2022-2023学年九年级下学期开学摸底考试卷（浙江温州专用）
数学
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）计算的结果等于（ ）
A．6 B．－6 C．9 D．－9
【答案】C
【分析】根据有理数乘方法则计算即可．
【详解】解：=(-3)×(-3)=9，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数乘方，熟练掌握有理数乘方法则是解题的关键．
2．（2022·吉林长春·校考模拟预测）将如图所示的图形绕边旋转一周，所得几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“面动成体”即三视图判断即可．
【详解】解：绕直角边所在直线旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的俯视图是圆和圆心一点，
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，利用俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题关键．
3．（2022·台湾·统考模拟预测）某国主计处调查2017年该国所有受雇员工的年薪资料，并公布调查结果如图的直方图所示．
已知总调查人数为750万人，根据图中信息计算，该国受雇员工年薪低于平均数的人数占总调查人数的百分率为下列何者？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条形统计图得出低于平均数的人数，然后除以总人数即可．
【详解】解：该国受雇员工年薪低于平均数的人数占总调查人数的百分率为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
4．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）关于的计算正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则是解题的关键．
5．（2022·河北邯郸·校考三模）已知互不相等的9个数的中位数为5，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，补充到原来的数据中，则使这11个数的中位数保持不变的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据题意列举出抽取两个数的所有可能结果，再根据中位数的定义求解满足条件的可能结果，根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，可能为4和5，4和6，5和6，
∵互不相等的9个数的中位数为5，
∴给这一组数据中补充4和5或4和6或5和6后，组成的11个数从小到大排列，最中间的数仍为5，即中位数仍为5，
∴加入两个数后的11个数的中位数保持不变的概率为1，
故选：D
【点睛】本题考查中位数、概率计算，理解题意，解答的关键是熟练掌握中位数的求解方法：一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，数据是奇数个，则中位数是最中间的那个数．
6．（2022·广西玉林·校考模拟预测）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行解答．
【详解】解：①当时，，解得；
②当时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程有实数根，
∴，解得，
由①、②得，k的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分和两种情况进行讨论．
7．（2022·山西大同·校联考三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．I与R的函数关系式是
C．当时， D．当时，I的取值范围是
【答案】D
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，
∵反比例函数，I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
∵时，，当时，，
∴当时，的取值范围是，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
8．（2022·浙江丽水·模拟预测）如图，已知⊙上的两条弦和互相垂直于点，点在弦上，点在弦上，且，连接和，点为中点，点为中点，射线与线段交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、、，利用可得为圆的直径，再利用点为中点，点为中点，可得，分别为三角形的中位线，则得，，，，从而，，则得；利用，可得，，，则得，所以；过点作于点，则为等腰直角三角形，；在中，利用直角三角形的边角关系即可解答．
【详解】解：连接、、，如图，
，
．
为的直径，
．
点为中点，点为中点，
是的中位线，是的中位线．
，，，．
，
．
，
．
为等腰直角三角形．
．
，，
．
．
，
．
．
，
．
过点作于点，则为等腰直角三角形，
．
在中，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、特殊角的三角函数值、解直角三角形、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及推论等知识点．灵活利用解直角三角形的知识是解题的关键．
9．（2022·广东广州·校考三模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，……都是“雁点”．若抛物线上有且只有一个“雁点”，该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．当时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】抛物线上有且只有一个“雁点”，，求得 =16-4ac=0，即ac=4，求出点M的坐标为（，0），E（，），过点E作EH⊥x轴于H，则HE=，求出MH=HE，即可求解．
【详解】解：∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
∴“雁点”所在正比例函数的解析式为y=x，
∵抛物线上有且只有一个“雁点”，
∴，
∴ =16-4ac=0，即ac=4，
则=0为=0，
解得x=或x=，
∵a>1，
∴点M的坐标为（，0），
由，ac=4，解得x=，
∴E（，），
过点E作EH⊥x轴于H，则HE=，
MH=，
故∠EMN的度数为45°，
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是函数性质的应用．
10．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，两个大小不等的正方形被切割成5部分，且②与⑤的面积之差为8，将这5部分拼接成一个大正方形，连接交于点，若，则大正方形的面积为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．50
【答案】D
【分析】如图，根据拼图性质，结合两个图之间的边角关系，利用正方形的性质、相似三角形的判定与性质得到，设，用x表示出图形②和⑤的面积，再由求得x值，即可得，，再根据正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴；
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
，
∵，
∴
解得，
∴（负值舍去），
∴，，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查图形的拼凑，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质，能找到两个图形中线段间的关系是解答的关键是．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）利用分解因式计算：______．
【答案】
【分析】直接平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用公式法分解因式，解题的关键是正确应用平方差公式．
12．（2022·福建漳州·统考模拟预测）随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是______．
【答案】套餐一
【分析】根据条形图获取人数最多的套餐种类即可．
【详解】解：根据条形图知套餐一有50人喜欢，人数最多．
故答案为：套餐一．
【点睛】本题考查从条形图获取消息和处理消息，掌握从条形图获取消息和处理消息是解题关键．
13．（2022·新疆·模拟预测）代数式有意义时，的取值范围是______ ．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得，且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
14．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，矩形中，，．以为圆心，的长为半径作弧交边于点，则阴影部分的面积是 __．
【答案】
【分析】根据题意可得，则可以求出，可以判断出，进一步求解，代入弧长计算公式可得出阴影面积．
【详解】解：
如图，连接，
在中，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查扇形的面积，解答本题的关键是求出的度数，要求我们熟练掌握扇形面积公式及解直角三角形的知识．
15．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，一张宽为，长为的矩形纸片，先沿对角线对折，点落在的位置，交于，再折叠一次，使点与点重合，得折痕，交于，则______．
【答案】
【分析】由折叠的性质与矩形的性质，证得是等腰三角形，则在中，利用勾股定理，借助于方程即可求得的长，又由，得到，由三角函数的性质即可求得的长．
【详解】解：由折叠的性质得：，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
16．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，中，分别以、为底边向外作等腰和等腰，连接，点为的中点，连接并延长交的延长线于点，，，若，，则的值为______．
【答案】
【分析】作交的延长线于K，连接，作于R，首先证明进而证明出，推出，由，推出，设，由，可得，由，推出，在中，根据，构建方程求出a，再解直角三角形求出，即可解决问题．
【详解】解：作交的延长线于K，连接，作于R，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
解得或（舍弃），
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，解决本题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题(本大题共8小题,共66分)
17．（2022·山东济南·模拟预测）关于x的不等式组，解集为，求k的取值范围．
【答案】
【分析】首先解不等式，然后根据解集为求解即可．
【详解】解：由①得，由②得，
∵不等式组的解集为，
∴，
即k的取值范围为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）在方格纸中，线段和直线的位置如图所示：
(1)画出线段关于直线的对称线段；
(2)若小方格的边长为1，连接，画出线段绕点顺时针方向旋转所得到的线段，并求出点旋转到所经过的路径长．
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解，点旋转到所经过的路径长为
【分析】（1）根据轴对称的性质可直接进行作图；
（2）由题意先作出图，然后根据弧长公式可求解．
【详解】（1）解：线段如图所示：
（2）解：线段如图所示，
∴，，
∴点旋转到所经过的路径长为．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理与网格问题及弧长计算公式，熟练掌握轴对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理与网格问题及弧长计算公式是解题的关键．
19．（2022·山东青岛·校考二模）每年月日为国家宪法日，为了解初中生对宪法知识的了解情况，青岛某中学利用法治教育课，采取满分为分的宪法知识竞赛活动，对全校学生进行测试，将测试成绩按，，，，这个小组分别进行统计；，；；，其中得分在组这一范围内的成绩单位：分分别是，，，，，，，，，，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图和统计表．
调查结果统计表
组别 分数分组 频数 频率
请根据以上信息解答下列问题：
(1)______，______．
(2)被随机抽取的名学生成绩的中位数为______；
(3)若在扇形统计图中，组所在扇形圆心角的度数是______；
(4)规定成绩大于等于分以上者学校将进行表彰，若该校共有人参加测试，请估计学校这次表彰的人数是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)252人
【分析】（1）由统计表中或先算出抽样人数，再根据频数分布直方图得到的频数，根据频数的和是总数算出，利用“频率等于频数除以总数”计算出频率；
（2）利用中位数的定义求出这组数据的中位数；
（3）利用“扇形的度数该组的频率”计算出组的圆心角；
（4）先计算出样本中成绩大于等于分以上的频率，再计算该校发奖人数．
【详解】（1）解：，
由频数分布图知，的频数为，
所以的频率为．
．
故答案为：，．
（2）按得分从小到多排列，第十个数和第十一个数在组，
第十个数是，第十一个数是．
所以随机抽取的名学生成绩的中位数为．
故答案为：．
（3）组的频数为，其频率为，
组所在扇形圆心角的度数是：．
故答案为：．
（4）样本中超过分的频率为：，
所以该学校这次表彰的人数是：人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、中位数等知识点，掌握“各频数的和总数”、“各频率的和”、“扇形角的度数该组的频率”及中位数的定义是解决本题的关键．
20．（2023·广西玉林·一模）已知：．
(1)尺规作图保留作图痕迹，不写作法：作的垂直平分线，使交于；
(2)连，若，，则的周长为______．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】对于（1），分别以A、B两点为圆心，以大于长度为半径画弧，在两边分别相交于两点，然后过这两点作直线，即为的垂直平分线；
对于（2），根据线段垂直平分线的性质得出，再根据周长公式即可得出答案．
【详解】（1）作图如图所示：
（2）的垂直平分线，
.
，，
的周长是：（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握“垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”．
21．（2022·青海西宁·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标．
【答案】(1)
(2)P点坐标
【解析】（1）
∵四边形是矩形
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴
把代人得，
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）
∵点D是CB中点，
∴B（8,3）
当x=8时
∴E（8，）
当AEP构成等腰三角形时，只能是PA=EA=
P点可位于E点左边或右边
当P点位于E点左边时：
P的横坐标x=8-=
当P点位于E点右边时：
P的横坐标为x=8+=
故P点坐标
【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数表达式、矩形性质在求坐标中的应用，等腰三角形性质，掌握这些才能解出此题．
22．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若与交于点，且，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证；
（2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵等边和等边，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
过G作于H，
在中，，，，
∴，
中，，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键．
23．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
【答案】(1)
(2)①M点的坐标为或 ；②M点的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；
（2）①先求出抛物线的对称轴为，作直线于点D，作于E，根据相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时进行求解即可；
②先确定进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时，（3）当时进行求解即可．
【详解】（1）将点，分别代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①抛物线的对称轴为直线，
作直线于点D，作于E，
∵，
∴当，即，
∴，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
∴当，即，
∴，如图2，
同理可得，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或；
②∵，
∴，
当时，，此时点M的坐标为；
当时，点N与点P重合，则，
∴，此时M点的坐标为；
当时，在中，，
∵，
∴，即，
解得，此时点M的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计算；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
24．（2022·山东日照·校考二模）（1）【问题提出】如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ．
（2）【问题探究】如图2，在中，为边上高，且，点P为内一点，当时，求的最小值；
（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园，如图3，米，，，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P，使得，并在内种植当季蔬菜，边的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在边上取点E，并沿、修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）的最小值为7；（2）的最小值为；（3）的长度存在最小值，最小值为米．
【分析】（1）连接交圆O于点P，则的值最小，由矩形的性质及圆的性质可求出答案；
（2）作的垂直平分线，如图2．作点B关于直线l的对称点，连接、、，交直线于点，连接，证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出的长，则可得出答案；
（3）如图3，作点D关于的对称点，连接交于点E，则．当取得最小值时，的值最小．以为边向左作等边，作的外接圆，连接、．由直角三角形的性质求出（米）．则可得出答案．
【详解】解：（1）如图1，
连接交圆O于点P，则的值最小，
∵E为的中点，O为的中点，矩形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
（2）作的垂直平分线l，如图2．
∵，
∴点P到的距离等于，
∴点P在内的直线l上．
作点B关于直线l的对称点，连接、、，交直线l于点，连接，
则，，，
∴．
∵，
∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值为的长．
∵，，，
∴．
∴为等腰直角三角形，
∴， 即的最小值为．
（3）如图3，作点D关于的对称点，连接交于点E，则．
∴，
∴当点、E、共线时，取得最小值，
∴当取得最小值时，的值最小． 以为边向左作等边，作的外接圆，连接、、
∵，，
∴点P在劣弧上运动，连接交于点，则．
∵，，
∴， 即的最小值为的长．
∵为等边的外接圆，
∴平分 ，
∴．
又∵，
∴．
∵（米），，，
∴（米），
过作于，则，
∴（米），
∵为的中点，，
∴（米），
∴（米），
∴（米）．
即的长度存在最小值，最小值为米．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的外接圆，垂径定理的应用，等腰三角形的性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，本题难度大，正确作出辅助线是解题的关键．
12022-2023学年九年级下学期开学摸底考试卷（浙江温州专用）
数学
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）计算的结果等于（ ）
A．6 B．－6 C．9 D．－9
2．（2022·吉林长春·校考模拟预测）将如图所示的图形绕边旋转一周，所得几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·台湾·统考模拟预测）某国主计处调查2017年该国所有受雇员工的年薪资料，并公布调查结果如图的直方图所示．
已知总调查人数为750万人，根据图中信息计算，该国受雇员工年薪低于平均数的人数占总调查人数的百分率为下列何者？（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）关于的计算正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
5．（2022·河北邯郸·校考三模）已知互不相等的9个数的中位数为5，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，补充到原来的数据中，则使这11个数的中位数保持不变的概率为（ ）
A． B． C． D．1
6．（2022·广西玉林·校考模拟预测）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．（2022·山西大同·校联考三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．I与R的函数关系式是
C．当时， D．当时，I的取值范围是
8．（2022·浙江丽水·模拟预测）如图，已知⊙上的两条弦和互相垂直于点，点在弦上，点在弦上，且，连接和，点为中点，点为中点，射线与线段交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广东广州·校考三模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，……都是“雁点”．若抛物线上有且只有一个“雁点”，该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．当时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，两个大小不等的正方形被切割成5部分，且②与⑤的面积之差为8，将这5部分拼接成一个大正方形，连接交于点，若，则大正方形的面积为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．50
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）利用分解因式计算：______．
12．（2022·福建漳州·统考模拟预测）随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是______．
13．（2022·新疆·模拟预测）代数式有意义时，的取值范围是______ ．
14．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，矩形中，，．以为圆心，的长为半径作弧交边于点，则阴影部分的面积是 __．
15．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，一张宽为，长为的矩形纸片，先沿对角线对折，点落在的位置，交于，再折叠一次，使点与点重合，得折痕，交于，则______．
16．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，中，分别以、为底边向外作等腰和等腰，连接，点为的中点，连接并延长交的延长线于点，，，若，，则的值为______．
三、解答题(本大题共8小题,共66分)
17．（2022·山东济南·模拟预测）关于x的不等式组，解集为，求k的取值范围．
18．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）在方格纸中，线段和直线的位置如图所示：
(1)画出线段关于直线的对称线段；
(2)若小方格的边长为1，连接，画出线段绕点顺时针方向旋转所得到的线段，并求出点旋转到所经过的路径长．
19．（2022·山东青岛·校考二模）每年月日为国家宪法日，为了解初中生对宪法知识的了解情况，青岛某中学利用法治教育课，采取满分为分的宪法知识竞赛活动，对全校学生进行测试，将测试成绩按，，，，这个小组分别进行统计；，；；，其中得分在组这一范围内的成绩单位：分分别是，，，，，，，，，，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图和统计表．
调查结果统计表
组别 分数分组 频数 频率
请根据以上信息解答下列问题：
(1)______，______．
(2)被随机抽取的名学生成绩的中位数为______；
(3)若在扇形统计图中，组所在扇形圆心角的度数是______；
(4)规定成绩大于等于分以上者学校将进行表彰，若该校共有人参加测试，请估计学校这次表彰的人数是多少？
20．（2023·广西玉林·一模）已知：．
(1)尺规作图保留作图痕迹，不写作法：作的垂直平分线，使交于；
(2)连，若，，则的周长为______．
21．（2022·青海西宁·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标．
22．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若与交于点，且，，，求的面积．
23．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
24．（2022·山东日照·校考二模）（1）【问题提出】如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ．
（2）【问题探究】如图2，在中，为边上高，且，点P为内一点，当时，求的最小值；
（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园，如图3，米，，，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P，使得，并在内种植当季蔬菜，边的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在边上取点E，并沿、修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
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