课件111张PPT。高考试题分析与高考复习山西省平遥中学 常毓喜◆考试要求的变化情况 ◆近几年高考数学试题的特点◆2004年高考复习建议一、新旧大纲对比二、新旧考试说明对比◆考试要求的变化情况1 ．前言2 ．教学目的3 ．教学时数4 ．教学内容5． 教学要求6． 教学中应注意的问题7． 教学评价（教学测试和评估）一、新旧大纲对比旧大纲：高中数学是义务教育后普通高级中学的一门主要课程。它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生产、日常生活和进一步学习的必要基础，对形成良好的思想品质和辩证唯物主义世界观有积极作用。 新大纲：高中数学是义务教育后普通高级中学的一门主要课程。它是学习物理、化学、计算机等学科和进一步学习的基础，也是参加社会生产、日常生活的基础，对于培养学生的创新意识和应用意识，认识数学的科学和文化价值，形成理性思维有积极作用 。1.前言旧大纲：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力，以及创新意识；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点。 新大纲：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何、概率统计、微积分初步的基础知识、基本技能，以及其中的数学思想方法。 在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。 2.教学目的??? 旧大纲：选修课Ⅰ52课时，选修课Ⅱ104课时；
新大纲：选修课Ⅰ44课时，选修课Ⅱ88课时。 3.教学时数知识点4.教学内容6．教学中应注意的问题 新旧教学大纲都是从教学评价的原则和目的、内容、手段和方法以及评价过程等四个方面进行了阐述。考查学生的学习方法是考试评价的一个重要目标。教育部在基础教育课程改革提出的其中一个目标就是：不仅要教学生学会，而且要教学生会学。从学会到会学，是教育观念的一个大转变。学会学习比学多少更重要。主要的变化有：
（1）在评价的内容上，新大纲除了关注学生的有关知识、技能和能力外，还关注学生的学习兴趣和情感体验等的发展；既尊重个体差异，又关注学生学习策略和学习行为的共同规律，发挥学生学习数学的潜能。
（2）在评价的手段和方法上，增加了研究性学习课题、学习交流、自评与互评、多次评价等方法，并关注学生对评价结果的认同。7．教学评价（教学测试和评估）二、新旧考试说明对比理科文科◆近几年高考数学试题的特点 2003年高考，是近几年最受社会关注的一年,也是人们印象最深,影响最广的一年.原因有三：一是高考时间提前；二是今年春天ＳＡＲＳ的突袭；三是数学试题考生反应难度较大． 实际上，仔细研读2003年高考的各套数学试题，耳目为之一新.试题以它的知识性、思辩性、灵活性和美感，描绘出一个绚丽多姿的数学世界,充分体现考素质考潜能的考试功能.看看全国各地的评价：充分体现数学的思维价值和人文价值；几经磨砺，走向成熟；反向思考，妙题好卷；匠心独运，与时俱进；融合自然，新颖脱俗；…二 突出能力立意三 在知识网络的交汇点设计试题四 多方面考查数学思想方法五 考查学生的应用意识六 考查学生的创新意识一 重点知识构成试卷的主体 突出主干知识，不回避重点知识，重点知识常考常新；对函数的考查依然保持较高的比例；解析几何问题还是围绕直线与圆锥曲线的位置关系这个重点来设计试题；立体几何同样突出“线面位置关系”这个重点；当然向量的工具性也仍然是一个亮点。一 重点知识构成试卷的主体 命题理念是命题的指导思想，近几年的高考试题，坚持考查有价值的数学,包括数学知识与技能、数学方法、数学思想等,基础考查能体现以学生发展为本的数学,其中包括学生的主动学习精神,自己构建认知结构,探索问题和解决问题的过程、方法和能力.不仅考查学生学会了什么，还要考查学生是否会学.二 突出能力立意 对能力的考查上,数学能力中“老三篇”(思维能力、运算能力、空间想象能力)依然是考查的重点,在此基础上注重对一般能力的考查,特别是归纳、概括、类比、探究等的考查,注重对学生的创新意识和实践能力的考查.1.（2003年新课程卷文科第16题）
在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何中的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则 .2.(2002年春季上海第12题)
若从点O所作的两条射线OM0N上分别有点M1,M2与点N1,N2,则三角形面积之比若从点O所作的不在同一平面的三条射线OP,OQ,OR上分别有点P1,P2与点Q1,Q2和点R1,R2,则类似的结论为: .3.(上海2002理第22题)
规定 ,其中x?R,
m是正整数,且Cx0=1,这是组合数Cnm(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求C5-15的值；
(2)组合数的两个性质:
①Cnm=Cnn-m ②Cnm+Cnm-1=Cn+1m
是否都能推广到Cxm(x?R, m是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并进行证明;若不能，说明理由;
(3)已知组合数Cnm是正整数,证明:当x?Z,m是正整数时, Cxm ?Z. 该题的设计亮点是从组合数的基本概念出发,源于教材又高于教材,要求学生学习一个推广了的新定义.为了帮助学生理解这个定义的实质和运算法则,设计了求 C5-15的值.然后要求学生弄清Cxm与熟悉的Cnm之间是区别和联系.集中考查了学生学习能力,数学的应用能力,考查研究性学习、创新教学中应该体现的思想活动。4.2001年高考理科第20题：
已知i,m,n是正整数，且1
(Ⅰ)证明:niAmi(Ⅱ)证明:(1+m)n>(1+n)m.这个题第(Ⅱ)题实际上是贝努利(Bernoulli)不等式的特例：设x> -1，则
（1）当0（2）当a<0或a>1时， (1+x)a ≥1+ax其中等号成立的充要条件是x=0.
令x=m,a=n/m即可。已知函数f(x)= ，那么
f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )= ，6.(2002年新课程卷第16题)5.002年上海春季第22题对于函数发f(x),若存在x0?R，使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a取值范围；
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A,B两点关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值。 1.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足 其中α、β∈R，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为三.在知识网络的交汇点设计试题三点A、B、C共线的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x,使2.(2003年新课程理科第4题)
O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足:
∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3.已知常数 a>0，向量c=(0,a)，i=(1,0)，经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i- 2λc 为方向向量的直线相交于点P，其中λ?R. 试问:是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标;若不存在，说明理由.一般地,过点P(x0,y0)且方向向量为a=(u,v)的直线方程为:
一般地,过点P(x0,y0)且法向量为n=(a,b)的直线方程为:
a(x-x0)+b(y-yo)=0函数与方程的思想化归与转化的思想分类与整合的思想数形的结合与分离有限与无限的思想特殊与一般的思想四 多方面考查数学思想方法1.(2003新课程卷理第10题)
已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),
C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1 A.(1/3,1) B.(1/3,2/3)
C.(2/5,1/2) D.(2/5,2/3)思考：若tanθ= ，则P1、P2、P3、P4分别为BC、CD、DA、 AB的中点，从而x4=1，与题设不符，故可排除A、B、 D ，所以选C.P42.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
+ 等于
A.2a B.1/2a
C.4a D.1/4a3.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为 ① ② ③
若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则
五 应用意识（1）继续把应用题作为考查的重点（2）突出数学建模 1.(2003年全国理科第20题)
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 θ(θ =arccos ）方向300km的海面P处，
并以20km/h的速度
向西偏北方向移动，
台风侵袭的范围为
圆形区域，当前半
径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？台风侵袭的区域为
(x-x0)2+(y-y0)2≤(10t+60)2把原点O的坐标代入,
并整理得:t2-36t+288≤0,
解得:12 ≤ t≤24.台风中心P的坐标为思考:
1.也可以以点P为坐标原点建立平面直角坐标系来解决.2.设台风中心运动到点Q
时开始影响城市O.此时，PQ=20t,OP=300,
OQ=60+10t,∠OPQ=θ-45O,
cos∠OPQ= cos( θ-45O)= ,
在△OPQ中用余弦定理也能解决.3.还可以建立向量的模型以及复数的模型来解决. 因复数、向量、三角函数、解析几何之间的密切关系，使我们看到知识之间的沟通和殊途同归的可喜之处. 2.某城市2001年末汽车保有量为30万量，预见以后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少量？ 模型二：对满足0 x≤60- (1-0.06)a=60 – 0.94a,
当a=60时,函数60 – 0.94a取得最大值3.6,即x≤ 3.6.
所以每年新增汽车数量不应超过
3.6万量.
反思:
换一种思维方式.如果每年新增汽车数量比年末报废汽车的数量要少，那么汽车的保有量就会逐年减少,这样就能保证城市汽车保有量不超过60万量；如果每年新增汽车数量比年末报废汽车的数量要多，则汽车的保有量就会逐年增加,经过若干年后城市的汽车保有量就会超过60万量.所以要想城市的汽车保有量不超过60万量,就必须
x ≤60?6%=3.6. 我们知道，应用问题的解决关键是建立数学模型，通过这道题可以看出，同样的问题，如果建立的数学模型不同，则解决问题的难易程度就会有很大的区别。数学建模的能力是近几年高考的一个重点，当然也应该是我们日常教学应培养的能力之一。1.(2002年上海第12题)
已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f-1(x),则方程f(x)=0有解x=a,且f(x)>x(x?D)的充要条件是y=f-1(x)满足: .本题结论开放,答案不唯一. 六 设置开放性问题，尝试附加分，激励探索创新2．（2003年全国第22题）
（I）设{an}是集合{2t+2s|0≤s 将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；（2）求a100;3
5???6
9 10 12
— — — —
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分） 设{bn}是集合{2t+2s+2r|0≤r （i i）解：设a100= + ，只须确定正整数t0,s0.
数列{an}中小于 的项构成的子集为{2t+2s|0≤s其元素个数为
满足上式的最大整数t0为14，所以取t0=14.因为100-C142=s0+1，由此解得s0=8.
所以a100=214+28=16640.(Ⅱ)bk=1160=210+27+23,
令M={c∈B|c<1160}，
其中B={2t+2s+2r|0≤r故M={c∈B|c<210}∪{c∈B|210{c∈B|c<210}={2t+2s+2r|0≤r|0≤r<3}，其元素个数为C31；所以k= C103+ C72+ C31+1=145.思考：（Ⅰ）题中三角形数表转换为二进制数表，得：11101110100110101100其规律极为明显，第n行有n个数，每个数有n+1位，其中两位是1，其余是0，并且从左往右递增。(1)第四行应为100012=24+20=17，100102=24+21=18，101002=24+22=20，110002=24+23=24；第五行应为1000012=25+20=33，1000102=25+21=34，1001002=25+22=36，1010002=25+23=40，1100002=25+24=48.(2)由1+2+3+???+n≤100,得:
n ≤13.所以a100 是第14行的第9个数,即a100=1000001000000002
=214+28=16640.(Ⅱ)b1,b2,b3,…用二进制表示依次为111,1011,1101,1110,
设bk=1160=210+27+23=100100010002是一个二进制中11位数,那些位数小于11位的共有C22+C32+???+C92=120;位数是11位,但第8,9,10位都是0的数共有C72=21;位数是11位,但第同时第8位为1且比小的共有3个，所以bk是第120+21+3+1=145个数.本题主要考查了数列和组合的知识，题目设计新颖，具有竞赛题的味道，对学生的阅读能力有较强的考查。仔细分析，发现可以在二进制中进行描述，观点的转化，让对象的规律明显的凸现出来，解题就形成了流水般的过程。其巧又妙。2.（1）给出两快面积相同的正三角形纸片，要求要其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请你设计一种方法，分别用虚线标示在图中，并作简要说明。（2）使比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。
（3）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）如果给出的是一块任意三角形的纸片，要求剪拼成一个直角三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图中，并作简要说明。 本题是属于综合性学习的范畴，可以考查学生主动探究的能力，考查批判思维、创造思维的层次以及动手制作与理论验证的协调，正如前面所说，本题在高考命题内容改革中是划时代的。
本题有三个层次的考查要求：第一层次，按照题目要求设计剪拼方案；第二层次，正确计算，并进行比较；第三层次，按照题目要求，设计由任意三角形剪拼出直三棱柱的方案，这是一个开放性问题，考生可以提出不同的方案。根据不同的方案，可以得到不同的结论老师们都很担心，高考会不会支持新一轮课程改革，那么本题就是一个信号，高考决不会让死记硬背的学生得高分。每一所学校都要认真开好综合实践活动课，它包括：信息技术教育、研究性学习、社区服务与社会实践以及劳动与技术教育。特别是研究性学习，在主动参与、自主探究、收集和处理信息、合作交流的过程中使学生的数学素养和人文素养得到提高，这样才能适应高考内容改革的新趋势。事实上，对本题（Ⅰ）、（Ⅱ）还存在正三棱柱的其它不同的拼法，当正三棱柱的底面积越来越小时，它的高适当增大，但是体积逐步变小，因而也可能出现 的情况。由此可见，本题是一条开放题，根据不同的剪拼方案，有可能得到不同的结论。教育部考试中心的评价报告中指出，这道题“别开生面，要求考生自行设计，将正三角形纸片剪拼成正三棱锥、正三棱柱模型，通过动手剪拼的实际操作，要求考生把握数学规律的内在本质，自己动手解决实际问题.这种题型有较大的自由度和思维空间，体现自主学习和主动探索精神，显现出研究性学习的特点，对于培养考生的实践能力和创新意识有重要意义.”对于“把握数学规律的内在本质”、“有较大的自由度和思维空间”如何理解呢？先看考试中心提供的标准答案： 设正三角形的边长为2，则
V锥-V柱=（ S锥-S柱）? =
所以，V锥(1)底面是正三角形;
(2)侧面是三个全等的矩形,底边与底面三角形边长相等; 有了以上特征,则解题方向随之明确:
首先在三角形的两个（或三个）角上截取两个全等的三角形做三棱柱的两底，再把剩下的平行四边形等积变换成三个全等的矩形．这个方法可推广到一般的三角形.研究性课题一将三棱锥展开,则具有以下特征:
(1)底面是正三角形;
(2)侧面是三个全等的等腰三角形,底边与底面三角形边长相等;有了以上特征,则解题方向随之明确:
(1)作一边的平行线，得到一个小正三角形做正三棱锥的底面;
(2)再把剩下的等腰梯形等积变形为3个全等的等腰三角形(底边与底面三角形边长相等)作为正三棱锥的侧面。其中第二步是一个难点．研究性课题二1.5x换一个角度研究性
课题三居高临下1.三面角的任意两个面角的和对于第三个面角.2.三面角的三个面角之和小于360o.3.面积相等的两个三角形必是剖分相等的。4.存在一个三角形与已知多边形剖分相等.5.两个等面积多边形剖分相等.关于体积大小的比较1.x的范围
需要考虑以下几个方面：
①三棱锥的高大于零；
②侧面顶角小于120o；
③侧面积大于底面积.由此可得:的取值范围是(0, a)2.棱锥与棱柱的体积大小按上面我们讨论的方案计算:
V锥=V柱=可得:深入研究探究一:能否将题中的正三角形变为等腰三角形,一块剪拼成三棱锥,一块剪拼成直三棱柱?探究二:能否将题中的正三角形变为直角三角形,一块剪拼成三棱锥,一块剪拼成直三棱柱?探究三:能否将题中的正三角形变为任意三角形,一块剪拼成三棱锥,一块剪拼成直三棱柱?探究四:能否将题中的正三角形变为全等的矩形,一块剪拼成正四棱锥,另一块剪拼成直四棱柱?1. 重视基础知识、基本技能和基本思想方法的复习 2.突出重点，抓住知识之间的相互联系3.重视联系实际，增强应用意识4.倡导主动学习，重视研究性学习方式◆2003年高考复习建议①概念的理解要准确而且深刻1. 重视基础知识、基本技能和基本思想方法的复习②基本技能的掌握要精确而且熟练③基本思想方法的渗透要立足于课堂2. 突出重点，抓住知识之间的相互联系（1）函数、方程、不等式（2）向量与解析几何、向量与立体几何（3）数列与不等式（4）导数的应用（1）函数、方程、不等式1.不等式组 的解集是A.{x|0C.{x|0A.b∈(-∞,0)
B. b∈(0,1) C. b∈(1,2)
D. b∈(2,+∞)20xy1（2）向量与解析几何、向量与立体几何 【结论1】设A、B是直线m上的点，C、D是直线n上的点，则有：
m∥n ∥
（AB、CD不重合）；
m⊥n ? =0.（证明略） 【结论2】设n是平面 的一个法向量，直线 a?平面 ,若a⊥n,则a∥平面 .【结论3】设n是平面 的一个法向量，若a∥ n, 则a⊥平面 .
【结论4】设A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且直线a与b是异面直线，则< , >就是异面直线a与b所成的角或它的补角.【结论5】设A∈a,B∈a, n是平面α的一个法向量，如果< ,n>是一个锐角，则直线a与平面α所成的角就是< ,n>的余角，
即 - < ,n>；如果< ,n>是一个钝角，
则直线a与平面α所成的角就等于< ,n>- 【结论6】设α、β是二面角α-L-β的两个面，n、m分别是α、β的法向量，如果当n与m的起点都在二面角的面内,方向均指向二面角的内部或均指向二面角的外部,则这个二面角的大小就是π-;如果n与m的方向一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是. 【结论7】点P是直线L外一点，A是直线L上一点，n是直线L在点P与直线L所确定的平面内的一个法向量，
则点P到直线L的距离d= .
【结论8】设a、b是异面直线,向量n满足n⊥a,n⊥b,点C、D分别是直线a、b上任意一
点,则异面直线a、b的距离d= . 【结论9】设点P在平面α外，点A是平面α内任意一点，n是平面α的一个法向量，则点P
到平面α的距离d=|PQ|= . 3.重视联系实际，增强应用意识4.倡导主动学习，重视研究性学习方式谢 谢常毓喜 2003.9.12课件18张PPT。高考数学命题趋势及备考策略 周迎新
一.2003年新课程高考数学试题特点
（例1）.已知方程 的四个根组成的一个首项为的等差数列，则（ ）
A．1 B．3／4 C 1／2 D 3／8
C-1 1、突出能力立意（例2）使log2(-x)又
2、突出知识主干 3、突出考查数学思想方法和理性思维新课程卷第（21）题： 已知常数a>0，向量
c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.4、突出创新发展（1）、重视知识拓宽，开辟新领域
例4．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，
则 ”。
S2△ABC+ S2△ACD + S2△ADB = S2△BCD 120例5，新课程卷理科第（15） 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分
不能栽种同样颜色的花，不同的栽种
方法有 。（以数字作答） (3)、注重横向联系，实施跨学科渗透例5，题已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）。设P4的坐标为（x4，0），若1< x <2，则tanθ的取值范围是 （ ）
A（1/3，1） B（1 / 3，2 / 3） C（2/5，1/2） D（2 / 5，2 / 3）
（4）．重视与高等数学的衔接5、突出新课程内容的考查力度C（2）、研究性学习走进高考试题二、2004年高考走势预测及备考方案 1、命题仍依据数学大纲
2、支持课程改革，注重开发教材
3、依据新大纲、夯实基础，突出新增内容
4、倡导理性思维，重视多元联系
（一）、关于平面向量问题 1、要建立完整的知识体系
2、突出平面向量运算的重要地位 如图，|OA |= | OB|=1,OA与OB的夹角为120° ，OC与OA的夹角30° ， | OC | =5,用OA,OB表示 OC 4、向量学习六注意 ： 注意1：要区别向量a与实数a
注意2：要区别向量a与实数0
.注意3：要区别向量的数量积a·b与实数乘法ab
注意4：不能错误地认为|a·b |=|a|· |b|
注意5：从 a·b＝ 0不能导出a=0或b=o
注意6：数量积运算不满足消去律 3、突出向量的工具性 ? 类型一：“非等可能”与“等可能”混同 例1：掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。 正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），基本事件总数为6×6=36。
在这些结果中，有利于事件A的只有两种结果（1，2），（2，1）。
所以， P（A）=2/36=1/18
(四）、概率解题典型错误类型及根源分析正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件AB，则：
类型二：“互斥”与“独立”混同
例2：甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？ 例3：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？ 分析：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑。根据实际 生活的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥。 正解： 类型三 “互斥”与“对立”混同 例4：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） （A）至少有1个白球，都是白球 （B）至少有1个白球，至少有1个红球 （C）恰有1个白球，恰有2个白球 （D）至少有1个白球，都是红球 正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立
所以正确答案应为（C）。
分析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同
要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：
（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；
（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
类型四“条件概率P（B|A）”与“积事件的概率P（AB）”混同 例5：袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求： （1）第二次才取到黄色球的概率； （2）发现其中之一是黄色的，另一个也是黄色的概率。 正解：（1）P（C）=P（AB）=P（A）P（B|A）
（2）P（F）=P（E|D） = 类型五：“有序”与“无序”混同
例6；从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。
正解：一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故S含有 个基本事件，A包含有 个基本事件。 类型六；“可辩认”与“不可辨认”混同 例7；将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A=“某指定的n个盒子中恰有一球的概率”。
正解：分两种情况：
（1）当球是可辩认的，则：
（2）当球是不可辨认的，则P(A)=
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