2022-2023学年九年级下学期开学摸底考试卷（浙江杭州专用）
数学
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．某商店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（2.5±0.1）kg，（2.5±0.2）kg，（2.5±0.3）kg的字样，任意取出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8 kg B．0.4 kg C．0.5 kg D．0.6 kg
【答案】D
【分析】先根据已知条件算出质量最重的和最轻的面粉，再把所得的结果相减即可．
【详解】解：∵0.3＞0.2＞0.1，
∴质量最重的面粉为2.5+0.3=2.8kg，
质量最轻的面粉为：2.5-0.3=2.2kg，
∴它们的质量最多相差：2.8-2.2=0.6kg.
故选：D．
【点睛】本题考查了正数和负数的意义，用到的知识点是正数和负数的意义以及有理数的减法，关键是求出量最重的面粉和质量最轻的面粉．
2．新冠病毒肆虐全球，截止至年月，全球约有人感染新冠病毒，将用科学记数法可表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．如图，在中，，取大于的长为半径，分别以点A、B为圆心，作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点D（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】由作图方法可知，则，再根据等边对等角结合三角形内角和定理求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点D在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式 的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵不是不等式的整数解，
∴，
解得．
∵是关于x的不等式的一个整数解，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．如图，直线l是函数的图象．若点P（a，b）满足，且，则P点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，代入横坐标求出纵坐标即可判断．
【详解】解：A、时，，不符合题意；
B、时，，符合题意；
C、时，，不符合题意；
D、因为，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
6．如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交、于M、N两点．若，则线段的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点M做于G，利用角平分线的性质定理，得，然后再利用的面积公式求解正方形的边长，从而得解．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
过点M做于G，如图所示，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
；
故选：A．
【点睛】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握正方形的性质与角平分线的性质定理是解答此题的关键．
7．如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（ ）
A．4 B．4.5 C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得，从而在在中，利用勾股定理求出的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后根据垂线段最短可知，当时，最小，从而可得的面积最小，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积=，
∴当最小时，的面积最小，
∴当时，最小，
∵的面积，
∴，
∴，
∴的面积的最小值，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆，圆周角定理，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，即可求得平移的距离，根据，得出Q点的纵坐标为．
【详解】解：∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了5个单位，
由题意得，
∵，
∴Q点的纵坐标为．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于x的方程是解题的关键．
9．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，只要举例说明即可求解．
【详解】解：能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是，则当，
故选D
【点睛】本题考查了举反例说明命题是假命题，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且：：，：：，连结交于，连结，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，过点作，交于点，则，，列比例式，结合已知条件可求解，，再利用角平分线的定义可求解的长，根据当时，最大，即的面积最大，结合三角形的面积公式计算可求解．
【详解】解：过点作于点，过点作，交于点，
，，
，：：，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
平分交于，
，，
，
，
，
当时，最大，即的面积最大，
的最大值为： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，确定的位置是解题的关键．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．在比小的数中，最大的整数是___________．
【答案】1
【分析】估算出的范围即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在比小的数中，最大的整数是：1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
12．小刚与小亮一起玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”、“2”、“3”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止．若两指针指的数字和为奇数，则小刚获胜；否则，小亮获胜．则在该游戏中小刚获胜的概率是______．
【答案】
【分析】根据题意，作出树状图，列举出所有情况，看两指针指的数字和为奇数的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：根据题意，作出树状图，
分析可得：共有9种情况，和为奇数的有4种情况，
所以在该游戏中小刚获胜的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率问题，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验．
13．已知函数与的图象交于点，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】先根据“函数与的图象交于点”列出二元一次方程组，再计算即可．
【详解】由题意得，
解得：，
所以点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
14．图1是一辆卸货车实物图，折线是支架，为可伸缩的液压支撑杆，测得，，，，，图2是卸货车不工作时的侧面示意图，此时与在同一直线上，，且，则________，图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线可绕点上下旋转，且始终保持不变，始终保持与地面垂直，当时，与的距离为________．
【答案】
【分析】如图所示（见详解），过点作，过点作，垂足为，并延长至的延长线，交于点，过点作延长线与点，由即可求得结果；过点作于，连接，过点作，计算出点到的距离，在减去的长度即可求解．
【详解】解：①如图所示，
过点作，过点作，垂足为，并延长至的延长线，交于点，过点作延长线与点，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∵，，且，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
②由上述的计算可知，，如图所示，过点作于，连接，过点作，且，
∵，，
∴，且，，
∴在，中，，
，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的勾股定理与实际的运用，掌握构造直角三角形，实数的运算是解题的关键．
15．已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____．
【答案】
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出，，进而得出，B点的纵坐标为，将点的坐标代入二次函数解析式，解方程求得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
令，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴B点的纵坐标为，
把代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 (是常数，) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
16．如图，为的直径，为上一点，连接为的切线，过切点作，交直线于点，连接交于点，若，，则_____．
【答案】
【分析】连接，延长交于，连接，过作于，过作于，由切线的性质及矩形的判定与性质可得，再根据圆周角定理、勾股定理及矩形的性质可得，最后根据全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】解：连接，延长交于，连接，过作于，过作于，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵为的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵分别是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．解不等式组
请结合解题过程，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得_____________；
(2)解不等式②，得_____________ ；
(3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为__________________________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示不等式的解集即可求解．．
（1）
解不等式①得，
（2）
解不等式②得，
（3）
不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示
（4）
原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键．
18．一道满分分的数学测验题，网络阅卷时老师评分只能给整数，即得分可能为分，分，分，分．为了解学生知识点掌握情况及试题的难易程度，对初三（1）班所有学生的这道试题得分情况进行分析整理后，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
小知识：试题按其难度系数值分为容易题、中等难度题和难题三类．在以上的题为容易题；在之间的题为中等难度题；在以下的题为难题（的计算公式为：，其中为样本平均数，为试题满分值）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，得分为“分”对应的扇形圆心角为______度，请补全条形统计图；
(2)由“小知识”提供的信息，请依据计算得到的的值，判断这道题属于哪一类难度的试题？
【答案】(1)25，72，图见解析
(2)中等难度题
【分析】（1）根据得0分的人数及其百分比可求出总人数，从而得到得分分的学生人数，可得到m的值，再用乘以得分为“分”对应的百分比，即可求解；
（2）先求出样本平均数，再根据的计算公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：初三（1）班所有学生的总人数为(人)，
得分分的学生人数为(人)，
∴，
得分为“分”对应的扇形圆心角为，
补全条形统计图，如下：
故答案为：25，72；
（2）解：∵，
∴，
∵在之间，
∴这道题属于中等难度题．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键．
19．在和中，，，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若平分，，点在线段上，则 度．
【答案】(1)见解析
(2)30
【分析】（1）利用证明，即可得出结论；
（2）证明是等边三角形，，利用（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点，点B的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，
(2)若点D是x轴上一点，且，求点D坐标；
(3)当时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)（-2，0）或（6，0）；
(3)或
【分析】（1）把点代入可得反比函数解析式，从而得到点B的坐标为（-2，-2），再把点，B（-2，-2）代入，可求出一次函数解析式，即可求解，
（2）设直线AB交x轴于点E，根据，即可求解；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：把点代入得：，
∴反比例函数解析式为；
∵点B的横坐标为，
∴，
∴点B的坐标为（-2，-2），
把点，B（-2，-2）代入，得：
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解： 如图，设直线AB交x轴于点E，
对于，当y1=0时，x=2，
∴点E（2，0），
设点D的坐标为（a，0），则，
∵，，
∴，
解得：a=-2或6，
∴点D的坐标为（-2，0）或（6，0）；
（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方或两图象相交，
∴当时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21．已知，如图，是的直径，点为上一点，作弦于点，交于点，过点作直线交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，结合已知条件和角度的变换可得，即可证明是的切线，
（2）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得；
（3）连接，根据可求出，进而求得，最后结合三角函数进行求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
．
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：连接，如图，
是的半径，，
，
，
，
，
．
；
（3）解：连接，如图，
由（2）知：，
，，
．
，
，
．
是的直径，
．
，
．
．
，
．
，
．
，，
．
【点睛】本题考查了三角函数的应用、圆周角定理和相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
22．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
(1)如果抛物线经过点．
①求的值；
②直接写出“区域”内整数点的个数；
(2)当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；
(3)当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．
【答案】(1)①；②6个
(2)当时，“区域”内有4个整数点；
(3)或
【分析】（1）①将点代入，求出a的值即可；
②由题意，分别求出满足条件的点即可；
（2）由题意可得在对称轴上有2个整数点，在和上各有一个整数点，则，即可求a的取值范围；
（3）求出C，D，则，由题意可知当时，C点与抛物线的顶点重合，当a≠1时，C点始终在顶点的上方，则E点在C点上方，点E，过点F作交于G，设，则，，由，求出，进而求出G，F，再将F点坐标代入函数的解析式即可求a的值．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，
∴，
解得；
②∵，
∴，
令，则，
解得或，
∴A，B，
当时，，
∴在y轴上有整点，，
当时，，
∴在的直线上有整点，，
当时，，
∴在x=2的直线上有整点，，
综上所述：“区域G”内整数点共有6个；
（2）解：令，则，
解得或，
，，
，
抛物线的对称轴为直线，
“区域”内有4个整数点，
在对称轴上有2个整数点，在和上各有一个整数点，
当时，，
解得，
当时，“区域”内有4个整数点；
（3）解：当时，，
，
点向左平移5个单位长度得到点，
，
，
，抛物线的对称轴为直线，
当时，点与抛物线的顶点重合，当时，点始终在顶点的上方，
点与抛物线的顶点始终在的两侧，
点在点上方，
，
过点作交于，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，，
，
，
点在抛物线上，
，
解得或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，三角形函数值的求法，数形结合解题是关键．
23．如图，在中，，，点是边上的动点，点在边上，．
(1)若，求的长；
(2)若为等腰三角形，求的长；
(3)如图，作的外接圆，圆心为点．
①当点运动到某一时刻，点恰好落在线段上，求此时的长；
②为线段上一点，当点从①中的位置运动到点的过程中，点也随之运动，则点运动路径的长为______直接写结果．
【答案】(1)
(2)或或
(3)①；②
【分析】（1）先解三角形，进而证明 ，进一步求得结果；
（2）当时，解，当，解Rt，当时，点E和B点重合，进一步得出结果；
（3）先证明点P在的垂直平分线上运动，进而解，当点E在点D时，点P在的中点，当点E在M点时，点P在点D处，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
作于，
，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
如图，
作于，设，
当时，，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
当时，，
，
，
当时，点和点重合，点和点重合，
，综上所述，的长为或或；
如图，
当点在上时，
，
，
，
，
作于，
，
；
如图，
作的垂直平分线，
在上截取，连接，
，
，
是等边三角形，
，
点在的垂直平分线上，
以为圆心，为半径作圆交于，连接，
，
，
点和重合，
，
点在的垂直平分线上，
点在上运动，
如图，
当时，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
当点运动到时，点在的中点，
从点运动到点，点运动的路径长是，
如图，
当时，此时点与点重合，
当点从向运动时，运动的路径长是，
点的运动的路径长是．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和分类，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是由特殊到一般猜想点轨迹并证明．
12022-2023学年九年级下学期开学摸底考试卷（浙江杭州专用）
数学
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．某商店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（2.5±0.1）kg，（2.5±0.2）kg，（2.5±0.3）kg的字样，任意取出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8 kg B．0.4 kg C．0.5 kg D．0.6 kg
2．新冠病毒肆虐全球，截止至年月，全球约有人感染新冠病毒，将用科学记数法可表示为( )
A． B． C． D．
3．如图，在中，，取大于的长为半径，分别以点A、B为圆心，作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点D（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线l是函数的图象．若点P（a，b）满足，且，则P点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交、于M、N两点．若，则线段的长为( )
A． B． C． D．
7．如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（ ）
A．4 B．4.5 C． D．
8．已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（ ）
A． B． C．4 D．
9．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且：：，：：，连结交于，连结，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．在比小的数中，最大的整数是___________．
12．小刚与小亮一起玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”、“2”、“3”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止．若两指针指的数字和为奇数，则小刚获胜；否则，小亮获胜．则在该游戏中小刚获胜的概率是______．
13．已知函数与的图象交于点，则点的坐标为______．
14．图1是一辆卸货车实物图，折线是支架，为可伸缩的液压支撑杆，测得，，，，，图2是卸货车不工作时的侧面示意图，此时与在同一直线上，，且，则________，图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线可绕点上下旋转，且始终保持不变，始终保持与地面垂直，当时，与的距离为________．
15．已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____．
16．如图，为的直径，为上一点，连接为的切线，过切点作，交直线于点，连接交于点，若，，则_____．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．解不等式组
请结合解题过程，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得_____________；
(2)解不等式②，得_____________ ；
(3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为__________________________．
18．一道满分分的数学测验题，网络阅卷时老师评分只能给整数，即得分可能为分，分，分，分．为了解学生知识点掌握情况及试题的难易程度，对初三（1）班所有学生的这道试题得分情况进行分析整理后，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
小知识：试题按其难度系数值分为容易题、中等难度题和难题三类．在以上的题为容易题；在之间的题为中等难度题；在以下的题为难题（的计算公式为：，其中为样本平均数，为试题满分值）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，得分为“分”对应的扇形圆心角为______度，请补全条形统计图；
(2)由“小知识”提供的信息，请依据计算得到的的值，判断这道题属于哪一类难度的试题？
19．在和中，，，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若平分，，点在线段上，则 度．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点，点B的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，
(2)若点D是x轴上一点，且，求点D坐标；
(3)当时，直接写出自变量x的取值范围．
21．已知，如图，是的直径，点为上一点，作弦于点，交于点，过点作直线交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
22．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
(1)如果抛物线经过点．
①求的值；
②直接写出“区域”内整数点的个数；
(2)当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；
(3)当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．
23．如图，在中，，，点是边上的动点，点在边上，．
(1)若，求的长；
(2)若为等腰三角形，求的长；
(3)如图，作的外接圆，圆心为点．
①当点运动到某一时刻，点恰好落在线段上，求此时的长；
②为线段上一点，当点从①中的位置运动到点的过程中，点也随之运动，则点运动路径的长为______直接写结果．
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