专题8 函数计算——增设参数（含答案）- 2023年中考数学二轮专题复习

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专题8函数计算——增设参数
专题价值
增设参数，是在中考计算过程中常常遇到的一种设元的技巧，尤其是遇见数据中存在的比例问题，通过增设参数，往往能够简化计算，起到事半功倍的效果，从而轻松通过计算关，达到“胜”算的良好效果．
常用解题思路
如图，在中，已知，求的度数．
本题中，可设要求的角为，而其他多数角的角度未知，需要增设参数，如设和为，借助外角，解决本题．
设，设，
在中，
，
在中，，解得
．
曾经这么考!
一、将不需求的边先设为参数，设而不求
例1如图，在中，、分别是和边的中线，，求的长．
【剖析】
根据题意，要求的长，可先求其平方，则设，
在Rt和Rt中，用勾股定理建立关于的方程组，表示的平方和的平方，在Rt中，也用含的代数式表示的平方，再利用整体思想，求出平方的具体的值，则长度可求．
【解答】
设
中
中
，得
Rt中，
例2如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，．设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是_______．
【剖析】
根据题意，首先可设，在中，利用勾股定理建立方程，用含的代数式表示出，再设，连接，在Rt与Rt中，为共用斜边，根据勾股定理，用含的代数式表示出，最后用梯形面积公式求四边形的面积，即可求得答案．
【解答】
设，Rt中，，
设，连接，由折叠知，，Rt中，，Rt中，
．
二、根据线段比例，直接增设参数
例3在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形，如图2．设小正方形的边长为厘米．
(1)当矩形纸板的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的最大值；
(2)当，且侧面积与底面积之比为9时，求的值．
【剖析】
题(2)中出现条件1：“”和条件2：“侧面积与底面积之比为9:7”，看见比例，直接增设参数，设，则；再分别计算面积得侧面积为，底面积为，根据条件2，得到与的关系．
【解答】
(1)
当时，．
(2)设，则，则侧面积为，底面积为，由题意得，．则，且．
三、借助相似模型，选取最短线段设参数
例4如图，以原点为圆心、3为半径的圆与轴分别交于、两点(点在点的右边)，是半径上一点，过且垂直于的直线与分别交于、两点(点在点的上方)，直线、交于点，若．
(1)求点的坐标；
(2)求过点和点，且顶点在直线上的抛物线的函数表达式．
【剖析】
本题可过点作轴于点，交延长线于，根据“”，则两个相似基本模型，型，型均有出现，我们一般选择最小的量入手，设，根据，利用与之比，求出与之比，则，再由，可得，从而巧算出点的坐标．
【解答】
如图，作轴于的延长线交于．
设∥
，
．
(2)由(1)可知，，连接，在Rt中，抛物线的对称轴为，即直线和在抛物线上，设抛物线的解析式为，把代入得，抛物线的解析式为，即．
还会怎么考
1．如图，在矩形中，是边上的点，连接、，将沿线段翻折，点恰好落在线段上的点处．若，则线段的长为________．
2．如图，在中，点分别在边上，∥，若6，则线段的长为________．
3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点．若反比例函数图象经过点，且，则的值为________．
4．如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段交于点，连接．若点关于的对称点恰好在上，则________．
5．如图，Rt中，，将折叠，使点与中点重合，折痕为，则的面积为________．
6．火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是________．
7．如图，抛物线的顶点为，经过点，与轴于点．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)动点在线段上(端点、除外)，过点作轴的垂线，交抛物线于点．线段上是否存在点，使四边形为梯形 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，设抛物线的顶点为．
(1)用含的代数式表示出点与点的坐标；
(2)若以为直径的⊙经过点，
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上取一点，使为以为直角边的直角三角形，求点的坐标．
9．一次函数的图象如图所示，它与二次函数的图象交于、两点(其中点在点的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点．
(1)求点的坐标；
(2)设二次函数图象的顶点为．
①若点与点关于轴对称，且的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若，且的面积等于10，求此二次函数的关系式．
10．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在的结论下，求的最小值．
11．如图，已知是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿方向水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿方向竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
(1)求的值；
(2)是否存在实数，使得线段的长度最大 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(3)求四边形的面积．
12．如图1和图2，在中，．点在边上，点分别在上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
(1)当点在上时，求点与点的最短距离；
(2)若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；
(3)设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离(用含的式子表示)；
(4)在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域(含边界)，扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
专题8函数计算——增设参数
1.由翻折知,,又四边形是矩形,,设,则可得Rt中,,Rt中,.
2.设,
,又,
.
3.如图,过点作于,设,则,
为中点,,由翻折知,,四边形是平行四边形,,,易证,把代入得,.
4.如图,过点作,垂足为,设点关于的对称点为,连接,则.
在反比例函数的图象上,设,则,设,则,,由翻折知,,易证,在Rt中,由勾股定理得,,.
5.由题意得,,设,由翻折知,,Rt中,,如图,连接,设,
,
,
.
6.设6月份该火锅店堂食、外卖、摆推三种方式的营业额分别为月份总增加的营业额为,则7月份摆推增加的营业额为,设7月份外卖还需增加的营业额为,则7月份堂食还需增加的营业额为.月份摆推的营业额是总营业额的,且7月份的堂食、外卖营业额之比为月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为设7月份的堂食、外卖、摆推三种方式的营业额分别为,
由题意得，,解得，，,7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是.
7.(1)设二次函数的解析式为,把代入得,,
二次函数的解析式为,
设直线的解析式为,把代入得,,
直线的解析式为;
(2)设点坐标为,则点坐标为.
假设存在符合条件的点,由题意得,与不平行,
因此梯形的两底只能是与,
设直线的解析式为,把代入得,,
令,解得或,
当时,点、点、点三点共线,舍去,
,符合条件的点坐标为.
8.(1)设抛物线的解析式为,
则点的坐标为,点的坐标为.
(2)如图1,连接,过点作轴于,易证,故抛物线的解析式为;
(3)设点坐标,
①如图2,若,作轴于轴于,
易证,化简得,,
(舍去),点坐标.
②如图3,若,延长交轴于,作轴于轴于,易证点的坐标为,
设直线解析式为,把代入得,,
(舍去),点坐标.
综上,点有两个,.
9.(1)二次函数图象的对称轴为直线.
当时,.
(2)①点与点关于轴对称,.
设,由得,,解得.
把代入得,.
②设,过点作于,则,
,
,解得或(舍去),.
若,如图1,则点在点下方,,
由得,,解得.
若,如图2,则点在点上方,,
由得,,解得.
10.(1)由题意得,将二次函数平移后得到的抛物线解析式为,
把代入得,抛物线的解析式为.
令,解得,
,代入抛物线解析式得,,
解得,设,
直线的解析式为.
(2)如图1,过点作轴交于,连接交轴于,过作于,设,当时,的面积有最大值为,此时点坐标为.
(3)如图2,过点作,作点关于轴的对称点,连接交轴于点,连接中,中,,过点作于点,则,即最小值为FH.最小值为的最小值是3.
11.(1)由题意得,.
(2)当时,线段的长度最大.
如图,过点作,垂足为,则.
平分.
设线段的长为,则.
,解得.
,当时,线段的长度最大,为.
(3)是圆的直径,,是等腰直角三角形.
.
在Rt中,.
四边形的面积为.
12.(1)当点在上时,时最小,
为等腰三角形,;
(2)如图1,过点向边作垂线,交于点,
,
当时,,由勾股
定理得,.
(3)设点到直线的距离为,
当时,在上运动,,由(2)可知,,
;
当时,在上运动,,
综上,
(4)点从到再到走过的路程为,扫描器移动的速度为,,如图2,过点作交于,过点作交于
①点在上,刚从点出发,在上运动时,点末被扫描到,时间为秒.
②点在上,当与重合时,,,又,设,,即,如图3,,如图4,;当点在上运动时,的值变大,不变,则的值也变大,即点在上运动,此时点也无法被扫描到,这段时间为秒,点被扫描到的总时长为秒.
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