专题10 辅助线(2)——垂直处理（含答案）- 2023年中考数学二轮专题复习

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专题10辅助线(2)——垂直处理
专题价值
垂直处理，顾名思义，即作垂线．这是初中几何解题的一种常见策略，通过作垂直，可以用于求图形面积，解决型相似(全等)，直角三角形存在性问题等许多问题．尤其在解决反比例问题中有奇效，相信同学们在练习中会慢慢体会．
常用解题用路
如图，在平面直角坐标系中，以为顶点作等腰直角(其中，且点落在第一象限内)，则点关于轴的对称点的坐标为_______．(用的代数式表示)
本题中，给出了一个等腰直角三角形，马上可以想到过点作轴的垂线段，构造一线三直角型全等，求出点的坐标，进而写出关于轴的对称点坐标．
过作轴于，作关于轴的对称点是等腰直角三角形，，易证，
曾经这么考！
一、倍长中线，再作垂直，构造全等与相似
例1如图，、分别是的中线和角平分线，，则的长等于_______．
【剖析】
本题中，为中点，想到倍长中线，但由于，想到过点作延长线于点，设交于点，则．又因为是角平分线，可证，则，由，可知，从而可求，最后在Rt中用勾股定理解决．
【解答】
过点作交延长线于点，设交于点，易证．又平分，易证
∥
二、连接中点,再作延长,构造直角
例2如图,在边长为的正方形中,点分别是边的中点,连接,点分别是的中点,连接,则的长度为
1.【剖析】
由于本题中点较多,我们可以尝试连接,则为的中位线,
,即,将延长,交于,则,即达到了“垂直处理”的目的,再将延长交于,则可求的长,在Rt中,用勾股定理求得的长.
2.【解答】
连接并延长,交于,连接并延长,交于为、中点,则为中点,则(此处用到了梯形中位线知识,可延长交延长线于点后证明),,易证,同理可证Rt中,.
三、两次垂直,转化线段比
例3如图,一次函数的图象经过点,与轴交于点,点在线段上,且,过点作轴的垂线,垂足为点,若,
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)已知一开口向下,以直线为对称轴的抛物线经过点,它的顶点为,若过点且垂直于的直线与轴的交点为,求这条抛物线的函数表达式.
【剖析】
本题难点在这个条件怎么用,这是两条斜线段之比,我们可以通过构造相似,考虑将斜线段之比转化为水平线段之比,或坚直线段之比.可过点,点作直线的垂线段,从而求出点的横坐标,设为,在直角三角形中,勾股定理列方程解决.
第二问,直接利用和相似,根据对应线段成比例,建立方程求解.
【解答】
(1)过点作于点,过点作于点,
,又RtRt,在Rt中,,设,解得,(舍去),,
将代入得,所求一次函数的表达式.
(2)将代入得,,Rt,设,解得,(舍去),.设抛物线函数表达式为+7,将代入得,.
所求抛物线的函数表达式为,即.
四、垂直处理转化比例
例4如图,二次函数的图象过坐标原点,与轴的负半轴交于点.过点的直线与轴交于,与二次函数的图象交于另一点,且点的横坐标.
(1)求点的坐标;
(2)设二次函数图象的顶点为,其对称轴与直线及轴分别交于点和点.若与相似,求此二次函数的关系式.
【剖析】
(1)由,想到过点作轴,利用,可得,,从而求得点的坐标.
(2)将点坐标代入解析式中,求得的数量关系,并将解析式转化为仅含参数的解析式,确定点,点的坐标,以及点的坐标.由于与相似,只可能,此时再分别表示出坐标,发现,从而最终求出参数和解析式.
【解答】
如图,过点作轴交于点的坐标为;
(2)把点代入得,,,对称轴为直线点坐标为.
设直线的解析式为,将代入得,,
直线的解析式为.
在抛物线上,中,,
若与相似,则是直角三角形,,
,
,
均为等腰直角三角形,,,
,此二次函数的关系式为.
还会怎么考
1.如图,在平面直角坐标系中,点为第一象限内一点,且,连接,并以点为旋转中心把逆时针旋转后得线段.若点恰好都在同一反比例函数的图象上,则的值等于________.
第1题图
2.如图,点在反比例函数的图象上,点在反比例函数的图象上,且.则的值等于（ ）
A.2
B.3
C.
D.
第2题图
3.如图,在直角三角形中,是的中点,平分,交于点,连接交于点,若,则的长是________.
第3题图
4.如图,四边形中,对角线和交于点,则四边形的面积为________.
第4题图
5.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象分别交轴于点,将直线绕点按顺时针方向旋转,交轴于点,则直线的函数表达式是________.
第5题图
6.如图,是同一平面内的三条平行直线,与间的距离是与间的距离是2,正三角形的三顶点分別在上,则的边长是________.
第6题图
7.如图,和均为直角三角形,.将绕点在平面内顺时针旋转,设旋转角为,作直线,连接,当点在同一直线上时,画出图形,并求线段的长.
第7题图
8.如图,在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线是由抛物线向右平移一个单位后得到的,它与轴负半轴交于点,点在该抛物线上,且横坐标为3.
(1)求点坐标;
(2)连接,求的正切值;
(3)点是顶点为的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设与正半轴的夹角为,当时,求点坐标.
第8题图
9.在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图,点为第四象限抛物线上一点,连接交于点,连接,记的面积为的面积为,求的最大值;
第9题图
10.如图,已知抛物线过点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知直线过点且与抛物线交于另一点,与轴交于点,求证:.;
(3)若点分别是抛物线与直线上的动点,以为一边且顶点为的四边形是平行四边形,求所有符合条件的点坐标.
第10题图
11.如图,正方形的顶点在坐标原点,且边和边所在直线的解析式分别为:和.
(1)求正方形的边长;
(2)现有动点分别从同时出发,点沿线段向终点运动,速度为每秒1个单位,点沿折线向终点运动,速度为每秒个单位,设运动时间为2秒.当为何值时,将沿它的一边翻折,使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形
(3)若正方形以每秒个单位的速度沿射线下滑,直至顶点落在轴上时停止下滑.设正方形在轴下方部分的面积为,求关于滑行时间的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围.
第11题图
12.在平面直角坐标系中,已知,动点在的图象上运动(不与重合),连接.过点作,交轴于点,连接.
(1)求线段长度的最小值;
(2)试问:当点在第一象限,点在轴正半轴上时,是否为定值 如果是,求出该值;如果不是,请说明理由.
(3)当为等腰三角形时,求点的坐标.
第12题图
专题10辅助线(2)——垂直处理
1.如图,过点作轴交于点,过点作于
第1题图
,易证均在反比例函数图象上,,两边同除得,,令,则,且.
2.如图,过点作轴于,过点作轴于,易证
,选C.
第2题图
3.如图,过点作于点,平分,设,在Rt中,,故,过点作交延长线于是中点,,又,,Rt中,,.
第3题图
4.过点作于,过点作于,同理.
第4题图
5.如图,过点作交于点,过作轴于,
由题意得,,与轴交点,与轴交点,
为等腰Rt,易证,
,
设直线,把代入得,.
第5题图
6.如图,过作交延长线于,过作,则,过作于,过作于,则与间的距离是与间的距离是,设,则,Rt中,.
第6题图
7.(1)若点在线段上,如图1,过点作于点,
第7题图1
,即,
,
,又,,.
(2)若点在线段延长线上,如图2,过点作延长线于,
第7题图2
,即,
同理可证,即,又.综上,或.
8.(1)抛物线向右平移一个单位后得到的函数解析式为,
顶点,令,则,点,当时,,点;
(2)如图,过点作于,过点作于,
第8题图
,同理可求,
,又;
(3)过点作轴于设点,
①点在轴的上方时,,整理得,,
解得(舍去),,当时,点的坐标为;
②点在轴下方时,,整理得,,
解得(舍去),
当时,点的坐标为;
综上,点的坐标为或.
9.(1)设抛物线的解析式为.将代入得,,解得,
抛物线的函数表达式为,即.
(2)过点作轴于点,交于点,过点作轴交延长线于点,
第9题图
,设直线的解析式为,
把代入得,,当时,.
设,则,
,当时,有最大值为.
10.(1)把点代入得,抛物线的解析式为.
(2)设直线的解析式为,把代入得,,解得,
直线的解析式为,令,联立得,或,,如图,过点作轴于,过点作轴于，则//
,即.
(3)设为一边且顶点为的四边形是平行四边形,,
,整理得,或,
解得或或或0(舍去),
或或.
第10题图
11.(1)联立得,,
正方形的边长为5.
(2)根据翻折前后三角形成轴对称的性质,必为等腰三角形,当时,,
①如图1,点在上,只存在一点,使,
作于,则.
第11题图1
②如图2,点在上,同理,只存在一点,使,.
第11题图2
(3)设正方形下滑后的图形为正方形,
①当点下滑到点时,秒,如图3,当时,设轴于点,则,即.
第11题图3
②当点下滑到轴上时,秒,如图4,当时,设交轴于点,
.
第11题图4
综上.
12.(1)由知,,
当时,;
(2)如图1,过点作轴于点,过点作的延长线于点
第12题图1
,
,
,则;
(3)当点在第一象限,点在轴正半轴上时,
如图2,过点作于点,
,
又,
设,
,
①当时,(舍去),;
②当时,(舍去),;
③当时,(舍去),(舍去);
第12题图2
当点在第一象限,点在轴负半轴上时,如图3,过点作于点,同理可证,设,,
①当时,(舍去),;
②当时,(舍去),
当时,,此时点与点重合,舍去;
③当时,(舍去),;
第12题图3
当点在第三象限,点在轴负半轴上时,如图4,过点作于点,同理可证,设,
,
,所得结果与点在第一象限,点在轴负半轴上时相同.
第12题图4
综上,点坐标为或或或.
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