运用，形成和发展学生的数学观念和思维方式。
[重点难点]
·1．经历抽象一元二次 方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解一元二次方程及相互概念。
·2．经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算能力及意识，能列出方程来刻画实际问题。
[教学环节]
[知识分析]
1．一元二次方程的引入
[师]：在前面，我们已经学习过通过列一元一次方程，二元一次方程组来解决实际问题，但有些问题，所列出的方程它们是一元一次方程吗？是二元一次方程吗？它们又有什么特点呢？现在我们就来看两个例题：
[生]：带着老师的问题，进入问题的解答。
问题1
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽为多少？
[师]：认真读题，分析数量关系，根据列方程解应用题的一般步骤，列出方程。
[生]：认真审题，列出方程。
分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题，现设长方形绿地的宽X米，则长为（X+10）米，不难列出方程得：
X（X+10）=900
整理可得： X +10X-900=0 （1）
问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
[师]:认真审题,列出方程.
[生]:运用列方程解应用题的一般步骤,列出方程。
分析：设这两年的年平均增长率为X，我们知道，去年年底的图书书是5万册，则今年年底的图书书是（ ）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（ ）倍，所以可得方程：
5（1+X） =7.2
整理得: 5X +10X-2.2=0 (2)
问题3
从前有一天，一个醉汉拿着一根竹竿进屋横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，这时一道的另一个醉汉教他沿着门的两个对角线斜 着拿竿，这个醉汉一试不多不少刚好把竹竿拿进去了，你知道竹竿有多长吗？
[师]：请你根据这一问题列出方程
[生]：弄清题意，根据列方程解应用题的步骤，列出方程，
[点拔]本例中，设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，门框的对角线长为x尺，根据“宽2+高2=对角线2”可列方程：
（x-4）2+(x-2)2=x2,
整理得：x2-12x+20=0, （3）
[师]：现在我们观察刚才我们所得到的（1）（2）（3）三个方程，这三个方程都不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里呢？他们的共同点又在哪里呢？
[生]：相同点： （1）都是整式方程；（2）都只含有1个未知数
区别：未知数的最高次书都是2，而一元一次方程的未知数的次数是1。
[师]：同学们归纳得很详尽。这就是我们今天要学习的一元二次方程。那么现在大家能给一元二次方程给个定义吗？
[生]：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程就叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的概念
归纳总结：方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：
ax +bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0)其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
（一元二次方程的项以及系数是针对方程的一般形式而言的，因此，我们在确定一元二次方程的项或系数时必须先把方程化为一般形式，然后再确定。）
下列方程是一元二次方程吗？为什么？
①2x2-3x+1=0 ②x2+y+2=3x ③
3．一元二次方程的解
能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样。
检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解。
[师]：判断方程后面的数是否是方程的解：
（1）2x2-3x+1=0 (,1) (2)x2-=0 ()
[生]：((1)x=,x=1是此方程的解。
（2）x=是此方程的解，x=1不是此方程的解。
例1．判断下列式子是不是关于x的一元二次方程。
下列关于x的方程（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);
(4)(m2+3)x2+-2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序号）
[解析]所谓关于“x”的一元二次方程，就是方程中只含有x为未知数，而其它的字母均理解为已知数。（1）不一定是一次方程，因为当a=0时，它不是一元二次方程；（2）中不含未知数x;(3)中x的最高指数为3，故（3）也不是一元二次方程；（4）中含一个未知数x，且其最高次数为2，其系数(m2+2)>0,故它是关于x的一元二次方程；（5）是分式方程，故它也不是一元二次方程。
[生]：根据一元二次方程的概念，判断出应填（4）
[思路探究]判断一个方程是否一元二次方程，看方程是否满足以下三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2。三个条件缺一不可才是一元二次方程。
例2．求出下列方程二次项，一次项及常数项：（1）6x2=5x+2,(2)(3x-1)(x+2)=
[师]：分析：（1）通过移项方程化成一般形式：6x2-5x-2=0,从而确定其二次项，一次项，常数项分别为 6x2,-5x,-2。
（2）先把方程变形整理为一般形式：3x2+5x-=0故二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x,-
[生]：解：（1）把方程化成一般形式为：6x2-5x-2=0 ∴这个方程的二次项，一次项，常数项分别为6x2,-5x,-2。
（2）把方程化成一般形式为：3x2+5x-=0 ∴这个方程的二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x,-
[本课小结]
一元二次方程的二次项，一次项，常数项这三个概念都是相对一般形式而言的，求解时必须先把一元二次方程化为一般形式；此外还应注意，确定一元二次方程的项还应包括前面的符号。
[板书设计]：
[课后反思]
一元二次方程的解法（一）
[教学目标]
·知识与能力
要求学生熟练掌握一元二次方程的几种解法，初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，回用直接开平方法解形如（x-a） =b的方程。
·过程与方法
降次法是把高次方程转化为低次昂成的基本方法。本章中解一元二次方程的方法实际上就是把一元二次方程降次为一远一次方程来解。
·情感态度与价值观
从学生已知的一远一次方程和二元一次方程组、列一元一次方程解应用题、解可化为一元一次方程的分式方程、数的开方等内容入手进行教学，在新旧知识间进行类比，提高学生的学习兴趣。
[教学重难点]
·重点：解一元二次方程的基本方法
·难点：灵活运用直接开平方法和因式分解法。
[教学环节]
[在探索中学习新知识]
1、引入新课
教师活动 学生活动
1、上节课我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，我们也用试验的方法求了方程的近似值，要知道一元二次方程的精确值就要学习它的解法。这就是我们本节课的内容。2、在黑板上写下方程：（1）x =4 (2)x -1=0观察黑板上这两个题，与周围的同学互相交流一下，看看该如何解这两个简单的方程。3、对于方程（1）因为X是4的平方，所以X=±√4，这种方法叫做直接开平方法对方程（2）左边用平方差公式分解因式，得(x-1)(x+1)=0分别解这两个一元一次方程，得 x=1，X=-1 这种方法叫做因式分解法。4、在回过头来看这两个方程，那么（1）能否用因式分解法来解？（2）能不能用直接开平方法来解呢？5、那么，要想用直接开平方法或因式分解法来解题，应该化成什么形式呢？6、那么下面我们来看一下29页的做一做用两种方法解方程；X -900=0X=300和X=-3007、接下来我们看一下例题：例1：解下列方程（1）X -2=0 （2）16X -25=0解：（1）移项，得 X =2直接开平方，得 X=±√2所以原方程的解为：X1=-√2 X2=√2归纳：这两个题主要是对于直接开平方法的应用和熟练。那么要注意在用直接开平方法的时候要注意要先将方程化成（ ） =a的形式。8、现在我们来看一下因式分解法的具体例题。例2：解下列方程（1）3X+2X=0 （2）X =3X解：（1）将方程左边分解因式，得X（3X+2）=0 所以， X=0或3X+2=0解得X=0 或 X=-2/3原方成的解是X1=0 X2=-2/39、现在看一下30页的练习第1题 1、回忆一元二次方程的基本概念的同时猜测解一元二次方程的方法。2、展开讨论。对方程（1）大多数人容易向导方程的解，对方程（2）有人想到了做边可以因式分解。3、观察解题过程，认识这两种解一元二次方程的解法。注意一元二次方程的两个根的表示方法。4、对比刚才的过程，意识到只要将（1）和（2）化为X -4=0和X =1的形式就可以用因式分解法和直接开平方法。5、直接开平方法要求左边是X的平方的形式，右边是非负数；因式分解法要求左边可以分解因式，右边是0的形式。6、认真解题。；领会开平方法和因式分解法的思想，加以应用，很快用两种方法解出方程的两根。7、认真观察第一题的解法，然后自己先在练习本上完成第2题。移项，得 16X =25方程两边同时除以16，得X =25/16直接开平方 得 X=±5/4所以原方程的解为X1=-5/4 X2=5/4认真观察第1小题的解法，根据解题思路，试着完成第2个小题。解：（2）原方程即：X -3X=0 方程左边分解因式，得 X（X-3）=0则：X=0或X-3=0原方程的解为 X1=0或X2=3认真完成练习。
[本课小结]：这节课我们主要学习了一元二次方程的两种解法的简单应用，在解题过程中要注意方程的变形，以方便用直接开平方法或因式分解法解方程。下去的时候通过作业进一步巩固这两种方法。
[板书设计]
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