专题4 图形的旋转与手拉手构造（含答案）- 2023年中考数学二轮专题复习

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专题4图形的旋转与手拉手构造
专题价值
旋转是初中阶段几何的重要内容.在旋转变化中,有对应角,有旋转角,非常容易混淆,,解题时,经常需要与全等,相似证明结合在一起.其中,涉及线段最值类的问题,综合性很强,对学生的几何素养要求很高,而构造手拉手模型的方法又非常常见,是近几年中考的热点!
常用解题思路
1.基本性质
如图1,将绕点旋转一定角度得到,延长交于点.
性质一:对应边相等
结论:.
性质二:对应角相等
结论:.
性质三:旋转角都相等
结论:.
,且.
2.一转成双
把一个三角形绕其一个顶点旋转后,得到一对全等三角形,再连接另外两个对应顶点,必能形成一对相似的等腰三角形.
如图2,将绕点旋转一定角度得到,如图3,连接.
结论一:
结论二:
,且和均为等腰三角形.
.
.
3.手拉手构造
(1)半角模型
如图4,在正方形中,,将绕点顺时针旋转到,则有平分等结论.
如图5,在等腰Rt中,,将绕点顺时针旋转到,则有平分等结论.
(2)对角互补模型
如图6,已知为等边三角形,,将绕点顺时针旋转到,则有等结论.
如图7,已知为等腰直角三角形,,将绕点顺时针旋转到,则有等结论.
(3)三线共顶点型
如图8,已知在等边中,,求度数.
如图9,将绕点顺时针旋转到,则为等边三角形,,根据勾股定理逆定理,,则有.
例1如图,点是正方形内一点,且点到点的距离分别为,则正方形的面积为________.
【剖析】
本题与手拉手构造中的三线共顶点型很类似,当原题中蕴含“等线段,共顶点”时,即可通过旋转,构造手拉手型全等,本题中有等线段和,共顶点,且,则考虑将绕点顺时针旋转.
【解答】
如图,将绕点顺时针旋转得到,连接,过点作于.
易证三点共线,.
例2已知,以为直径的交轴于点,点为上一动点,请问的值是否变化 若不变,求值;若变化,说明理由.
【剖析】
连接,仔细研究四边形,我们发现,,而且又平分,根据垂径定理,可得,这不是一个典型的对角互补模型吗,马上可以想到旋转!
【解答】
连接为直径,,.如图,将绕点顺时针旋转到,则三点共线,.
例3如图1,在中,,点分别在边上,且,连接.现将绕点顺时针方向旋转,旋转角为,如图2,连接、.
(1)当时,求证:;
(2)如图3,当时,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)在旋转过程中,求面积的最大值,并写出此时旋转角的度数.
【剖析】
(1)利用“”证,即可得到结论;
(2)通过证明,推出,再计算得出,利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论;(3)分别过点、点作的垂线段,则,当时,显然面积最大,则点在的反向延长线上,求出此时的长,即可计算面积最大值,的度数也迎刃而解.
【解答】
(1)如图2,由题意得,;
(2)如图3,,且,,
是线段的垂直平分线;
(3)中,边的长是定值,当边上的高取最大值时,的面积有最大值,如图4,分别过点、点作的垂线段,则,当时,即如图三点共线,取最大值,则面积也最大,此时.
于,
,
旋转角的度数为.
例4问题背景:如图1,已知,求证;
尝试应用:如图2,在和中,与相交于点.点在边上,,求的值;
拓展创新:如图3,是内一点,,直接写出的长.
【剖析】
问题背景:通过,得到对应边成比例,将比例式适当调整,再加上相等的夹角,从而可证,典型的一转成双;
尝试应用:先证,连接,通过问题背景中的证明,得到与的比值,可知与的比值,再通过证,确定与的比值即为与的比值;
拓展创新:观察图形,属于三线共顶点型,需要构造手拉手全等,在的右侧作交延长线于,连接,则又出现一转成双,即,然后利用对应边成比例即可得到答案.
【解答】
问题背景:如图,
,即
尝试应用:如图4,连接,同理,可证,在Rt中,,即,又
拓展创新:如图5,在的右侧作交延长线于,连接,
,
,又,同理,可证,
,设,在Rt中,,
.
还会怎么考
1.如图,已知为等边形内一点,且,则图中的面积为________.
2:如图,是等边外一点,若,连接,则的最大值与最小值的差为________.
3.如图,在中,,以为边在三角形外作正方形,对角线交于点,则线段的最大值为________.
4.如图,是的外接圆,,点是外一点,,则线段的最大值为________.
5.如图,四边形中,,则的长为________.
6.如图,已知,以为一边作正方形,使两点落在直线的两侧.
(1)当时,求的长及的长;
(2)当变化,且其它条件不变时,求的最大值,及相应的大小.
7.如图,在中,,点是边上的一点,是线段上一点,线段绕点顺时针旋转得线段,设.
(1)如图1,当点在点处,点是中点时,试求的长;
(2)如图2,当时,
(1)求点到边的距离(用含的代数式表示);
(2)当点从点运动至点时,试求点运动路径的长.
8.【问题提出】如图1,四边形中,,求四边形的面积.
【尝试解决】
旋转是一种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时,往往可以通过旋转解决问题.
(1)如图2,连接,由于,所以可将绕点顺时针方向旋转,得到,则的形状是
(2)在(1)的基础上,求四边形的面积.
【类比应用】如图3,四边形中,,求四边形的面积.
9.已知中,,把中线绕点旋转至如图所示的位置,此时,作,连接.
(1)若,求和四边形的面积之比;
(2)判断和的数量关系并说明理由.
10.如图,在Rt中,,正方形的边长为2,将正方形绕点旋转一周,连接.
(1)请判断线段和的数量关系,并说明理由;
(2)当三点在同一直线上时,求的长;
(3)设的中点为,连接,试求线段长的最小值.
11.如图1,点在线段上,Rt.
(1)点到直线的距离是
(2)固定,将绕点按顺时针方向旋转,使得与重合,并停止旋转.
(1)请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示,保留画图痕迹,不要求写画法)该图形的面积为
(2)如图2,在旋转过程中,线段与交于点,当时,求的长.
12.如图,在中,绕点按顺时针方向旋转得到与交于点.
(1)如图1,当时,过点作,垂足为,连接.
(1)求证:;(2)求的值;
(2)如图2,当时,过点作,交于点,交的延长线于点,求的值.
专题4图形的旋转与手拉手构造
1.如图,将绕点逆时针旋转到,连接,则为等边三角形,,易证为直角三角形,,过点作延长线于,则
第1题图
2.如图,以为边向外作等边三角形,连接,
.
则的最大值与最小值的差为12.
第2题图
3.如图,将绕点顺时针旋转到,连接,则,则,即,则.
第3题图
4.如图,连接,则,将绕点逆时针旋转到,连接,则,则,即,则.
第4题图
5.如图,在下方作,且令,连接.
则,即,易证,则,则,即,则,过作于,则中,.
第5题图
6.(1)如图1,过作于点中,,在Rt中,.将绕点顺时针旋转到,则, 中,;
第6题图1 第6题图2
(2)由题意得,将绕点顺时针旋转到,则的最大值即为的最大值,在中,,即,
如图2,当三点共线时,取得最大值,此时的最大值为6.
.
7.(1)Rt中,;
(2)①(I)当时,如图1,过点作于点,过点作于点,
,设,则,在中,,
,解得,
(II)当时,同理可得,;
②如图2,当点在点处时,过作,且,连接,过作,且,连接,当在上时,过作,且,连接.
易证,根据“一转成双”,可知,则,点的运动路径与定线段的夹角为定值,;
点的运动路径与定线段的夹角也为定值,其运动路径也必为一条线段,即线段,也必然在线段上,则易证,则,则点的路径长.
第7题图1 第7题图2
8.(1)如原题图2,是等边三角形;
(2)由(1)知,,
.
【类比应用】如图,连接,将绕点顺时针方向旋转到,连接,作延长线于 ,Rt中,.即.
第8题图
9.(1),,即,
,
设,则.
(2).
证法一:设,则,
,
,
.
证法二:以为圆心,为半径作圆.
则点都在上..
.
10.(1)结论:.
理由:在Rt中,,
四边形是正方形,,易证和是等腰直角三角形,.
(2)当三点在一直线上时,,如图1,当在左上方时,,如图2,当在右下方时,同理,,综上所述,当三点在一直线上时,的长为或.
(3)如图3,延长到使,连接,则是等腰直角三角形,,取的中点,连接,则是的中位线,
,在中,,
的最小值为.
11.(1)
是的平分线,点到直线的距离;
(2)①线段经旋转运动所形成的平面图形如图1中的阴影所示:
在Rt中,,由旋转知,,
第11题图1 第11题图2
②如图2,作于点,在Rt中,,,设,则,在Rt中,,
解得,.
12.(1)①Rt绕点按顺时针方向旋转得到Rt,
,
,
;
②在Rt中,.
.在Rt和Rt中,.在Rt中,
.
(2).
.
.
在Rt和Rt中,.
.
,又,
.
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