专题5 面积计算（含答案）- 2023年中考数学二轮专题复习

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专题5面积计算
专题价值
面积问题是中考热门的内容之一.中考中的面积问题主要涉及四类:
一是通过面积比计算相关问题.通过对图形面积的分析,可以解决有关线段比、面积比等的“涉比”型问题.这类问题的常见解法是利用共线等高、相似三角形的性质等知识求解.
二是求图形扫过的面积,阴影部分的面积等,多涉及不规则图形．我们可以采用“割”或“补”的方法,转化为用规则图形的面积的和、差来求.
三是利用铅锤法.“铅锤法”是初中数学中很常见的解题方法,利用这一方法在解决二次函数面积最值,直角坐标系下非特殊位置三角形的面积时可以化难为易、化繁为简.
四是关于动点问题中重叠面积的计算,常需要精确画图,准确计算,找临界点分类讨论.
常用解题思路
如图1,将绕点旋转得到,已知,则线段扫过图形(阴影部分)的面积为
易知阴影部分的面积为面积与扇形面积的和减去与扇形面积的和,而旋转过程中,三角形面积相等,则问题转化为两扇形面积之差.
如图2,已知点,点,求的面积.
我们可以过点作一条铅锤线,即如图3,作轴,与交于点,则的面积就可以看作是与的面积之和,此时,铅垂线反而转化为底边,再过点作轴,则水平方向上的距离(即的长),可以看作与的和,此时看作的高,看作的高,则的面积即可看成是,即铅锤高(底边)-水平宽(高).此法称为铅锤法.
如图3,
当然,我们还可以采用下列方法,
如图4,
如图
不难发现,我们可以选取三角形任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽,过第三个点作铅垂线,与之前两点所在直线交于一点,第三个点与这个交点的纵坐标之差的绝对值作为铅锤高,问题都能迎旫而解.
一、面积比例问题
例1如图,把某矩形纸片沿折叠(点在边上,点在边上),使点和点落在边上同一点处,点的对称点为点,点的对称点为点,若的面积为的面积为1,则矩形的面积等于________.
【剖析】
要求矩形的面积,需要知道和的长,由翻折知面积均已知,则求出长度,可求的长度,长度也可求,根据,可推证出,利用给出的面积比为,高相等情况下,可知,从而设参数,利用相似比,求出长度,可求四边的关系,问题迎刃而解.
【解答】
四边形是矩形,,设,由翻折知,,,,设,则,易证,或(舍去),,
矩形的面积.
二、割补法求面积
例2如图,已知矩形中,,分别以边为直径在矩形的内部作半圆和半圆,一平行于的直线与这两个半圆分别交于点、点,且与在圆心和的同侧),则由所围成图形(图中阴影部分)的面积等于
【剖析】
本题考查了不规则图形的面积计算,正确作出辅助线并进行面积的计算是解题的关键.一种思路是连接,过作,过作(如图1),从而转化为求规则图形的面积差;另一种思路是通过一条“坚线(如的中垂线)”的分割,重新“拼”成一个新的图形后(如图2),再进行面积的求解.
【解答】
法1:如图1,连接,过作,过作,易知四边形是矩形,,
,
同理,
法2:如图2,将矩形沿边中垂线分割成两部分,并重新拼接,连接.
则
三、利用性质作辅助线计算
例3已知:如图1,在正方形中,点分别是边和上的点,且满足.
(1)不用圆规,请只用不带刻度的直尺在图2中作图:在边和上分别作出点和点,使(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,当点在边上的何处时,能使,并说明理由.
(3)如图3,在正六边形中,点分别是边上的点,且.
(1)设,则
(2)设,求的值(用含的代数式表示).
【剖析】
本题考查了多边形中的面积问题.
(1)根据正方形是中心对称图形作图即可;
(2)设,根据勾股定理表示出,根据相似多边形的性质列出比例式,计算即可;
(3)(1)作交的延长线于,设,根据题意表示出,利用三角函数的定义表示出和,根据勾股定理求出,根据相似多边形的性质计算即可;(2)设,利用(1)的思路进行解答即可.
【解答】
(1)如图1即为所求,;
(2)设,则,
由勾股定理得,,
,
,
则,解得或,
当或时,;
(3)(1)如图2,作交的延长线于,
设,则,
六边形为正六边形,
,
,
;
(2)设,则,
则,
,
.
四、动点问题与重叠面积
例4如图,平面直角坐标系中,等腰的底边在轴上,,顶点在轴的正半轴上,,一动点从出发,以每秒1个单位的速度沿向左运动,到达的中点停止.另一动点从点出发,以相同的速度沿向左运动,到达点停止.已知点同时出发,以为边作正方形,使正方形和在的同侧.设运动的时间为秒.
(1)当点落在边上时,求的值;
(2)设正方形和重叠面积为,请问是否存在的值,使得 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【剖析】
(1)用待定系数法求出直线的解析式,根据题意,用含的代数式表示出点的坐标,代入直线解析式求解即可;
(2)显然,当点运动到点前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,故,用待定系数法求出直线的解析式,求出点落在边上时的值,求出此时重叠面积,则5,进一步用含的表达式表示这一时间段内的重叠面积为,解含的方程即可;
【解答】
(1)由题意得,,
设直线的函数解析式为,
将点坐标代入得,直线的函数解析式为,
当点落在边上时,点,点,
将点代入得,,解得,;
(2)存在.
由题意得,当时,从点开始运动,到到达点停止前,最大重叠面积是边长为1的正方形的面积,不合题意,故,设直线的函数解析式为,
将点坐标代入得,直线的函数解析式为,
当时,点,点,
如图1,当点落在边上时,将点代入得,,解得,,此时重叠的面积为,
如图2,设交于交于,
将代入得,,解得,点,将代入得,点,
,
,舍去),.
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1.如图,在中,点为的内心,.则的面积是________.
2.如图,点在反比例函数图象上,点在轴负半轴上,连接交轴于点,若的面积为1,则的面积为________.
3.如图,已知梯形的底边在轴上,,过点的双曲线交于,且,若的面积等于3,则的值是( )
A.2
B.
C.
D.无法确定
4.如图,边长为1的8个正方形摆放在直角坐标系中,直线平分这8个正方形所组成的图形的面积,交其中两个正方形的边于两点,过点的双曲线的一支交其中两个正方形的边于两点,连接,则________.
5.如图,Rt中,分别为边的中点,将绕点顺时针旋转到的位置,则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为________.
6.如图,在中,为的中点,,则的面积是________.
7.如图,四边形的顶点坐标分别为,当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时,直线所表示的函数表达式为________.
8.如图,点是直线与反比例函数图象的两个交点,轴,垂足为点,已知,连接.
(1)求直线的函数表达式;
(2)和的面积分别为,求.
9.将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中,点,点,点在第一象限,,点在边上(点不与点重合).折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点,并与轴的正半轴相交于点,且,点的对应点为,设.
(1)如图,若折叠后与重叠部分为四边形,分别与边相交于点,,试用含有的式子表示的长,并直接写出的取值范围;
(2)若折叠后与重叠部分的面积为,当时,求的取值范围.
10.如图,等腰梯形的上底长为2,腰长为3,一个底角为.正方形的边长为1,它的一边在上,且顶点与重合.现将正方形在梯形的外面沿边进行翻滚,翻滚到有一个顶点与重合即停止滚动.
(1)请在所给的图中,用尺规画出点在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;
(2)求正方形在整个翻滚过程中点所经过的路线与梯形的三边所围成图形的面积.
11.如图,在正方形中,是对角线上的一个动点,连接,过点作交于点.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,连接为的中点,的延长线交边于点,当时,求和的长;
(3)如图3,过点作于,当时,求的面积.
12.如图1,分别在轴和轴上,轴,轴.点从点出发,以的速度,沿五边形的边匀速运动一周.记顺次连接三点所围成图形的面积为,点运动的时间为.已知与之间的函数关系如图2中折线段所示.
(1)求两点的坐标;
(2)若直线将五边形分成面积相等的两部分,求直线的函数关系式.
图1 图2
第12题图
专题5面积计算
1.如图,过点作交延长线于点.点为的内心,,,则中,,.
2.如图,过点作轴于,由题意得,,易证.
3.如图,过点作于,延长交轴于,由题意得,,易证
.选.
4.设直线平分这8个正方形所组成的图形的面积,
,解得,把代入直线得,直线解析式为,当时,,则双曲线经过点双曲线的解析式为,当时,,解得,则;当时,,则.
5.如图,连接分别为边的中点,将绕点顺时针旋转到的位置,,易得 形
第5题图
6.,如图,延长到点,使,易证,
,
.
7．由题意得,,
易得,
连接,过点作轴交于,
直线不可能与相交.
设过点的直线与线段交于点,连接,过点作轴交于,
设,
,
即直线所表示的函数表达式为.
第7题图
8．(1)把点代入得,.
反比例函数的解析式为.
设直线的表达式为,把点代入得,.
(2),
设与的交点为,易得,
,
.
9.(1)如图1,由折叠知,,四边形为菱形,,,在Rt中,.
(2)如图2,当时,重叠部分是,
当时,,当时,,
如图1,当时,重叠部分是四边形,
, 当时,.
如图3,当时,设交于,重叠部分是,,当时,,当时,,
综上所述，.
10.(1)作图如下.
(2)①小正方形刚刚翻滚时,点在半径为1的弧上转过的圆心角为,此时点经过的路线与围成的图形的面积为扇形的面积.
②小正方形从上一位置翻滚到点与点重合时,点在半径为的弧上转过的圆心角为,此时点经过的路线与围成的图形的面积是扇形与两个等腰直角三角形和的面积和.
③小正方形从上一位置翻滚到点与的中点重合时,点在半径为1的弧上转过的圆心角为,此时点经过的路线与围成的图形的面积为扇形的面积.
后半段点经过的路线与梯形的边所围成图形的面积与前半段完全相同..
第10题图
11.(1)证明:如图1,过点作于,作于,
四边形是正方形,,四边形是矩形,又,
平分,
,
,在和中,,
;
(2)在Rt中,,
RtRt,在Rt中,,
在Rt中,,
是的中点,,
,又,
,即;
(3)如图2,过点作于,
,
,在和中,
,在等腰直角中,,
,
.
12．(1)如图1,连接,延长交轴于,设点的坐标为,
由原题图2知,,则,
,整理得,,解得或,
由原题图2知,点的坐标为,点的坐标为,
由原题图2知,,
点坐标为;
（2)在上时,直线都不能将五边形分成面积相等的两部分,
只有点在上时,才能将五边形分成面积相等的两部分,
设点,如图2,连接,则
,
,即,又点在上,,
,解得,
设直线的函数关系式为,把代入得,,
直线的函数关系式为.
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