2022-2023学年下学期开学摸底考试卷
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（100分）
一、选择题(本题共8小题，每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)
1．的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简绝对值，根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：，
2023的倒数是，
故选：B
【点睛】本题考查了绝对值的定义和倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1．
2．据统计，2022年北京冬奥会开幕式中国大陆观看人数约人，数据用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列算式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
4．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 3 4 8 5
课外书数量（本） 12 13 15 18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15
【答案】D
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．
【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数，众数为15．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．
5．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【答案】D
【分析】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，方程有实根，△≥0，综合以上两方面进行计算即可．
【详解】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1．
故选D．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次方程的系数不为0这一条件．
7．如图，点为矩形的边上的点，于点，且，下列结论不正确的是（ ）
A．平分 B．为等腰三角形
C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质及HL定理证明Rt△DEF≌Rt△DEC，然后利用全等三角形的性质进行推理判断
【详解】解：在矩形ABCD中，∠C=90°，AB=CD
∵于点，且
∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD
在Rt△DEF和Rt△DEC中
∴Rt△DEF≌Rt△DEC
∴∠FDE=∠CDE，即平分，故A选项不符合题意；
∵Rt△DEF≌Rt△DEC
∴∠FED=∠CED
又∵矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADE=∠CED
∴∠FED=∠ADE
∴AD=AE，即为等腰三角形，故B选项不符合题意
∵Rt△DEF≌Rt△DEC
∴EF=EC
在矩形ABCD中，AD=BC，又∵AD=AE
∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF，故D选项不符合题意
由于AB=CD=DF，但在Rt△ADF中，无法证得AF=DF，故无法证得AB=AF，故C选项符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质及三角形全等的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
8．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中，①；②；③；④；其中判断正确的选项（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x轴交点个数可对③进行判断；利用当时，，可对④判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①错误；
∵，
∴，所以②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，所以③正确；
∵当时，，
∴，所以④正确．
综上，②③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题(每小题4分，共20分)
9．因式分解：_________．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．
10．代数式有意义时，的取值范围是______ ．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得，且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
11．若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”）
【答案】
【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案．
【详解】解：＞
的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
＞
＜
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键．
12．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．
【答案】3
【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
【详解】解：在中，
在矩形中，
故答案为：3．
【点睛】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，分别以点C，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则的长为_________．
【答案】6
【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以．
【详解】解：由作法得，平分，
又∵∠CBE＝60°，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
三、解答题(共48分)
14．(1)计算：
(2) 解方程：．
(3)先化简再求值：，其中
【答案】(1)6;(2) ，;(3) ；
【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义化简计算即可．
【详解】解：原式=
=
=6
(2)【详解】解：，
，
，
∴或，
解得，．
(3)【详解】解：，
，
当时，
原式．
15．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市也在各个学校开展了传承经典的相关主题活动“戏曲进校园”，某校对此项活动的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”．
(1)被调查的总人数是______人，扇形统计图中B部分所对应的扇形圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
(2)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果估计该校学生中A类有多少人；
(3)在A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树状图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
【答案】(1)50，
(2)A类：180人
(3)
【分析】（1）用类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用类人数所占的百分比乘以得到扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数，然后计算类的人数后补全条形统计图；
（2）用乘以样本中类人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有种等可能的结果数，找出被抽到的两个学生性别相同的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：，
所以被调查的总人数是人，
扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数
类的人数为人，
条形统计图为：
，
故答案为：，；
（2）解：人；
（3）解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为，
所以被抽到的两个学生性别相同的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
16．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：）
【答案】该建筑物的高度约为31.9m
【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解．
【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H
则，，
∵
∴设，则
在中，
∴
∴
∴（负值舍去）
∴，
∴，
设，则
在中，
∵
∴
在中，
∵
∴
即
∵
∴
∴
∴
答：该建筑物的高度约为31.9m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．如图，四边形中，，平分，．
(1)求证：；
(2)求证：点M是的中点；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线定义得到，然后证明即可解决问题；
（2）根据平行线的性质求出可得，然后根据等角的余角相等求出可得，等量代换得到即可解决问题；
（3）先利用勾股定理求出，再证明，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即点M是的中点；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是本题的关键，属于中考常考题型．
18．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴正半轴上，连接．将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴正半轴上，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点，点的坐标是．
(1)如图1，k＝______，点E的坐标为______；
(2)若P为第三象限反比例函数图象上一点，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求点P的横坐标；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）．设M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接，当四边形是“完美筝形”时，直接写出M，N两点的坐标．
【答案】(1)8；
(2)或
(3)，
【分析】（1）在中，，在中，，解得：，即可求解；
（2）当线段被轴分成长度比为的两部分时，则或2，即或2，即可求解；
（3）证明，则，求出的坐标为，进而求解．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，
则反比例函数表达式为：，
由图形的旋转知：，，
在中，，
在中，，解得：，
当时，，故点的坐标为，
故答案为：8，；
（2）设交轴于点，
当线段被轴分成长度比为的两部分时，则或2，
过点作轴于点，
，
或2，
，
解得或1，
即点的横坐标为或；
（3）过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
由（1）知，点、、，设点，
，，
，
①，
②，
联立上述①②并解得，
即点的坐标为，
由点、的坐标得，直线得表达式为③，
根据筝形的定义，设交于点，则是的中点，
则设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，解得，
故直线得表达式为④，
联立③④并解得，
即点的坐标为，，
是的中点，
由中点坐标公式得，点的坐标为，，
即点、的坐标分别为、，．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、解直角三角形和待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
B卷(50分)
一、填空题(每小题4分，共20分)
19．、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．
【答案】
【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案是-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．
20．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
21．东汉时期的数学家赵爽在注解周髀算经时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为，现连接四条线段得到图的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为___________．
【答案】
【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积，再用阴影的面积除以大正方形的面积即可．
【详解】解：如图，
设直角三角形的长直角边与短直角边分别为和，
则是直角三角形，
则大正方形面积，
面积，
阴影部分的面积，
针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概率和勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
22．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG=__________ ．
【答案】
【分析】作于，作交AD延长线于，连接，．在，，，中，根据勾股定理可求，，，的长，即可求的长，即可得值．
【详解】解：如图：作于，作于，连接，
四边形是菱形，
，
是中点
，
，且
，，
折叠，
，，
在中，，
，
，
在中，，，
，
，
，，
是等边三角形，
点是中点，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了折叠问题，解非直角三角形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
23．如图，在中，，，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为______．
【答案】
【分析】以为边构建出和相似的三角形，通过将边转化为其他边来求值．
【详解】解：如图所示，以为底边向上作等腰，使，连接．
由题意可得和均为顶角为的等腰三角形，
可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小，即此时最小，
如图所示，设，延长与交K，此时的最小值，
可得，
∵，
∴，
∴QK，
∵， ，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．
二、解答题(共30分)
24．受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）
A型 600 900 200
B型 800 1200 400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元（A型售价不得低于进价）．
(1)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
(2)要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
【答案】(1)0≤x≤60且x为整数
(2)20≤x≤60
(3)a＝30
【分析】（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；
（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
（1）
由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，
解得0≤x≤60，
故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；
（2）
x的取值范围为20≤x≤60．
理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，
当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，
（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，
解得：x＝20或x＝70．
要使y≥234000，
得20≤x≤70；
∵0≤x≤60，
∴20≤x≤60；
（3）
设捐款后每天的利润为w元，
则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，
当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
当x＝40时，w最大，
∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，
解得a＝30．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．
25．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积等于面积的三分之二？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
(3)将直线绕着点C旋转得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：；
(2)不存在这样的点P，理由见解析；
(3)M点坐标是或．
【分析】（1）根据点A的坐标为，可得出C点坐标，再把A、C两点的坐标代入抛物线求出a，c的值即可；
（2）过点P作轴分别交线段于点N，利用待定系数法求出直线的解析式，故可得出，，再由，解一元二次方程即可得出结论；
（3）分当直线绕着点C顺时针旋转时，当直线绕着点C逆时针旋转时，两种情况讨论，当直线绕着点C顺时针旋转时，过A作交于点K，作轴于点H，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标；当直线绕着点C逆时针旋转时，同样的方法可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
把点A，C的坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：不存在这样的点P，使得的面积等于面积的三分之二；
理由：如图，过点P作轴分别交线段于点N．
∵抛物线的解析式为，
令，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
，
由题意得，
∴，即，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为：．
设，，
则，
∴，
整理得，
∵，
∴方程无实数根，
∴不存在这样的点P，使得的面积等于面积的三分之二；
（3）解：当直线绕着点C顺时针旋转时，如图，过A作交于点K，作轴于点H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
同理求得直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
∴．
当直线绕着点C逆时针旋转时，如图，过A作交于点D，作轴于点E，
同理可证得，
得到，
同理求得直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
∴．
综上，M点坐标是或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形．
26．【问题情境】：
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中宽．
(1)【动手实践】：
如图1，威威同学将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形，则折痕的长度为______．
(2)【探究发现】：
如图2，胜胜同学将图1中的四边形剪下，取边中点，将沿折叠得到，延长交于点．点为边的中点，点是边上一动点，将沿折叠，当点的对应点落在线段上时，求此时的值；
(3)【反思提升】：
明明同学改变图2中点的位置，即点为边上一动点，点仍是边上一动点，按照（2）中方式折叠，使点落在线段上，明明同学不断改变点的位置，发现在某一位置与（2）中的相等，请直接写出此时的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过折叠的性质可证明△BMN是等腰直角三角，利用勾股定理即可求出BN；
（2）先证明．再证明，接着证明，即有∴，进而求出NF，MF，则在Rt△BFM中，有，即得解；
（3）过作交BM于点S，过P点作交KS于点K点，根据（2）的结果得到tan∠QPM=，即可得，先证明四边形KPMS是矩形，再证，即有，设SQ=m，=n，则有，，利用勾股定理可表示出，∴，根据KP=SM=SQ+QM，有，可得，即=，∴，在结合tan∠FBM=可得，进而有，解得：，则BQ得解．
(1)
根据矩形的性质有∠A=∠ABM=90°，
根据折叠的性质有∠A=∠BMN，AB=BM，AN=MN，
∴∠A=∠ABM=90°=∠BMN，即四边形ABMN是矩形，
∴AB=MN，BM=AN，
∵AB=BM，AN=MN，
∴矩形ABMN是正方形，
∴MN=BM=AB，
∵AB=8，
∴MN=BM=8，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
故答案为：；
(2)
连接EF，如图，
在（1）中已得矩形ABMN是正方形，
∴AN=MN=BM=AB=8，，
∵E为AN中点，Q为BM中点，
∴AE=EN=4=BQ=QM，
∴根据翻折的性质有，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴结合有，
∴，
∵AB=8，AE=EN=4，
∴，即NF=2，
∴MF=MN-NF=8-2=6，
∴在Rt△BFM中，，
∵，
∴；
(3)
过作交BM于点S，过P点作交KS于点K点，如图，
在（2）中求得tan∠PQM=，
∵∠QPM与（2）中的∠PQM相等，
∴可知tan∠QPM=tan∠PQM=，
∴在Rt△PQM中，，
∴根据翻折的性质有，=90°，
∴∠KP+∠QS=90°，
∵，，PM⊥BM，
∴KS⊥KP，KS⊥BM，KP⊥MN，
∴∠K=90°=∠KSQ，且四边形KPMS是矩形，
∴∠SQ+∠QS=90°，
∴∠KP=∠SQ，
∴，
∴，
设SQ=m，=n，
则有，，
∴在Rt△中，，
∴，
∵四边形KPMS是矩形，
∴KP=SM=SQ+QM，
∴，可得，即=，
∴，
∵在（2）中已求得tan∠FBM=，
∴，
∵BS=BM-SQ-QM=8-m-=，
∴，解得：，
∴BQ=BM-QM=．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行的判断与性质、解直角三角形、正方形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线证得是解答本题的关键．
12022-2023学年下学期开学摸底考试卷
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（100分）
一、选择题(本题共8小题，每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)
1．的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．据统计，2022年北京冬奥会开幕式中国大陆观看人数约人，数据用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 3 4 8 5
课外书数量（本） 12 13 15 18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15
5．如图，点D 为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
7．如图，点为矩形的边上的点，于点，且，下列结论不正确的是（ ）
A．平分 B．为等腰三角形
C． D．
8．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中，①；②；③；④；其中判断正确的选项（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第7题图 第8题图
二、填空题(每小题4分，共20分)
9．因式分解：_________．
10．代数式有意义时，的取值范围是______ ．
11．若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”）
12．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．
第11题图 第13题图
13．如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，分别以点C，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则的长为_________．
三、解答题(共48分)
14．(本题满分12分)
(1)计算：
(2) 解方程：．
(3)先化简再求值：，其中
15．（本题满分8分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市也在各个学校开展了传承经典的相关主题活动“戏曲进校园”，某校对此项活动的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”．
(1)被调查的总人数是______人，扇形统计图中B部分所对应的扇形圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
(2)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果估计该校学生中A类有多少人；
(3)在A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树状图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
16．（本题满分8分）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：）
17．（本题满分10分）如图，四边形中，，平分，．
(1)求证：；
(2)求证：点M是的中点；
(3)若，，求的长．
18．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴正半轴上，连接．将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴正半轴上，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点，点的坐标是．
(1)如图1，k＝______，点E的坐标为______；
(2)若P为第三象限反比例函数图象上一点，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求点P的横坐标；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）．设M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接，当四边形是“完美筝形”时，直接写出M，N两点的坐标．
B卷(50分)
一、填空题(每小题4分，共20分)
19．、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．
20．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
21．东汉时期的数学家赵爽在注解周髀算经时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为，现连接四条线段得到图的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为___________．
22．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG=__________ ．
第22题图 第23题图
23．如图，在中，，，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为______．
二、解答题(共30分)
24．（本题满分8分）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）
A型 600 900 200
B型 800 1200 400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元（A型售价不得低于进价）．
(1)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
(2)要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
25．（本题满分10分）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积等于面积的三分之二？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
(3)将直线绕着点C旋转得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐标．
26．（本题满分12分）【问题情境】：
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中宽．
(1)【动手实践】：
如图1，威威同学将矩形纸片折叠，点A落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形，则折痕的长度为______．
(2)【探究发现】：
如图2，胜胜同学将图1中的四边形剪下，取边中点，将沿折叠得到，延长交于点．点为边的中点，点是边上一动点，将沿折叠，当点的对应点落在线段上时，求此时的值；
(3)【反思提升】：
明明同学改变图2中点的位置，即点为边上一动点，点仍是边上一动点，按照（2）中方式折叠，使点落在线段上，明明同学不断改变点的位置，发现在某一位置与（2）中的相等，请直接写出此时的长度．
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