专题9 辅助线(1)——化斜为直（含答案）- 2023年中考数学二轮专题复习

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专题9辅助线(1)——化斜为直
专题价值
化斜为直策略是初中几何题的一种重要解题策略，一般通过作水平或竖直方向上的辅助线，从复杂图形中抽离出所蕴含的简单全等或相似图形，将倾斜线段之间的数量或位置关系改为在水平或竖直方向求，简化解题步骤．
常用解题思路
如图，在中，在边上，是的中点，连接并延长交于，则________．
由，将斜线段之比转化为水平线段之比，可过作的平行线交于，由三角形相似，可得与之比，再通过全等，得，从而可求与的比．
如图，过作∥交于
∥是的中点，．
曾经这么考!
一、图象平移过程的“化斜为直”
例1一次函数与的图象之间的距离等于3，则的值为( )
A．－2或4B．2或4C．4或－6D．－4或6
【剖析】
由两个一次函数解析式的相同，易知图象为两条平行的直线，而两直线的距离为3，指的是“倾斜距离”为3，我们根据一次项系数即为函数图象与轴夹角的正切值，可以求出其正弦值．则可求出“竖直距离”为5，进而确定的值．
【解答】
如图，过直线上一点作直线，过点作轴交直线于点，过点作∥轴，过点作轴交于点，易知
，向上平移5个单位为向下平移5个单位为或6，选D．
二、高之比的“化斜为直”
例2如图，平行四边形中，在上，且是的中点，过分别作于于，则等于
A．B．C．D．
【剖析】
本题中，直接求的值是非常困难的，但两条线段可以作为高，连接与面积相等，想到转化为底边与的反比．而求，只需再构造直角三角形，利用三角函数与勾股定理求得．
【解答】
连接，过点作延长线于，过点作延长线于，易证，设
，Rt中，，Rt中，，选D．
三、斜线段之比的“化斜为直”
例3如图，四边形中，与相交于点
，则________．
【剖析】
由，可知其为斜线段之比，而，想到过点作，转化为垂线段之比，根据和有共同的高和有共同的高，则面积之比最后转化为它们的底与之比．
【解答】
过点作交于点，则∥，易证设
例4已知二次函数的图象与轴的负半轴和正半轴分别交于、两点，与轴交于点，它的顶点为，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，且．
(1)求、两点的坐标；
(2)若，求这个二次函数的关系式．
【剖析】
(1)首先用配方法求出对称轴为直线，由，想到过点作轴的平行线，将斜线段之比转化为点与点的横坐标之比，从而求得的坐标．
(2)分别求出点，点的坐标，设过点所作轴平行线与对称轴交点为，则，借助三角函数，可以求得，将点坐标代入二次函数，可求．
【解答】
(1)如图，过点作轴于点，过点作于点，交于点该二次函数的对称轴为直线∥
与关于直线对称，；
(2)令代入，又
∥
，把代入得，该二次函数解析式为．
还会这么考
1．如图，双曲线经过矩形的顶点，双曲线交于点、，且与矩形的对角线交于点，连接．若，则的面积为________．
2．如图，在Rt中，，点在反比例函数图象上，且轴平分，求________．
3．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，与交于点，连接，若，则________．
4．如图，矩形中，为边上一个动点，连接，取的中点，点绕点逆时针旋转得到点，连接，则面积的最小值是________．
5．如图，在等边中，、分别为边、上的点，交于，则________．
6．如图，直线与轴交于，一开口向上的抛物线过原点交线段于，交直线于．过且平行于轴的直线与抛物线交于，直线交直线于，且．
(1)求点的坐标；
(2)若是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
7．如图，直线经过点，点在线段上，且．点是线段上一动点，点在线段上．且．
(1)求点的坐标；
(2)求点的坐标(用含的代数式表示)；
(3)若是的中点，试求线段长度的取值范围(请用不等式形式表示)．
8．如图，已知二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点．过点的直线与这个二次函数的图象的另一个交点为，与该图象的对称轴交于点，与轴交于点，且．
(1)求证：点为的中点；
(2)连接，若的面积为2，求这个二次函数的关系式；
(3)设这个二次函数的图象的顶点为，问：以为直径的圆是否可能恰好经过点 若可能，请求出此时二次函数的关系式；若不可能，请说明理由．
9．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点在线段上，点的横坐标为，点在线段上，且，将绕点旋转后得到．
(1)若点恰好落在轴上，试求的值；
(2)当时，若被轴分得两部分图形的面积比为，求该一次函数的解析式．
10．如图，抛物线与轴交于、两点(点位于点左侧)，与轴交于点C．若点为抛物线上一点，且位于点的右侧，过点和点的直线交轴负半轴于点，且．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是轴右侧的抛物线上另一个动点，过点作轴于点，交直线于点．
①假设点的横坐标为，问当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形 请说明理由．
②若存在点，使，请直接写出对应的点的坐标________．
11．已知二次函数的图象与轴的负半轴和正半轴分别交于、两点，与轴交于点，直线与它的对称轴交于点，且．
(1)求、两点的坐标；
(2)若的内心在对称轴上，求这个二次函数的关系式；
(3)在(2)的条件下，是轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连接，将沿直线翻折，的对应点为，是否存在点，使得恰好落在轴上 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知二次函数的图象与轴交于、两点，(在左侧，且，与轴交于点．
(1)求点坐标，并判断的正负性；
(2)设这个二次函数的图象的对称轴与直线交于点，已知，直线与轴交于点，连接．
①若的面积为8，求二次函数的解析式；
②若为锐角三角形，请直接写出的取值范围．
专题9辅助线(1)——化斜为直
1.如图,过作于,易证:
3,.过作,过作,,同理知形,
.
2.如图,过作轴于,易证,又轴平分,易证,设,则.
3.如图,过点作于点,过点作于点在Rt中,,
,,在Rt中,,在Rt中,,在Rt中,,在Rt中,,.
4.如图,过点作交延长线于点,设与交于点.
易证,设,则,设,易证,即,当时,取到最大值为4,即的最大值为,则的最小值为.
.
5.如图1,过点作,过点作,过点作为等边三角形,.如图2,过点作,易证
,
6.(1)如图,过点作轴于点.
第6题图
由抛物线的对称性可知,,则.,即点的坐标为;
(2)抛物线过原点和设函数关系式为.
对称轴为直线两点与两点都关于直线对称,点横坐标为点横坐标为抛物线开口向上,,,当是等腰三角形时,分两种情况讨论:
①时,设,则,解得(负值舍去).
将代入,解得.
②当时,设,则,解得(负值舍去).
将代入,解得.
此抛物线的函数关系式为或.
7.(1)如图,过作轴于.在Rt中,,
.
(2)过点作轴于,则.
.连接交于,则.
(3)是的中点,.
当点与点重合,,Rt中,.
当点与点重合,,Rt中,.
.
第7题图
8.(1)如图,作,连接,设对称轴交轴于点,
第8题图
二次函数图象的对称轴为.又,且点的横坐标为-2.由此可得.又点两点关于直线对称.故.从而可证,即点为的中点.
(2).把代入得,.
(3)以为直径的圆能够恰好经过点.
由(1)可得.要使以为直径的圆恰好经过点,则.把代入可得,,即,把代入可得,(负值舍去),.
9.(1)由题意得,.如图1,过点作轴的垂线,交轴于点,交直线于点,把代入得,中点为,设;
第9题图1
(2)由(1)得,当时,,
若,即当时,点在轴右侧;若,即当时,点在轴左侧.
①当时,如图2,设与轴交于点,连接,
,
由被轴分得两部分图形的面积比为,
,易证,
.
第9题图2
②当时,如图3,设与轴交于点,由被轴分得两部分图形的面积比为,
.
第9题图3
综上所述,或.
10.(1),如图1,过点作轴于点,,把代入得,.
第10题图1
(2)①当时,以为顶点的四边形是平行四边形,易得直线解析式为,设点的横坐标为,则,,
当时,,
当时,(舍去).
当的值为时,以为顶点的四边形是平行四边形.
(2)若,则.
如图2,,过作于,过作轴,过作,过作,
第10题图2
设,易证,,代入得,(舍去),.如图2,,过作于,过作轴,交轴于,过作,设,易证,,代入得,(舍去),.
综上,或.
11.(1)如图1,由题意得,,其对称轴为,作轴,
,.
第11题图1
(2)连接在对称轴上,为内心,,
,又(舍去),设二次函数关系式为,把代入得,.
(3)如图2,由翻折知,,又轴,,易求,过作轴,,,(舍去),.
第11题图2
12.(1)令,则对称轴在轴右侧,即,.
(2)①过点作轴,设对称轴交轴于,则,,设,则,-6),,易证,,设,把代入得,.
②由题意得,,若,则,.若,则,.若,则.若,则.综上,.
第12题图
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