广东省湛江市雷州市三校2023届九年级下册第一次月考数学试卷(pdf版含解析)

雷州市第八中学 2022-2023 学年
九年级第一次模拟考试数学试卷
考试时间：90 分钟；
一、单选题(每小题 3 分，共 30 分)
1．﹣2022的倒数是（ ）
A 2022 B 1 C 2022 D 1． ．﹣ ．﹣ ．
2022 2022
2．下列计算正确的是
A 2．a2 a6 a12 B． 3a 9a2 C．2a2 3a2 5a4 D． a b 2 a 2 b 2
3．下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
1
C．一个抽奖活动中，中奖概率为 ，表示抽奖 20次必有 1次中奖
20
D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件
4．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． 2 4 B． a2 C． 27 D． 2
5．2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至 2022年 5月 14日，累计确诊人数超过 520000000例，抗
击疫情成为全人类共同的战役．确诊病例“520000000”用科学记数法可表示为（ ）
A．5.2 109 B．5.2 108 C．52 107 D．0.52 109
6．如图，点 A、B、C都在⊙O上，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
第 6题图 第 7题图 第 8题图 第 9题图
A．40° B．50° C．80° D．140°
k
7．如图，P为反比例数 y= x的图象上一点，PA⊥x轴于点 A，△PAO的面积为 6，则 k的值是（ ）
A．6 B．12 C． - 12 D． 6
答案第 1页，共 4页
8．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A AD=AE B DB=EC C ADE= C D DE= 1． ． ．∠ ∠ ． 2 BC
1
9．如图，已知 AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，sinA= ，BC=1，则⊙O的半径等于（ ）
4
A．4 B．3 C．2 D． 15
10 y ax2．如图所示是抛物线 bx c a 0 的部分图象，其顶点坐标为 1,n ，且与 x轴的一个交点在点
3,0 和 4,0 之间，则下列结论：①a b c 0；②b2 4ac 0；③3a c 0；④一元二次方程
ax2 bx c n 1没有实数根．其中正确的结论个数是( )
第 10题图 第 13题图 第 15题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
1
11．函数 y 自变量 x的取值范围是________．
1 x
12．分解因式：m2﹣2m=___．
13．如图，直线 a，b被直线 c所截，已知 a //b， 1 130 ，则 2为______度．
14．已知 x2- 2 3 x+m=0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是_____．
4
15 k．如图，菱形 OABC的一边 OA在 x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC= 3，反比例函数 y= x
的图象经过点 C，与 AB交于点 D，若△COD的面积为 20，则 k的值等于_____________.
三、解答题一(每小题 8 分，共 24 分)
1 0
16．（1）计算： 3 3 2cos60 8 2022 ．（4分）（2）解方程： 2
2 x 2x 0．（4分）
1 x2 117．先化简，再求值： 1 ，其中 x 5 1．
x 1 x
答案第 2页，共 4页
18．某校为了改善办公条件，计划从厂家购买 A、B两种型号电脑．已知每台 A种型号电脑价格比每
台 B种型号电脑价格多 0.1万元，且用 10万元购买 A种型号电脑的数量与用 8万购买 B种型号电脑
的数量相同．
(1)求 A、B两种型号电脑每台价格各为多少万元？
(2)学校预计用不多于 9.2万元的资金购进这两种电脑共 20台，其中 A种型号电脑至少要购进 10台，
请问有哪几种购买方案？
四、解答题二(每小题 9 分，共 27 分)
19．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了
如下两幅不完整的统计图．
(1)填空：样本容量为 ，a= ；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)老师准备从 E类学生中随机抽取 2人担任广播体操领队．已知 E类学生中有 2名男生，1名女生，
求恰好选中 1名男生和 1名女生的概率．
20．如图，在 ABC中， ACB 90 ,CD 是 AB边上的中线，分别过点C，点D作 AB,BC的平行线交于 E
点，DE与 AC交于点O,连接 AE．
1 求证：四边形 ADCE是菱形； 2 若 AC 2DE，求 sin CDB的值．
21．图，在平面直角坐标系中，直线 y ax b k与 y轴正半轴交于 A点，与反比例函数 y 交于点
x
B（ 1，4）和点 C，且 AC＝4AB，动点 D在第四象限内的该反比例函数上，且点 D在点 C左侧，连
答案第 3页，共 4页
接 BD、CD．
(1)求点 C的坐标；(2)若 S△BCD =5，求点 D的坐标．
五、解答题三(每小题 12 分，共 24 分)
22．如图， AB为 O的直径，C为 O上一点，D为 BA延长线上一点， ACD B．
3
(1)求证：DC为 O的切线；(2)若 O的半径为 5， sin B ，求 AD的长．
5
23．如图 1，已知抛物线 y=ax2﹣ x+c与 x轴相交于 A、B两点，并与直线 y= x﹣2交于 B、C两点，其中点 C是
直线 y=x﹣2与 y轴的交点，连接 AC．
（1）点 B的坐标是 ；点 C的坐标是 ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点 E是线段 CB上的一个动点（不与点 B、C重合），直线 EF∥y轴，交抛物线与点 F，问点 E运动到何处
时，线段 EF的长最大？并求出 EF的长的最大值；
（4）如图 2，点 D是抛物线的顶点，判断直线 CD是否是经过 A、B、C三点的圆的切线，并说明理由．
答案第 4页，共 4页
雷州市第八中学 2022-2023 学年
九年级第一次模拟考试数学试卷答案
参考答案：
1
1．B 【详解】解：﹣2022的倒数是： ．
2022
故选：B．
2．B
【详解】解：A. a2 a6 a8，故该选项不正确，不符合题意；
B. 3a 2 9a2，故该选项正确，符合题意；
C. 2a2 3a2 5a2，故该选项不正确，不符合题意；
D. a b 2 a2 2ab b2，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．A
【详解】解：A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；
B. 为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，
不符合题意；
1
C. 一个抽奖活动中，中奖概率为 ，表示抽奖 20次可能有 1次中奖，故该选项不正确，不符合题意；
20
D. “投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4．D
【详解】解：A、 2 4 2 2 2 4 2 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 a2 a ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 27 3 3 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
5．B
【详解】解：520000000=5.2×108
故选：B．
答案第 1页，共 13页
6．C
【详解】∵∠C=40°，
∴∠AOB=2∠C=80°．
故选 C．
7．C
k
【详解】∵P为反比例数 y= 的图象上一点，PA⊥x轴于点 A，△PAO的面积为 6，
x
k
∴S△PAO= =6，
2
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k=-12．
故选 C．
8．D
【详解】试题分析：由 DE与 BC平行，得到△ADE∽△ABC，由相似得比例，根据 AB=AC，得到 AD=AE，
进而确定出 DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，
而 DE不一定为中位线，即 DE不一定为 BC的一半，即可得到正确选项．
故选 D．
考点：1、等腰三角形的判定与性质；2、平行线的性质
9．C
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
1
∵sinA= ，BC=1，
4
BC 1
∴ = ，
AB 4
∴AB=4，
∴⊙O的半径等于 2．
故选 C．
10．C
【详解】解：∵抛物线与 x轴的一个交点在点 3,0 和 4,0 之间，而抛物线的对称轴为直线 x 1，
答案第 2页，共 13页
∴抛物线与 x轴的另一个交点在点 2,0 和 1,0 之间．
∴当 x 1时， y 0，
即a b c 0，所以①正确；
∵抛物线与 x轴有两个交点，则b2 4ac 0，所以②正确；
b
∵抛物线的对称轴为直线 x 1，即b 2a，
2a
a b c 0，
a b c a 2a c 3a c 0，所以③正确；
∵抛物线与直线 y n有一个公共点，
∴由图象可得，抛物线与直线 y n 1有两个公共点，
∴一元二次方程 ax2 bx c n 1有两个实数根，所以④错误．
故选：C．
11． x 1
【详解】由题意得：1 x 0, x 1
12．m m 2 ．
2
【详解】解：m 2m m m 2 ．
故答案为：m m 2 ．
13．50
【分析】先根据平行线的性质得出∠3=130°，再由邻补角得到∠2=50°．
【详解】解：如图，
∵ a / /b， 1 130 ，
∴∠3=130°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-130°=50°．
故答案为：50．
答案第 3页，共 13页
14．m<3
【详解】解：∵x- 2 3 x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2 3 )2-4m>0
解得：m<3，
故答案为: m<3．
15．﹣24
【详解】如下图，过点 C作 CF⊥AO于点 F，过点 D作 DE∥OA交 CO于点 E，设 CF=4x，
∵四边形 ABCO是菱形，
∴AB//CO，AO//BC，
∵DE//AO，
∴四边形 AOED和四边形 DECB都是平行四边形，
∴S△AOD=S△DOE，S△BCD=S△CDE，
∴S 菱形ABCD=2S△DOE+2S△CDE=2S△COD=40，
4
∵tan∠AOC= ，CF=4x，
3
∴OF=3x，
∴在 Rt△COF中，由勾股定理可得 OC=5x，
∴OA==OC=5x，
∴S 菱形ABCO=AO·CF=5x·4x=20x2=40，解得：x= 2，
∴OF=3 2，CF= 4 2，
∴点 C的坐标为 ( 3 2，4 2)，
k
∵点 C在反比例函数 y 的图象上，
x
∴k= 3 2 4 2 24 .
故答案为：-24.
答案第 4页，共 13页
16．（1）1 3；（2）
1 1
【详解】解：原式=3 3 2 8 1
2 2
=3 3 1﹣2﹣1
=1 3．
16.（2）． x1 0， x2 2．
【详解】解： x2 2x 0，
x x 2 0，
x 0或 x 2 0，
∴ x1 0， x2 2．
17． x 1， 5
1 x2 1
【详解】解： 1
x 1 x
x 1 1 (x 1)(x 1)

x 1 x
x x 1
x
x 1
当 x 5 1时，原式 5 1 1 5 ．
答案第 5页，共 13页
18．(1)A、B两种型号电脑每台价格分别是 0.5万元和 0.4万元
(2)有 3种方案，即：购买 A种型号电脑 10台、购买 B种型号电脑 10台；购买 A种型号电脑 11台、购买
B种型号电脑 9台；购买 A种型号电脑 12台、购买 B种型号电脑 8台
【详解】（1）解：设 A种型号电脑每台价格为 x万元，则 B种型号电脑每台价格（x﹣0.1）万元．
根据题意得：
10 8
，解得 x 0.5，
x x 0.1
经检验：x＝0.5是原方程的解，
x﹣0.1＝0.4，
答：A、B两种型号电脑每台价格分别是 0.5万元和 0.4万元．
（2）解：设购买 A种型号电脑 y台，则购买 B种型号电脑（20﹣y）台．
根据题意得：0.5y+0.4（20﹣y）≤9.2，
解得：y≤12，
又∵A种型号电脑至少要购进 10台，
∴10≤y≤12，y的整数解为 10、11、12，
∴有 3种方案．
即：购买 A种型号电脑 10台、购买 B种型号电脑 10台；
购买 A种型号电脑 11台、购买 B种型号电脑 9台；
购买 A种型号电脑 12台、购买 B种型号电脑 8台．
19．(1)100，32；
(2)见解析；
2
(3) 3
54
【详解】（1））15÷ =100，
360
所以样本容量为 100；
B组的人数为 100-15-35-15-5=30，
30
所以 a%= ×100%=30%，则 a=30；
100
故答案为 100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
答案第 6页，共 13页
（3）画树状图为：
4 2
共有 6种等可能的结果数，其中“1男 1女”的结果数为 4，所以恰好选中“1男 1女”的概率
6 3
sin CDB 420．（1）详见解析；（2）
5
【详解】（1）证明： CE / /BD,DE / /BC，
四边形 BDEC是平行四边形．
CE BD,
CD是 AB边上的中线，
AD BD,
CE AD,
四边形 ADCE是平行四边形．
ACB 90 ,DE / /BC，
AOD ACB 90 ,
AC DE,
四边形 ADCE是菱形．
（2）解：过点C作CF AB于 F ．
答案第 7页，共 13页
平行四边形 BDEC,
DE BC,
AC 2DE,
AC 2BC,
设 BC x,
则 AC 2x,
在 Rt ACB中， ACB 90 ；
AB AC2 BC2 5x．
ACB 90 ,CF AB，
S 1 ABC AC BC
1
AB CF，
2 2
CF 2 5 x，
5
ACB 90;CD是 AB边上的中线，
CD 1 AB 5 x，
2 2
在 Rt CDF中，∠CFD 90 ，
sin CDB CF 4 ．
CD 5
21．(1)C坐标为 4，-1
(2) 1 17 1 17（ ， )
2 2
【详解】（1）解:如图， 过点 B作 BE⊥y轴于点 E，过点 C作 CF⊥y轴于点 F
k
∵反比例函数 y 经过点 B（ 1，4），
x
4 k∴ = ，
- 1
解得， k 4
答案第 8页，共 13页
4
∴反比例函数为 y
x
∵BE⊥y轴，CF⊥y轴，
∴BE∥CF，
∴△BEA∽△CFA
∵AC＝4AB ，
BE AB 1
∴
CF AC 4
∴CF＝4
4
∵反比例函数 y 经过点 C
x
∴当 x 4时， y 1，即点 C坐标为（4， 1）
（2）过点 D作 DG∥y轴，交 AC于点 G.
将点 B（ 1，4）,点 C（4， 1）代入 y ax b ,解得 a 1,b 3
∴直线的函数解析式为 y x 3
4
设点 D（t， ），点 G（t， t 3）
t
∵ S△BCD =5，
1
∴ 4 -1

-t
4
3 -

52 t
t 1 17 t 1 17解得， 1 ， ，2 2 2
∵0 t 4，
t 1 17∴ 1 2
1 17 1 17
此时，点 D的坐标为（ ， )．
2 2
答案第 9页，共 13页
22．(1)证明见解析
90
(2)
7
【详解】（1）证明：如图所示，连接OC，
∵ AB为 O的直径，
∴ BCA 90 ，
∴∠OBC+∠OCA=90°
∵OC OB，
∴ B OCB，
又∵ ACD B，
∴ ACD OCB，
∴ OCA ACD 90 ，即 OCD 90 ，
∴DC为 O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中， AB 10，∠ACB 90 ，sinB
3
，
5
∴ AC AB sin B 6，
∴ BC AB2 AC2 8，
∵∠ACD ∠B，∠D ∠D，
∴△ACD∽△CBD，
答案第 10页，共 13页
AC AD AD 6 3
∴ ，即 ，
BC CD CD 8 4
设 AD 3x，CD 4x ，则OD OA AD 3x 5，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC2 CD 2 OD2，
52 4x 2 3x 5 2∴ ，
x 30解得 （不合题意的值舍去），
7
∴ AD 3x
90
．
7
23．（1）B（4，0），C（0，﹣2），（2）y= ；（3）E（2，﹣1），EF的最大值为 2；（4）直线
CD是经过 A、B、C三点的圆的切线，理由见解析．
解：（1）由题意知直线 y= x﹣2交 x轴、y轴于点 B、C两点，
∴B（4，0），C（0，﹣2），
（2）∵y=ax2﹣ x+c经过点 B，C，
∴ ，
解得 ，
∴y= ；
（3）如图 1：
答案第 11页，共 13页
设点 E（x， x﹣2），
∵直线 EF∥y轴，
∴点 F（x， ），
EF= x﹣2﹣（ ），
EF= = ，
所以当 x=2时，EF有最大值是 2，
此时 E（2，﹣1），EF的最大值为 2；
（4）如图 2：
∵y=ax2﹣ x+c与 x轴相交于 A、B两点，
令 y=0，得 ax2﹣ x+c=0，
解得：x=﹣1，或 x=4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴OA=1，OC=2，0B=4，
∴tan∠ACO=tan∠CBO= ，
答案第 12页，共 13页
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AB是经过 A、B、C三点的圆的直径，
设圆心 Q，则 Q（ ，0），连接 QC，过点 D作 DE⊥y轴，垂足为 E，连接 QD，
y= 顶点坐标为 D（ ， ），
可求 CE=﹣2﹣（ ）= ，ED= ，CD= ，CQ= = ，QD= ，
计算得：CD2+CQ2=DQ2，
∴∠QCD=90°，
∴直线 CD是经过 A、B、C三点的圆的切线．
答案第 13页，共 13页