江苏地区(江苏省南通市启东市)

(共12张PPT)
苏州大学数学科学学院 徐稼红
uuxjh@public1.sz.
清晰地表达、交流自己的思想。
准确、简捷地表述数学内容及关系。
成人生活、就业、进一步学习的需要。
注意：《大纲》“简易逻辑”是基于数学意义上的简易数理逻辑，新课程标准所讲的是一种常用的逻辑语言，包括在数学上和日常生活中的应用．
内容
（1）命题及其关系
四种命题/充分条件与必要条件
（2）简单的逻辑联结词
（3）全称量词与存在量词(新增知识点)
量词/ 含有一个量词的命题的否定
结构
背景
四种命题关系
充分必要条件
逻辑联结词
量词
命题的否定
应用
命题
理解四种命题的相互关系，命题的必要条件、充分条件、充要条件。
理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
重点
难点
四种命题的相互关系，命题的否定。
1．1 命题及其关系 —— 四种命题
原 命 题
若 p 则 q
互为逆命题
互为否命题
互为否命题
互为逆命题
逆 命 题
若 q 则 p
否命题
若非p则非q
逆否命题
若非q则非p
1．1 命题及其关系 —— 充分条件和必要条件
符号语言的表示与读法
当“若p则q”为真时，记作“p q”（读作“p推出q”）。
当“若p则q”为假时，记作“p q”（读作“p不能推出q”）。
注意：
（1）数理逻辑中的蕴含“→”；
（2）关于命题的概念，生活中的例子。
1．2 简单的逻辑联结词
“p或q”，“p且q”， “非p”——or，and，not
1）电路的并、串联； 2）集合的并、交、补
注意：
（1）符号“∨”，“∧”(旁白)，“ ”(正文)；(文理不同)
（2）命题的否定和否命题，关于“非p” 形式；
（3）可兼“或”与不可兼“或”。
例2
1．3 全称量词与存在量词 —— 含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题：
“ x M，p(x)” 的否定为 “ x M， p(x)”；
“ x M，p(x)” 的否定为 “ x M， p(x)”；
注意
（1）单称命题的否定；
（2）不要考虑对其他复合命题的否定，例如，写出下面命题的否定：若x y 1，则x2 y2 1二项分布和超几何分布的数学期望
当X～B(n，p)时，
E(X) = rC pkqn k npC pk 1qn k
np(p q)n 1 np．
为求超几何分布的数学期望，我们先建立数学期望的基本性质：
性质1 若a≤X≤b，则a≤E(X)≤b．特别地，E(c) c，这里的a，b，c是常数；
性质2 线性性：对任意常数ci，i 1, 2, …, n，及b，有
E(ciXi b) ciE(Xi) b．
下面计算超几何分布X～H(n，M，N)的数学期望．
设想一个相应的不放回抽样，令
Xi
则P(Xi 1) ，因此E(Xi) ，而X X1 X2 … Xn表示n次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质2，得到
E(X) = E(X1) … E(Xn) ．逆矩阵的计算——初等变换法
1．用初等变换法求逆矩阵
如果A ，那么A的逆矩阵A1应当使
A1 ．
用一系列的矩阵逐渐把矩阵A变成单位矩阵，就可以求A1．
取E1 ，那么
E1A ，
所得矩阵的左下角元素为0．
取E2 ，那么
E2(E1A) ，
所得矩阵的右上角元素为0．
取E3 ，那么
E3(E2E1A) ．
因此，E3E2E1A E，而A1A E，所以
A1 E3E2E1
．
2．解释
矩阵A 将单位正方形OABC变为四边形OA'B'C'（图1），则A1应该把OA'B'C'变回到OABC．
图1
下面我们将看到，用初等变换（反射、伸压、切变）怎样将OA'B'C'逐步变回到OABC．
E1 ，它把OA'B'C'变为OXYZ（图2）．
图2
E1是切变矩阵，它把OA'B'C'往Ox轴上作切变，使OX与OA重合．
E2 ，它把OXYZ变为OAPQ（图3）．
图3
E2是切变矩阵，它把OXYZ往Oy轴上作切变．
E3 ，它把OAPQ变为OABC，重新得到正方形（图4）．
图4
E3是伸压变换，沿y轴方向，把OAPQ往x轴上压缩 ，得到正方形OABC．
O A P Q
eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,0 \s\do(\f(1,2)) ))eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 1 0 ,0 0 2 2 ))
O A B C
→eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 1 0 ,0 0 1 1 ))．
Q
P
A
C
B
O
O X Y Z
eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 1 ,0 1 ))eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 3 2 ,0 0 2 2 ))
O A P Q
→eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 1 0 ,0 0 2 2 ))．
Q
A(X)
P
Y
Z
O
A'
B'
C'
X
Y
Z
O
O A' B' C'
eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,3 1 ))eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 3 2 ,0 3 7 4 ))
O X Y Z
→eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 3 2 ,0 0 2 2 ))．
O A B C
eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 2 ,3 4 ))eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 1 0 ,0 0 1 1 ))
O A' B' C'
→eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 3 2 ,0 3 7 4 ))．
A'
B'
C'
C
B
A
O线面垂直的教学
1．提出问题
问题1 现在要在操场上竖起一根旗杆，一般的，对旗杆的位置有什么样的要求？
图 4中的l符合要求吗？
学生可能回答，旗杆l应该于地面垂直。
教师追问：这里的垂直是什么意思呢？什么叫做直线和平面垂直？
让学生从直观上来回答问题。如果学生提出课本中经典著作面垂直的定义，教师应追问：为什么要这样定义？总之，要让学生从生活经验中，找到线面垂直的外部特征。
如果学生回答：直线l与平面α垂直是指直线l“正对着”平面α，就算是达到了要求。在此基础上，提出问题2。
问题2 那么什么叫“正对着”呢？正对着的具体含意是什么？
学生会众说纷纭，教师可以通过对学生的回答作出评价来帮助他们。
师：刚才我们认为“正对着”和垂直之间存在着某种联系，这可以说是一种直觉。我们不应该轻易的放弃这种直觉，而应该努力追寻直觉产生的背景。
是什么因素促使我们将“正对着”和垂直联系在一起的呢？
是不是生活中的经验呢？那么，这是什么样的经验呢？
问 过去，我们在什么地方碰到过垂直的概念？
（这里找到了一个类比的对象。重要的是，这个类比的对象是通过对直觉的分析得到的。——要注意，类比是一种“中介”的思维形式，它既含有直觉的成份，又是一种逻辑的方法。因此，它应该是从直觉到逻辑中的一环。）
2．分析问题
在平面几何中，我们是怎样定义直线间的垂直关系的？在这个定义中是不是使我们产生了垂直与“正对着”的联系？
通过对直线互相垂直定义的分析，可以得到如下的结论：
当l⊥m时，l与m相交所成的角都相等。这时，l关于直线m成轴对称；而m也关于直线l成轴对称。这正是使我们把垂直与“正对着”联系在一起的原因。
可以把上述结果图示如下：
那么l正对着平面α又是什么意思呢？
l⊥平面α于O —→l正着平面α —→l关于平面α成轴对称 —→
l和平面α中所有的直线所成的角都相等（90°）
进而，给出线面垂直的定义。（略）
3．线面垂直的判定定理
继续和线线垂直类比，
两直线相交，只要有一个角是直角，就可以判定两直线互相垂直了，那么怎样才能确定线面垂直呢？
提出下面的猜想：
猜想1 如果平面外的直线l垂直于平面α内的一条直线，能否判定直线l垂直于平面α？
猜想2 如果平面外的直线l垂直于平面α内两条相交直线，能否判定直线l垂直于平面α？
学生容易否定猜想1，肯定猜想2。
用实验验证猜想2，并分析提出猜想2的合情推理的过程。
4．证明猜想2（线面垂直判定定理）
问题的实质就是
这样，作出课本上的辅助线就完全是顺理成章的事了。
在这个设计中，从学生朦胧的直觉出发，通过理性的思维，找到了建立概念的清晰的逻辑通道。实际上这也是一种“数学化”的过程。在这个过程突出了线面垂直和相交直线垂直关系的联系，突出了和对称观念的联系，有助于对知识的理解。
EMBED MSPhotoEd.3
图- 4
l关于m成轴对称
L关于平面α内过O点的任意直线g成轴对称
L关于n成轴对称(共5张PPT)
1．分别从一组事实归纳出两个原理、排列与组合的概念
2．通过与排列实例的对比引入组合概念
3．充分揭示排列与组合的内在关系(从概念到公式)
与原教材的区别
4．将组合数的两个重要性质有机地组合到实际问题中，体现了发现过程，也可培养学生从具体问题探索一般规律的习惯。
5．专门列一节：排列组合应用问题，突出重点：计数原理的运用．
6．二项式定理也作了适当改进。趣 闻
假的p可出任何q真．英国哲学家罗素曾极力提倡这种蕴涵．
有的人戏问罗素，由2 2 5能推出“罗素等于主教吗？”．罗素说能：
∵ 2 2 4，∴ 4 5．两边减1，得3 4，同理可得1 2．
又因罗素和主教是两个人，所以罗素和主教是一个人．(共17张PPT)
苏州大学数学科学学院 徐稼红
uuxjh@public1.sz.
（1）本专题是必修数学4“平面向量”在空间的推广，又是必修数学2“立体几何初步”的延续；
（2）空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)；
（3）进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。
内容
空间向量及其运算
空间向量及其线性运算 / 共面向量定理；
空间向量基本定理 / 空间向量的坐标表示；
空间向量的数量积。
空间向量的应用
直线的方向向量与平面的法向量；
空间线面关系的判定 / 空间角的计算。
结构
平面向量及其运算
空间向量及其运算
向量的线性运算
向量的数量积
空间向量的应用
空间线、面的位置关系
空间的角和距离的度量
立体几何初步——横向：空间线线关系、线面关系、面面关系；
空间向量与立体几何——纵向：直线的方向向量与平面的法向量、线面关系的判定、空间角的计算．
先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从位置关系的判定、空间角的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用．
（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；
（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。
重点、难点
思想方法
重点——利用向量解决立体几何问题；
难点——法向量方向的确定。
空间向量及其运算
对比：把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
教材对共面向量的定义更突出“自由向量”的特征，不出现向量与平面平行的概念，便于学生接受．
关于共面向量的定义——能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．
空间向量及其运算
关于共面向量定理——如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x, y)，使得p = xa + yb．
空间向量共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的．这是因为任意两个空间向量a，b都可以平移到同一个平面，当a，b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示．
空间向量及其运算
关于空间向量基本定理——如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序数组(x, y, z)，使p = xe1 + ye2 + ze3．
线索：共线向量定理(一维)→平面向量基本定理(二维)→空间向量基本定理(三维)。
通过向量分解惟一性定理的推广，引导学生积极主动地探索．
价值：为空间向量的坐标表示做准备．
注意：“惟一性”的证明要用反证法(了解)．
空间向量及其运算
关于空间向量的数量积——
1．由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同。
2．要正确使用两个向量夹角的符号〈a，b〉。
3．空间向量数量积的几何意义只要求学生了解。
4．空间向量数量积运算律的证明不作要求。
空间向量的应用
直线的方向向量与平面的法向量
如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？
直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与垂直关系．
平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量；两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关系．
空间向量的应用
空间线面关系的判定
用向量语言（符号语言）描述空间线面关系：
平行 垂直
l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1与 1 e1⊥n1 e1∥n1
1与 2 n1∥n2 n1⊥n2
其中e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别为平面 1， 2的法向量。
空间向量的应用
空间线面关系的判定
三垂线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理。
空间向量的应用
空间角的计算
1．线线角
设e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，直线l1，l2 所成的角为 ，则 。
2．线面角
设e为直线l的方向向量，n为平面 的法向量，l与平面 所成的角为 ，则
空间向量的应用
空间角的计算
3．二面角
设n1，n2分别为平面 1， 2的法向量，平面 1， 2 所成的二面角为 ，则
注意：二面角也可以通过线线角来计算（根据二面角的定义）。
空间距离的计算
距离计算1 2 0 1 1 0 0 1 0 0 1 3 2 0 1 1 0 1 3 2 0 1 0 0 1 1 0 0
3 4 0 0 1 1 0 -3 1 0 3 7 4 0 0 1 0 0 -2 -2 0 0 -0.5 0 0 -2 -2 0
0 1 3 2 0 0 1 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
0 3 7 4 0 0 0 -2 -2 0 0 0 -2 -2 0 0 0 1 1 0平均变化率
教学目标
1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程．体会数学的博大精深以及学习数学的意义．
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景．
教学重点
平均变化率的实际意义与数学意义．
教学过程
一、问题情境
情境：阅读引言，并观察气温曲线图（教材图1-1-1），
● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？
● 这样的数学模型有哪些应用？
1．理解图中A，B，C点坐标的涵义．
2．问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）
问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？
二、学生活动与师生互动
注意学生活动的方向可能有：
1．曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想到如何量化直线的倾斜程度．
2．由点B上升到C点，必须考察yC - yB的大小，但仅仅注意到yC - yB的大小能否精确量化BC段陡峭的程度？为什么？
3．在考察yC - yB的同时必须考察xC - xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于（参照于）另一个量的改变．
三、建构数学
1．通过比较气温在区间[1，32]上的平均变化率0.5与气温在区间[32，34]上的平均变化率7.4，感知曲线陡悄程度的量化．
2．一般地，给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率 ．
3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构．
4．平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2 - x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”．
四、第一次课堂练习
练习1（第7页）由学生思考后发表评论，学生的不同评价，有助于他们在讨论、交流中加深对平均变化率的理解．再提出下面的让学生讨论．如：“甲、乙两汽车，速度分别从0 km/h加速到100 km/h和80 km/h，如何评判两车的性能？”如果不考虑加速的时间，仅仅分别考察100-0与80-0能作出评判吗？假如甲用时3分钟，乙用时3秒钟呢？
五、数学应用
第一阶段：教师讲授课本第6页例1、例2，并注意小结．
1．如何解释例1中第一年婴儿体重平均变化率为1.25(kg/月)．
2．例1中两个平均变化率的数值不同的实际意义是什么？
3．例2中V(t) = 5e0.1t是一个随时间变化而变化的量．-0.3161(cm3/s)是否表示10 s内每一时刻容器甲中水的体积V减少的速度？
第二阶段：教师讲授例3、例4，并注意小结．
1．例3、例4均为数学内部的例子，与例1、例2相比，层次上更深入．
2．例3中四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？
3．例4讲完后应让学生当堂回答课本中的思考．这种回答可能出现多样性，但能活跃课堂气氛．
六、第二次课堂练习
课本第7页练习2、3．
七、回顾小结
（1）由平均变化率的实际意义到数学意义，体现了实际问题数学化的过程，建立数学模型具有抽象的特征，也蕴含着数学应用的广阔性．
（2）由于平均变化率只是一种粗略的刻画，从而有待进一步精确化．随之而来的便是新的数学模型的建立．
八、课外作业
1．课本第55页练习4．
2．课本第63页习题3.1第1题．A B C D
1 0 -1 1 1 -3 -1
0 1 2 1 -1 -1 2
-1 1 1 -3 -1
2 1 -1 -1 2
A B C D
4.2 0 -1 1 1 -3 -1
0 4.2 2 1 -1 -1 2
-4.2 4.2 4.2 -12.6 -4.2
8.4 4.2 -4.2 -4.2 8.4
92
A B C D
1 0 -2 -2 1 1 -2
0 4.4 1 -1 -1 1 1
-2 -2 1 1 -2
4.4 -4.4 -4.4 4.4 4.4
94
A B C D
4.3 0 -2 -2 1 1 -2
0 1 1 -1 -1 1 1
-8.6 -8.6 4.3 4.3 -8.6
1 -1 -1 1 1
93
关于x轴 A B C D
1 0 -1 1 1 -3 -1
0 -1 2 1 -1 -1 2
-1 1 1 -3 -1
-2 -1 1 1 -2
关于y轴 A B C D
-1 0 -1 1 1 -3 -1
0 1 2 1 -1 -1 2
1 -1 -1 3 1
2 1 -1 -1 2
关于原点 A B C D
-1 0 -1 1 1 -3 -1
0 -1 2 1 -1 -1 2
1 -1 -1 3 1
-2 -1 1 1 -2
关于y = x A B C D
0 1 -1 1 1 -3 -1
1 0 2 1 -1 -1 2
2 1 -1 -1 2
-1 1 1 -3 -1
关于原点 A B C D
-0.5748239465 0.8182771111 -1 1 1 -3 -1
-0.8182771111 -0.5748239465 2 1 -1 -1 2
2.211378169 0.2434531645 -1.393101058 0.9061947285 2.211378169
-0.331370782 -1.393101058 -0.2434531645 3.02965528 -0.331370782
q 旋转控制
4.1
41
投影到x轴 A B C D
1 0 -1 1 1 -3 -1
0 0 2 1 -1 -1 2
-1 1 1 -3 -1
0 0 0 0 0
投影到y = x A B C D
1 0 -1 1 1 -3 -1
1 0 2 1 -1 -1 2
-1 1 1 -3 -1
-1 1 1 -3 -1
A B C D
1 -1.3 -1 1 1 -3 -1
0 1 2 1 -1 -1 2
-3.6 -0.3 2.3 -1.7 -3.6
2 1 -1 -1 2
k
7
A B C D
1 0 -1 1 1 -3 -1
0.6 1 2 1 -1 -1 2
-1 1 1 -3 -1
1.4 1.6 -0.4 -2.8 1.4
k
26A A-1 A-1
1 2 -2 1 -2 1
3 4 1.5 -0.5 1 1/2 -1/2使用计算器计算相关系数、回归系数
例2 下表是随机抽取的8对母女的身高数据，试根据这些数据探讨y与x之间的关系．
母亲身高x/cm 154 157 158 159 160 161 162 163
女儿身高y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166
解 所给数据的散点图如图所示：
可以看出，这些点在一条直线附近．下面用计算器计算相关系数、回归系数和截距。
第1步 选择模式——按 键，选择
“回归计算”模式，类型为“线性”；
第2步 输入数据——按 ，可输入一对数据(154，155)，仿此输入全部数据；
第3步 相关系数——按
键可得相关系数r 0.962 947 277 > 0.75（r0.01 0.834），因此，可以认为家庭消费支出与可支配收入之间具有较强的线性相关关系；
第4步 回归系数（截距）——按
得回归系数 53.118；
第5步 回归系数（斜率）——按
得回归系数 1.345．
故线性回归方程为
53.118 1.345x．
注：在输入数据前按 键清除存储器。
3
1
MODE
，
DT
154
155

S-VAR
SHIFT
3
S-VAR
SHIFT
1

S-VAR
SHIFT
2


CLR
SHIFT
1(共103张PPT)
教学设计与案例分析
张乃达
教学设计与案例分析
教堂设计原则
教学设计要点
概念教学：情境创设与意义建构
解题教学：模式建构与运用
案例教学与研究式学习
一、教学设计的原则
教学设计与教学观念
教学设计原则
介绍一种教学模式
教学设计要点
1、教学设计与教学观念
教学设计集中地反映了教师的数学教学观念。
数学教学观念集中地表现为数学教学的价值观和行为规范。
数学教学的本质是什么？（本体论）
数学教学的目的是什么？（价值观）
数学教学的方法是什么？（方法论）
（1）数学教学的基本目标是促进学生的发展
数学的价值
工具价值
思维价值
文化价值
数学教育的价值
知识
能力
精神品格（观念）
数学教学活动应是学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程
教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是学生的合作者．
因势利导地帮助学生.doc
创设问题情境，激活学生的思维
帮助学生进行思维的监控和反思.
情感上对学生给予鼓励,帮助学生树立克服困难的信心．
现代数学文化的代表
在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都会潜移默化地影响学生.
（2）数学教学是师生双边活动的过程
数学教学是思维活动的教学
数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的
思维活动是数学活动的主体
数学思维是数学文化传统下的思维
数学文化传统形成了数学思维的规范
数学观念、思维方式的形成过程可以看成是对数学文化的传承
思维和文化是数学教育的双翼思维与文化.doc
微观和宏观
继续和创新
（3）数学教学是数学文化背景下的思维活动
思维和文化
从微观上看，数学是一种活动，一种思维活动。数学教育是思维的教育，
从宏观上看，从历史——社会的层面来看，数学是一种文化，是一种观念系统，数学教育是数学文化教育。
在数学思维教育中，人们看重的是数学思维方式和数学思维能力，也就是数学教育的科学教育价值；
在数学文化教育中，人们看重的是数学中的理性精神，数学的价值观念，思维方式和行为规范，理性探索精神则是数学文化价值的集中体现。
思维与文化，集中地体现了数学教育在提高学生素质方面的两项要素，所以也是现代数学教育的两个重要方面，这也是解读新课程标准的关键。
数学教学活动不仅是思维活动而且它本身也是一种文化活动。
2。教学设计原则
结构性原则：（宏观设计原则）
数学教学要突出学科的基本结构
知识结构（组织起来的数学知识）
思维结构（知识组织的方式）
认知结构（学习者头脑中的知识结构）
核心概念、胚胎、生长点
教学内容的结构化，保持思想方法的一致性
、知识结构、思维结构、基本方法、思想
立体几何初步结构图.doc
2。教学设计原则
过程性原则：（微观设计原则）
以问题为中心，把数学教学组织为发现问题和解决问题的过程
数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程的整合：
对数学教学要充分暴露思维过程的理解；
手段和目的；发现性学习和接受性学习；反思和暴露；提出问题的过程；
问题解决的启示；
数学知识的发生发展过程
和学生学学习过程的整合
强调教学过程的思想性，使学生在课堂中有高度的思维参与，经历实质性的数学思维过程。
参照科学认识的形成的过程设计概括的过程：
创设问题情境
开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形成假设
进行推理论证活动，检验假设，获得新知识。并纳入认知结构
新知识应用。
3。介绍一种教学模式
→回顾反思
问题情境
→学生活动
→意义建构
→数学理论
→数学运用
提出问题
体验数学
感知数学
建立数学
理解数学
应用数学
数学建构的过程，教科书内容呈现的过程，课堂教学展开的模式
问题情境：包括实例、情景、问题、叙述等
意图：提出问题
学生活动：包括观察、操作、归纳、猜想、验证、 推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动；
意图：体验数学
意义建构：包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等.
意图：感知数学
数学理论：包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等．
意图：建立数学
数学运用：包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等．
意图：运用数学
回顾反思：包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等．
意图：理解数学
案例1 函数的概念
提出问题1：
在初中我们是如何认识函数这个概念的？
(一)问题情境
教师提出本节课的研究课题：
在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将进一步学习有关函数的知识.
(二)学生活动
1．让学生就问题1略加讨论，作为讨论的一部分，教师出示教材中的三个例子，并提出问题2．
2．问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？
　 通过对问题2的讨论，帮助学生回忆初中所学的函数概念，再引导学生回答问题1．
函数的传统定义：变量的观点
(三)建构数学
1.建构
问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？
问题4：如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点？
结论：函数是建立在两个非空数集之间的单值对应．（概念的胚胎）
1
2．反思
（1）结论是否正确地概括了上面例子的共同特征
（2）比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？
（3）一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？
（4）进一步，你能举出一些“函数”的例子吗？它们具有上述特征吗？
（作为例子，可以讨论课本P24练习）
一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从A 到 B的一个函数(function)，通常记为
y＝f (x)，x ∈A．
其中，所有的输入值 x 组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域(domain)
问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？
给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．
(四)数学理论
函数的近代定义：集合语言、对应的观点
(五)数学运用
1．定义的直接应用
例1．（课本P23例1）
例2．（课本P23例2）
2．已知函数确定函数的值域．
例3．（课本P23例3）
(注意把握难度)
(六)总结反思
1．“初中的”函数定义和今天的定义有什么区别？
2．你认为对一个函数来说，最重要的是什么？
(一)问题情境
1．情境：第2.1.1开头的第三个问题中，观察气温变化图
2．问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？
你在图象中，读到哪些信息？
案例2 函数的单调性
θ＝f (t)， t∈[0，24]
10
O
2
4
6
8
1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
θ/ 0C
t /h
－2
●怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？
（1）
y
x
O
y＝2x＋1，
x∈R
y＝(x－1)2－1，
x∈R
（2）
y
x
O
-1
1
2
(二)学生活动
问题1：观察下列函数的图象（如图1），指出
图象变化的趋势
问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”
的意思吗？
在某一区间内，
当x的值增大时，函数值y也增大
图象在该区间内呈上升趋势
当x的值增大时，函数值y反而减小
图象在该区间内呈下降趋势
函数的这种性质称为函数的单调性．
(三)建构数学
问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单
调性呢？
怎样表述在区间（0，+ ）上当x的值增大时，函数y的值也增大？
反思： 能不能说，由于x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5就说随着x的增大，函数值y也随着增大
能不能说，由于x＝1，2，3，4，5，…时，相应地 y＝3，5，7，9，…就说随着x的增大，函数值 y 也随着增大？
如果有n个正数x1< x2通过讨论，结合图(2)给出 f (x)在区间I上是单调增函数的定义
如果对于区间(o，+∞)上任意两个值x1和 x2，当x1 < x2时，
都有y1 < y2，那么可以说随着x 的增大，函数值y 也增大．
问题4：如何定义单调减函数？
给出函数单调性和单调区间的概念
(四)数学理论
函数的单调性是函数的“局部性质”，它与区间密切相关
(五)数学运用
1．例题
例1 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间．
（1）y＝－x 2＋2；
（2）
提问：能不能说，函数 (x≠0)在整个定义域上是单调减函数？
引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论．（如取x1=－1，x2=2）．
例2 观察下列函数的图象 并指出它们是否为定义域上的增函数：
（1）y＝(x－1)2 （2）y=|x－1|－1
2．练习
练习第1、第2、第5题．
(六）回顾小结
本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法．
二、 教学设计要点
教学设计就是问题设计
问题情境的创设与初始问题
意义建构与问题串
数学教学设计就是问题的设计
数学教学是数学活动的教学，从本质上说，数学活动是一种思维活动，而数学思维活动又集中的表现为提出问题和解决问题的过程。因此，从某种意义上说，数学教学设计就是问题的设计。数学教学设计的中心任务就是要设计出一个（一组）问题，从而把教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程。让学生在解决问题的过程中“做数学”，学数学，增长知识，发展能力。
案例1 函数的概念
问题1：在初中我们是如何认识函数这个概念
的？
问题2：在上述例子中，是否确定了函数关系？
为什么？
问题3．如何用集合的观点来理解函数的概念？
问题串：教学进程的链条
问题4．如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共
同特点
(1)结论是不是正确地概括了例子的共同特征？
(2)比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异？
(3)一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有
上述特征？
(4)进一步地，你能举出一些“函数”的例子吗？
问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？
问题6．你认为对一个函数来说，最重要的是什么？
案例2 函数的单调性
问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下 降的？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？
问题1：观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势．（从图象中，你读到了哪些信息？）
问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？
问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？
能不能说，由于x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5就说随着x的增大，函数值y也随着增大？
能不能说，由于x＝1，2，3，4，5，…时，相应地 y＝3，5，7，9，…就说随着x的增大，函数值 y 也随着增大？
如果有n个正数x1< x2通过讨论，结合图（2）给出f (x) 在区间I上是单调增函数的定义
问题4：如何定义单调减函数？
如果对于区间(o，+∞)上任意两个值x1和 x2，当x1 < x2时，
都有y1 < y2，那么可以说随着x 的增大，函数值y 也增大．
2.问题情境与初始问题
教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。
(课程标准)
问题情境和意义建构
●为什么要创设问题情境？
●问题情境有什么作用？
●怎样创设问题情境？
●什么样的问题情境是“好”情境？
圆与方程（黄凯）.ppt
问题（情境）的作用
引起学生的关注，激发学生探索的欲望；
开阔视野，建立数学与生活的联系；
唤起学生的经验；
引发数学思考
引出数学问题
问题背景的作用
问题背景在学习中同样具有重要的作用。第一，它可以为学习活动提供动力；第二，它是深入的理解概念所不可缺少的；第三，把握住它，就可以把概念的学习活动组织成为学习者主动的积极的解决问题的活动。对发现性学习来说，概念就成为解决这类问题的成果：对接受性学习来说，它是进行深入的反思，从而在思维中建构新概念的关键课题。从某种意义上说，教师在概念教学中的主导作用就表现为对概念的学习提供总的问题背景。
初始问题
对问题的要求
初始性
结构性
情境性
简单而有深度
应用问题和结构问题怎样设计初始问题.doc
程序性问题和实质性问题问题设计（讲稿）.doc
多方位地设置问题
问题串
案例分析：诱导公式
角α的三角函数与-α的三角函数有什么关系？
α的终边、180°+α的终边与单位圆的交点有什么关系？你能由此推出α与180°+α的三角函数的关系吗？
我们可以通过查表得到锐角三角函数的值，如何求任意角的三角函数的值呢？能不能将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
由三角函数的定义知道，终边相同的角的三角函数值相等。除此以外，还有一些角的终边具有某些特殊关系，那么它们的三角函数值能有什么样的特殊关系呢？
案例分析；向量的加法
●向量OA、AB、OB之间有什么关系？
为什么向量OB是向量OA、AB的和？
OB的长度是OA、AB长度的和吗？
你为什么说向量OB是向量OA、AB的和呢？
什么叫做向量的和？
向量怎样做加法？
你是从“累计”的意义上以位移为原型定义“和”的概念的。但是这样的定义是不是适用于其它的向量（既具有大小又具有方向的量）呢？
（仿此对力进行研究）
案例分析：椭圆的标准方程
课题 椭圆的标准方程.ppt
对教案中问题情境的评析
卫星轨道
贮油罐
放映机上聚光灯泡的反射镜
压扁了的圆
●它们起了什么作用
问题情境必须引起数学的思考，
引出数学问题，成为意义建构的重要环节！
因为数学从本质上说，是思维活动
案例分析：椭圆的标准方程
问题：扁了的圆是椭圆吗？
解决问题的思路：比较扁圆与椭圆的方程，进而做出判断。
建立扁圆的方程；
建立椭圆的方程；
结论。
问题情境的创设：双曲线
案例分析:二分法
用二分法求方程的近似11.ppt
情境的作用：思维过程的类比
●你能猜出方程的根吗？
●不能直接猜出根，你能猜出它的范围吗？
●怎么能保证根在这个范围内？（观察图象）
应该说是保证在这个范围内有根
●能把这个范围缩小吗？再缩小呢？
● 怎样保证在很小很小的范围内有根呢？
我们需要找到一个验证的方法。
问题情境要引起学生的思维活动，而不能掩盖思维过程
教师要准确地把握重点，认识数学方法的实质
案例分析：三角函数
三角函数》的定位（实验教材）.ppt
3.意义建构与问题串
在大多数情况下，概念的产生是从观念开始的。它往往产生于一个念头、一种朴素的想法，（例如，极限的概念就产生于“无限逼近”的想法）它可能是模糊的、粗糙的，但是它却是孕育新概念的“胚胎”，它体现了概念的实质性内容，表现为对概念的直觉的、整体的理解，所以它是生动的、有价值的。在概念的学习过程中，要充分地展示出这个由观念到概念的思维过程——这就是人们学说的形式化过程。
从朴素的观念到数学概念
意义建构：是思维的创造
人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。（课程标准）
从朴素的观念到形式化的数学概念
从朦胧的直觉到清晰的逻辑
从概略性解决到具体解决
经历过程（再发现）
感受意义（反思领悟）
形成表象（建构的成果）
自我表征（初步的概括）
意义建构:数学活动中的核心环节
形式化的过程,思维创造的过程,抽象的过程
问题串：意义建构的逻辑链条
●怎样建立椭圆的方程？
“椭圆的方程”是什么意思？
直线的方程是什么意思？
圆的方程是什么意思？
过去我们是怎样建立圆的方程的？
什么是椭圆？它的定义是什么？
怎样建立坐标系？
胚胎和生长点
问题串突出了学科结构，即
基本思想、基本方法、基本问题
怎样设置问题串
●如何精确地刻画曲线上某一处的变化趋势呢？
怎样找到经过曲线上某一点P处最逼近曲线的直线呢？
●平均变化率能精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势吗？
●特别地，平均变化率能精确地刻画直线上某一点处的变化趋势吗？
　　　能不能用直线代替曲线呢？
　　怎样才能做到这一点呢？
通过反思设置问题串
如何精确地刻画曲线上某一处的变化趋势呢？
●平均变化率能精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势吗？
●特别地，平均变化率能精确地刻画直线上某一点处的变化趋势吗？
能不能用直线代替曲线呢？
怎样才能做到这一点呢？
●怎样找到经过曲线上某一点P处最逼近曲线的直线呢？
设计好一个初始问题就从根本上设计好了一节课，因为学生解决初始问题的活动是按照一定的规律展开，可以说，在初始问题确定以后，课的大体发展方向和框架就已经确定了——它是会按照自身的逻辑展开的．
初始问题在数学教学中的作用，决不仅仅在于创设了问题情境，使学生进入‘愤“和“悱’的境界。（当然这个作用也很重要）更重要的是，初始问题为学生的思维活动提供了一个好的切入口，确定的一个好的方向，为学生的学习活动找到了一个载体，也为数学课找到了一个好的结构，使数学课成为解决初始问题的活动。
所以，从本质地说，课堂教学设计就是问题的设计。
三、案例分析
概念教学要点
案例分析：线面垂直的教学
案例分析；数列
解题教学要点
案例分析：空间角的计算
概念教学要点
数学概念本身就是对过程的抽象
数学概念的建构必须经历一个过程
数学概念的学习的几个环节
影响抽象的若干因素
(1)数学概念本身就是对过程的抽象
可以说，绝大多数的数学概念都有两重身份：
笫一，它是对数学活动过程抽象的结果；
笫二，它又是数学研究的对象，是进行下一轮抽象的原型。
这就是说，数学抽象是对过程的抽象，通过数学抽象，我们把一个过程定格为“概念”，于是新概念又介入了新的思维活动之中，它既是思维的对象，又是思维的工具，当我们对新的思维过程进行抽象时，又会产生新概念。正是这样一轮又一轮的抽象使数学的抽象性达到了不可思议的高度。
例子：对自然数的抽象（递推定义，基数定义）
数学概念的建构必须经历一个过程
问题
情境
观念
（胚胎）
概念
1.从问题开始
概念的抽象是从产生建立新概念的意识开始的。而建立新概念的意识是由解决问题的需要或审美的需要激发起来的。因此，在大多数情况下，建立概念的活动总是在问题背景下进行的。例如，自然数的概念是在数数过程中形成的；虚数的概念是在解方程的活动中产生的；非欧几何的发现是从对第五公设的追究开始的。
因此，问题成为建构活动的载体。从总体上看，可以说只要问题出现了，新概念的产生就是必然的了；
2.胚胎的孕育：观念的产生
.数学概念的建立是有一个过程的。最初在数学家头脑出现的可能只是一个总的轮廓，一个念头，一种“心理表象”，一个观念，一种直觉，它可能粗糙的、模糊的，远不是精确的。虽然，它还不是一种客观的社会的存在，但是作为新概念的胚胎，它已经活跃在数学家个人的思维活动之中了。应该把它的出现看成是概念建构过程中具有实质性意义的一步。
3.形式化；从朴素的观念到数学概念
.从概念的胚胎发展成规范化的数学概念，要经历一个形式化的过程。这在建构概念的活动中同样是十分重要的。数学概念就是通过它，才从数学家个体思维中的创造，转变为客观的存在。也正因为如此，数学概念才能成为一个
观念和概念的区别
观念和概念当然是有区别的。自然数的观念就是“可以一个一个数下去的数”；函数的观念就是用一个变量刻划另一个变量。垂直的观念就是“正对着”，斜率的观念就是“表示直线方向的量”。和概念相比观念是粗糙的，不规范的，有待进一步抽象的。但是它却是生动的，富有思想意义的，具有实质性内容的。
数学概念的学习的几个环节
1．为概念的学习提供适当的问题背景；
2．选择适当的抽象原型；
3．注意揭示：从朴素的观念到严格的形式化的“定义”的转换过程。
从问题情境到意义建构
数学概念的学习的几个环节
4．注意揭示数学概念间的联系，即要在概念系统中考察概念。由于数学概念往往是“再抽象”的结果，因此，暴露概念的抽象过程实质上就是揭示概念间的内在联系的最好方法。
5．概念的建构过程是一个长期的过程，学习者对概念的理解是不断的深入的，概念的应用过程实际上是概念建构过程的重要组成部分。因此要注意在概念的应用中，加深对概念的理解。
案例分析：线面垂直
线面垂直的教学.doc
案例分析：导数.ppt
案例分析: 数列
数列教案16数列.ppt 6数列.ppt
数列教案2
数列教案3
●以上三个教案有什么不同？如何对它们做出评价？
●本节课的知识“生长点”在哪里？中心问题是什么？
●怎样才能使学生掌握学习（建构）的主动权？
教案(1)的展开程序
引入
数列的定义
数列的通项公式
数列是特殊的函数
数列的图象
例题和练习
教案(2)、(3)的展开程序
1．引入
2. 数列的定义
3．数列的一般形式
4．数列的函数观点：特殊的函数
5．数列的通项公式
6．例子
人教版旧教材的编排
苏教版的编排
可以看成是数列形式化的定义
数列:问题串
●怎样建立刻画上述问题的数学模型
●这些问题有什么共同的特点
●从数学的角度看,什么叫做”按一定次序排列”的数
数列 3,2,5,1和数列2,3,5,1是同一个数列吗
数列能不能看成一个数的集合
●数列既然是特殊的函数它有哪些表示方法
怎样用图象表示数列
怎样用解析式表示数列
实质:不断地进行形式化
案例分析：向量的数量积
向量的数量积.doc
反复出现的问题
●什么叫做函数值越来越大？
●什么叫做函数值周而复始的出现？
●什么叫做“正对着“？
●什么叫做”按一定顺序排列的数“？
出现的问题给学生带来了什么样的思考？
反复出现的过程、程序
定积分
解析法
程序相同的研究过程
对知识结构的理解
对建构过程的理解
对数学方法的理解
对学科的理解
掌握学习活动的主动权
会自己提出问题
应该思考的问题
教师是不是准确地把握了教材,掌握了学科结构
教师是不是认识到本节课的教学过程的实质就是”建构”数学模型的过程
教师是不是熟悉构建数学模型的一般程序
我们需要重温结论
2。解题教学要点
解题模式的构建
解题模式的应用
案例分析：空间向量的应用
课题 空间线面关系的判定.ppt
空间向量说课课件.ppt
（1）解题模式的构建
构建的过程
构建数学对象，将问题量化（法向量、导数、定积分、X2统计量等）
理清解决问题的整体思路
分解问题，提炼出基本问题
通过例题教学,抽象归纳出解题的一般程序
比较各种解题方法的特点,加深对方法的认识 (向量方法和综合法\向量方法与导数方法等)
（2）解题模式的应用
正确选择解题方法
把握模式的特点,适应范围
把握题目特点
渗透算法思想,灵活运用解题程序
尝试猜想,探索解题思路
灵活变换问题,提高分析能力
积累经验,反思提高
（3）案例分析：空间向量的应用
如何用向量刻画平面的方向
直线方向向量和平面法向量
法向量是对平面方向的数量刻画
通过例题解决求平面向量的基本问题
空间线面关系的判定
线面间的位置关系转换为向量间的数学关系
解决了有关线面关系的证明问题
用向量方法证明了重要定理
体会用向量方法解决问题的优越性
空间角的计算
确立用向量方法求角的指导思想
注意对向量方法和综合法的比较
通过例题建立用向量方法的一般程序
用向量求二面角问题的思路
角的计算转换为向量的运算
通过例题，建立用向量方法求二面角的程序
向量方法求二面角的思路
●如何用向量求二面角？
一般性解决：用法向量刻划平面的方向，把求二面角的问题转化为求向量的角的问题
●向量的角如何求？
功能性解决：求出向量的数量积和模
●向量的数量积又如何求？
具体解决：用向量的坐标运算来求。
向量法求二面角的依据
1.建立了刻画平面方向的概念法向量
2.建立了向量的夹角公式
夹角公式又是如何推导出来的
案例教学
通过对范例的研究，寻求解决一类问题的一般思路和方法。
案例教学是经常运用的教学方法。
推理与证明、导数、定积分、超几何分布、二项分布、用二分法求方程的近似解，算法初步，例题教学等，都使用了案例教学。
课例《求异面直线的角》采用的就是案例教学的方法。
教学内容的呈现方式
在整体上采用了演绎式的展开方式，有利于突出向量处理问题的基本思想，让学生理解学习的进程；
在每个局部问题上，采用了以案例研究为主的归纳式展开方式，让学生参与构建解题模式的活动，有利于探索活动的展开和解题能力的发展。
具体的范式比抽象的道理更重要
著名科学哲学家库恩把“科学传统称之为范式”。他说：“对于科学传统的继承而言”，“具体的范式比抽象的道理更重要，也更具有直接的指导意义。”
在教学中，教师要提供这类范例，让学生认真学习、欣赏这些范例，并仿照它们进行自己的工作。值得指出的是，教师的行为也应该具有范例的作用。
2．案例分析：独立性检验
课例：推理案例赏析
课题：推理案例赏析.ppt
课例：独立性检验
课题：独立性检验.ppt
空间向量说课课件.ppt
选用不同的教学方式
对不同的内容，可采用不同的教学和学习方式。例如，可采用收集资料、调查研究等方式，也可采用实践探索、自主探究、合作交流等方式，还可采用阅读理解、讨论交流、撰写论文等方式。
（课程标准）
教师的讲授仍然是重要的教学方式
在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动。在教学中，教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中学生数学学习的教学方式。
（课程标准）
研究性教学案例:空间向量
课题：空间向量
目标：通过类比，建立空间向量的知识体系
过程：
(1)研究平面向量的知识体系的建立过程,特别是知识间的逻辑关系;
(2)根据(1)建立空间向量的知识体系
结论
教师要促使学生主动的学习
面对着问题，学生就会产生探索和发现的欲望
学生掌握了学科的基本结构就有了探索与发现的主动权
教师有了科学的价值观，掌握了数学文化的规范，就可以在与学生的互动中掌握教学的主动权。问题设计（讲稿）.doc
谢谢只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动． ——恩格斯
世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼．
某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”
但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹．
这是什么原因呢？
原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢．
● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？
● 这样的数学模型有哪些应用？
2022
30
34
2
10
20
30
A(1, 3.5)
B(32, 18.6)
O
C(34, 33.4)
T/℃
t/d
2
10-3.1 1 1
-3 0.0269954833 1 2
-2.9 0.029797353 3 1
-2.8 0.0328079074 1 0
-2.7 0.0360324372 1 0.1
-2.6 0.0394750792 1 0.2
-2.5 0.0431386594 1 0.25
-2.4 0.0470245387 1 0.4
-2.3 0.0511324623 1 0.45
-2.2 0.0554604173
-2.1 0.0600045003 3 0
-2 0.0044318484 0.0647587978 3 0.1
-1.9 0.0059525324 0.0697152832 3 0.2
-1.8 0.0079154516 0.0748637328 3 0.3
-1.7 0.0104209348 0.0801916637 3 0.45
-1.6 0.0135829692 0.085684296
-1.5 0.0175283005 0.0913245427
-1.4 0.0223945303 0.0970930275
-1.3 0.0283270377 0.1029681344
-1.2 0.0354745929 0.1089260885
-1.1 0.043983596 0.1149410703
-1 0.0539909665 0.1209853623
-0.9 0.0656158148 0.1270295282
-0.8 0.0789501583 0.1330426249
-0.7 0.0940490774 0.1389924431
-0.6 0.1109208347 0.1448457764
-0.5 0.1295175957 0.1505687161
-0.4 0.1497274656 0.1561269667
-0.3 0.171368592 0.1614861798
-0.2 0.194186055 0.1666123014
-0.1 0.217852177 0.1714719275
0 0.2419707245 0.1760326634
0.1 0.2660852499 0.1802634812 0.0059525324
0.2 0.2896915528 0.1841350702 0.0079154516
0.3 0.3122539334 0.1876201735 0.0104209348
0.4 0.3332246029 0.1906939077 0.0135829692
0.5 0.3520653268 0.1933340584 0.0175283005
0.6 0.3682701403 0.195521347 0.0223945303
0.7 0.3813878155 0.1972396655 0.0283270377
0.8 0.391042694 0.1984762737 0.0354745929
0.9 0.3969525475 0.199221957 0.043983596
1 0.3989422804 0.1994711402 0.0539909665
1.1 0.3969525475 0.199221957 0.0656158148
1.2 0.391042694 0.1984762737 0.0789501583
1.3 0.3813878155 0.1972396655 0.0940490774
1.4 0.3682701403 0.195521347 0.1109208347
1.5 0.3520653268 0.1933340584 0.1295175957
1.6 0.3332246029 0.1906939077 0.1497274656
1.7 0.3122539334 0.1876201735 0.171368592
1.8 0.2896915528 0.1841350702 0.194186055
1.9 0.2660852499 0.1802634812 0.217852177
2 0.2419707245 0.1760326634 0.2419707245
2.1 0.217852177 0.1714719275 0.2660852499
2.2 0.194186055 0.1666123014 0.2896915528
2.3 0.171368592 0.1614861798 0.3122539334
2.4 0.1497274656 0.1561269667 0.3332246029
2.5 0.1295175957 0.1505687161 0.3520653268
2.6 0.1109208347 0.1448457764 0.3682701403
2.7 0.0940490774 0.1389924431 0.3813878155
2.8 0.0789501583 0.1330426249 0.391042694
2.9 0.0656158148 0.1270295282 0.3969525475
3 0.0539909665 0.1209853623 0.3989422804
3.1 0.043983596 0.1149410703 0.3969525475
3.2 0.0354745929 0.1089260885 0.391042694
3.3 0.0283270377 0.1029681344 0.3813878155
3.4 0.0223945303 0.0970930275 0.3682701403
3.5 0.0175283005 0.0913245427 0.3520653268
3.6 0.0135829692 0.085684296 0.3332246029
3.7 0.0104209348 0.0801916637 0.3122539334
3.8 0.0079154516 0.0748637328 0.2896915528
3.9 0.0059525324 0.0697152832 0.2660852499
4 0.0044318484 0.0647587978 0.2419707245
4.1 0.0600045003 0.217852177
4.2 0.0554604173 0.194186055
4.3 0.0511324623 0.171368592
4.4 0.0470245387 0.1497274656
4.5 0.0431386594 0.1295175957
4.6 0.0394750792 0.1109208347
4.7 0.0360324372 0.0940490774
4.8 0.0328079074 0.0789501583
4.9 0.029797353 0.0656158148
5 0.0269954833 0.0539909665
5.1 0.043983596
5.2 0.0354745929
5.3 0.0283270377
5.4 0.0223945303
5.5 0.0175283005
5.6 0.0135829692
5.7 0.0104209348
5.8 0.0079154516
5.9 0.0059525324
6 0.0044318484矩阵的概念
1．表——矩阵：
观察下列几个城市之间的航线距离（单位：英里）：
城 市 伦敦 墨西哥城 纽约 巴黎 北京 东京
伦 敦 0 5 558 3 469 214 5 074 5 959
墨西哥城 5 558 0 2 090 5 725 7 753 7 035
纽 约 3 469 2 090 0 3 636 6 844 6 757
巴 黎 214 5 725 3 636 0 5 120 6 053
北 京 5 074 7 753 6 844 5 120 0 1 307
东 京 5 959 7 035 6 757 6 053 1 307 0
2．图——矩阵
矩阵的重要性就在于它可以把一个几何图形变化成一个数值表，这样我们就可以用数来研究了。
3．坐标平面上的点（向量）——矩阵
设O(0, 0)，P(2, 3)，则向量 (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为 。
4．日常生活——矩阵
（1）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：
A B C D E
28英寸 1 3 0 1 2
30英寸 5 8 6 1 2
32英寸 2 3 5 6 0
34英寸 0 1 1 0 3
（2）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下： 初赛 复赛
甲 80 90
乙 86 88
B
C
A
A B C
A 0 3 1
B 3 0 0
C 1 0 2
C
A
B
A B C D
A 0 0 1 1
B 1 0 0 0
C 1 1 0 0
D 1 0 0 0
D
2
3
eq \b\bc\[(\a\al\vs4(80 90 ,86 88 ))
2
3
(2, 3)
P
O
3
2
x
y
B
A
C
D
A B C D
A
B
C
D
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0(共50张PPT)
数学教学的有效性问题
扬州大学数学科学学院：季素月
2007.7
现实背景——可喜的一面
1、我国的“双基”教学取得世人瞻目的成绩.
3、新课程的教学理念已逐渐为广大教师所接受。
4、力图将现代教学理念贯穿于教学实践活动之中。
5、教学改革的实践推进了教学研究的开展,相当多的数学教师不仅是教学行为的执行者,也是教学行为的研究者.
令人担扰的一些现象
教师与学生仍然十分辛苦，所取得的成绩与所付出的辛劳不成正比。
课堂教学:出现有其形，无其神的现象——表面热热闹闹，实质效率不高
教学内容选择余地增大,难以把握教学的”量”与”度”
高难度、大题量的操作性、重复性训练
“习题演练”与”理解感悟”难以协调——感叹：学生怎么学得这么死！——正六边形面积不会求的启示
认知与情感两者畸形发展——过早地消耗成长成本
……
提高教学的有效性已成当务之急！！！
有效教学的含义
基本观点：教学是否有效不取决于教师打算教给学生什么，而在于学生实际获得了什么，获得了多少。
有效教学的两维标准
从过程来看——教学时间的有效利用
不仅是行为参与，还应有积极的认知参与与情感参与
从结果来看——单位时间内的综合效果
不仅体现于知识的“吸收”、技能的“熟练”上，还要体现于学生的意识、理解与能力的发展上。
如何提高教学的有效性
一、关于课堂教学目标
二、关于问题情境
三、关于合作学习与探究学习
四、关于技能训练
五、关于教师的观念与知识结构
一、关于教学目标
理想的目标
课程标准所制定的目标，包括总体目标与具体目标
现实的目标
教师所理解的、根据现实情况所确定的教学目标
取决于教师、取决于教学环境
达成的目标
学生学习之后取得的实际效果
取决于教师的教学实施、学生的认知水平与情感因素
要求：缩短理想目标与达成目标的差距
关键：现实目标是否科学、合理、准确
制定一节课教学目标的依据
课程标准与教材——教学目标科学
（1）结果性目标：主要用于知识与技能领域，即学习行为结果的表述；
（2）过程性目标：主要用于过程与方法、情感、态度、价值观领域，即体验、感受的表述；
通过经历知识与技能的学习过程实现过程性目标。
学生的水平——教学目标合理、准确
不同基础水平的学生的层次要求
同一个学生在不同的时期应有不同的学习要求。
不同的教学内容应有不同的层次要求
设计教学目标的注意事项
全面性：知识与技能、过程与方法、情感态度
具体性：贴切教学内容，反映学生的学习行为，切忌泛泛而谈。
（1）把内容进行分解，找出能代表教学内容的关键词；
（2）把过程进行分解，确定子过程要学习的内容及每一个子过程的学习活动方式；
（3）运用恰当的行为动词表述本节课的学习目标。
适宜性：情境问题、例、习题等的难易程度符合学生的认知水平
二、关于问题情境
近几年来，“问题情境”在数学教学领域成为出现率较高的一个名词。
什么是问题情境:
将原教材中无冲突、无矛盾的教学内容进行教学法加工,通过揭示人的认识与科学知识的矛盾,借助矛盾的发现、产生、分析、解决等一系列活动,使学生的思维处于最佳状态的过程(激趣、铺垫、探究、立障)
存在问题:
形式化——做给别人看
带着镣铐跳舞——将问题复杂化
弱智化——简单的操作代替深层次的思维
原则：复杂问题简单化；枯燥问题趣味化，抽象问题生活化——使学生的学习更容易
目标：
找准切入点——生活经验、已有知识；
境的创设，情的激发——能激起学生情感上的共鸣，产生解决问题的欲望
问题的难度适宜——提高学生的参与度。
教的思路、学的思路与知识产生、发展思路统一。
必要时，也可以开门见山
案例1 三角诱导公式
情境创设1
求出满足cosα=1/2的角
60 与－ 60 都满足，说明cos 60 =cos （－ 60 ） ，那么一般情况是否也成立呢？
评析：从复习旧知引入课题；从特殊到一般，但教的思路、学的思路与知识的发生与发展思路不融洽。
注意点：情境的创设必须遵循学生的思维活动规律。
情境创设2
第一组公式的作用是什么？
我们如何把0到360的三角函数转化为0到90的三角函数呢？
评析：以公式的作用为线索串起所有的三角诱导公式，使知识发生与发展的思路、教的思路、学的思路成为一体。
三、关于合作学习与探究学习
新课程的理念之一——提倡积极主动的学习方式
积极主动的学习方式的内涵
自主学习
合作学习
探究学习
教学实践中的偏差
合作学习：重形式，轻实质
只“作”不“合”，只“议”不思，只“说”不“听”
合作时间太短
议题太难或太容易
探究学习：
“操作式”探究——单纯地剪一剪、量一量、做一做，没有数学思考活动
“搀扶式”探究——在老师一系列“铺垫”性问题的指引下得到某个结论，但学生不明白学习目标、不明白“铺垫”的意图，没有探究动机。
“标签式”探究——探究问题与学生已有知识相比，难度过小或过大，徒有探究之名，无探究之实。
合作学习的特征
是一种学习的组织形式，相对的是“个体学习模式”“竞争学习模式”。
特征：
以小组活动为主体的一种学习活动；
强调小组成员之间的相互依赖与支持；
强调个体目标与群体目标的统一性，以各个小组在达成目标过程中的总体成绩为主要奖励依据的；
由教师分配学习任务和控制教学过程。
合作学习5个要素：积极互赖、面对面的相互性促进作用、个人责任、社交技能、自评。
合作学习的策略
分组应该合理
组间同质，组内异质，便于组内合作，组间竞争
合作时机恰当——是传递接受教学的一种补充，
课堂教学
具有不同的看法与策略时
开放性问题的解决
独立思考有困难时
研究性课题的解决——延伸到课外
教师角色的正确定位
组织者：提出议题、组织活动、引领知识，排除障碍、捕捉思维火花、组织全班交流、对合作学习的结果与过程的评价等
伙伴：参与讨论、探索
注重过程的评价
以小组集体的学习效果，作为评价依据
评价内容：过程与结果，以过程为主
探究学习
学生学习的两种基本形式
接受学习——吸取信息、消化理解、巩固记忆、运用迁移
探究学习——提出问题、自己寻找解决问题的途径，包括收集资料、提出假设、验证假设、归纳规律、得出结论等
两者同等重要，互为补充，
探究学习的标志：
深层次的思维活动——在解决问题的过程中掌握思维方、形成思维策略
探究学习的时机
课堂知识学习过程中的探究
概念的形成，
公式、性质、定理的发现、推导
解决问题的途径的探究
课外的探究学习——体验微型科研的过程
数学建模
课题研究
课堂开展探究学习的要求
有情境：包括实例、问题等。
有活动：包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动——经历过程
有深层次思维：与已有知识建立联系，形成概念、归纳结论、发现规律等。
有知识的运用：包括辨别、举例、解释、解决问题等
有进一步探究：深入研究具有一定挑战性的问题——学有余力的学生
有回顾与反思 ：总结、评价、联系、拓广、创新——使认识深化
课堂开展探究学习的注意点
明确探究学习的目的与重点，一般一节课安排一段高效率的自主探究活动，
探究问题的难度与学生水平相宜
注意探究氛围的创设
探究问题应具有层次性
层次性探究问题的设计
“5何”问题设计方法
由何（where）——问题从何而来，说明情境的导入与任务的布置
是何（what）——通过知识的回忆与再现来回答的问题
为何（why）——需要加以解释或推理的问题
如何（how）——需要将知识应用于具体情境的问题
若何（if……then）——诸如“如果情境发生变化，其结果如何？”的问题。
课例2 幂函数
1、引入课题（由何）：
思考：由等式8=23，可以改写成哪几种形式？（引导学生欣赏数学和谐美）
一般地，在N=ab中，
如果固定a，N随着b的变化而变化，则建立了指数函数y=ax；
如果a固定，b随着N的变化而变化，则建立了对数函数y=lga x。
思考：如果b固定，N随着a的变化而变化，那么，我们可以建立什么样的函数呢？
（学生思考、讨论）
2、给出幂函数定义（是何）
我们把形如y=xα的函数叫做幂函数，其中α是实数，为了方便起见，我们仅研究α是有理数的情况。
3、研究几个特殊幂函数的图象与性质（是何，如何）
求下列函数的定义域，并判断其奇偶性,然后作出它们的图象.
因为函数的奇偶性能够帮助我们完成左半平面内的图象，所以在知道函数的奇偶性之后，只需要研究它们在第一象限内的图象
4、指数变化后幂函数的性质发生什么变化（若何）
从以下几方面研究幂函数的图象与性质：
指数是正整数，
指数是正分数；
指数是负有理数。
5、总结、概括
在上述观察的基础上,归纳出一般情况下幂函数的性质，包括
当指数是正整数时，图象的位置、形状、增长速度；
当指数是正分数时，图象的变化情况；
当指数是负有理数时，图象的变化情况。等等
四、关于数学技能的训练
课标要求：单一的技能训练转变为关注对数学本质的理解与感悟
不要过分地在细枝末节上花费精力
不要无限制地加大某一技能训练的难度
重在对数学知识联系的把握
注重数学知识的应用
注重数学思想方法的渗透
一位学生对函数单调性的理解的启发
过多的技能演练代替了对数学的理解
过多的方法展示掩盖了数学的本质
案例 一个例题的教学
已知函数f（x）=（m-2）x 2-4mx+2m-6的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围。
展示问题之后，老师提问：分类讨论的着眼点是什么？
学生的回答：
讨论二次函数的判别式
讨论f（x）=0的根的情况
运用韦达定理进行讨论，
讨论最小根的位置
等等
对解题教学中一题多解的认识
一题多解是从不同的角度探索解题的思路，有助于发散思维的训练与培养
过多的注重于细节不同的多种方法容易掩盖对数学本质的理解，
上一例题的不同的方法的数学本质：
思路1：画出函数图象，根据开口、对称轴的位置或者根的位置进行讨论
思路2：主元变换——f（x）=m（x 2-4x+2）-2x 2-6，发现图象过两个定点，由此确定函数图象的可能情况。
思路3：正难则反：当函数图象仅与x轴的正半轴有交点，求m的取值范围，然后求其补集。
技能的含义
一种合乎某种法则的操作方式
两种类型：
操作技能：比如，写字、游泳、电脑绘画等
心智技能：智力技能，是一种控制、调节心智活动的经验。
数学技能多数属于心智技能
如运算、计算、推理、画图、作图、收集数据、运用计算器、测量、观察、交流等
数学技能的特点
必须按照某种法则进行；
比如，移项的法则
操作有一定的理论依据；
比如，移项的依据：等式的性质
心智动作结构成分可以简缩、合并、逐步实现自动化。
数学技能形成的过程
学习法则、了解动作结构
理解法则的依据：说明“为什么”可以这么做。
记忆法则：知道“怎么样”做的步骤；
练习阶段：
模仿练习：在头脑中初步形成动力定型。
变式练习：变更活动的对象，使操作方式在直觉水平上得以概括。
综合练习：
实现自动化：动作方式由感性水平上升到理性水平，实现自动化。
对数学技能训练的启示
练习题的选择与配制——量与度
练习的阶梯性——循序渐进
处理好操作与理解、感悟的关系，
两者的区别：写字与练书法的比喻
写字——一种简单操作；
练书法——把写字本身当作研究对
五、关于教学的观念与知识结构
1、建立崭新的教师观、教学观、学生观
教师观:
传统的水桶论
当今水桶论面临挑战，学生碗里的水不一定全部来自于教师
教师是支架
是为学生的学习提供方便的人，使学生的学习更容易的人
学习观
学习不是简单复制和印入信息，而是主动解释信息、建构知识的意义
知识不是现成的、贯输的，而是生成的、解释的、建构的，有一千个观众，就有一千个哈姆雷特。
小学生体验“父母的艰辛”的故事
教学观
教学只能传递信息，而不是知识的意义；
教学的最佳境界是创设理想的环境与空间促进学生自主建构知识。包括
创设问题情境
提供学习资源
提供教学支架
组织交往形式
设计学习活动
进行激励性的评价，等等
2、对课程结构的把握
传统的课程结构——直线式处理：
现代的课程结构
模块式呈现——松散的知识结构
选修1、2是必修的延伸与拓广；
选修3、4与选修1、2相对独立。
螺旋式处理
各数学分支分层次、递进设计；
要求：整体性地了解新课程的知识结构，准确把握各层次的教学要求。
3、知识结构的更新
传统：
函数、立体几何、解析几何、方程与不等式，排列组合与二项式定理等
现在：
必修——函数、几何、算法、概率统计
选修——四个领域内容的延伸与拓广、数学的应用与数学最新发展等
信息技术与课程的整合
要求：更新知识结构
算法与框图
向量、概率统计
选修专题
4、对学生发展的全方位的要求
掌握基础知识与技能；根据自己的兴趣与需要选择进一步学习的数学
数学地思考的能力：掌握数学思维的方法与策略
数学探究能力的发展：动手、探索、合作、交流等
数学思维能力的发展：提出问题、解决问题、回顾与反思
数学文化的理解与体验
5、创造条件让学生全身心地参与学习活动
全身心地参与：
行为投入——积极参与的外部表现；
认知投入——反映思考的深度，并掌握一定的思维方法与策略，是有效参与的表现；
情感投入——积极参与的内部表现。
参与的活动类型：
观察实例，形成概念，
发现结论、性质；
探索解决问题的途径；
举例，质疑、评价、交流，等等。
6、做个反思型教师
反思型教师的特质
（1）行动的研究者：做中学、做中思，行动——反思——思想、观念——行动
（2）具有较强的教学监控能力——对教学活动的自我意识与调控
课前的计划与准备；
课堂的反馈与评价；
课堂的控制与调节；
课后的反省
教学目标与教学效果
学生的需要与教学实践
教学资源的运用是否恰当，教学行为是否有效
反思的内容
对自身专业成长的反思：
我的教学理念是什么？过去的经验我学到了什么？自己进步和不足的原因是什么？等等。
对教学行为的反思：
课堂教学行为是否围绕教学目标来进行？学生积极性是否调动？教学过程是否得到优化？教学方法是否动用得当？教学效果是否良好？等等。
对学生学习情况的反思：
学生学到了什么？提出了什么新的问题？解决了什么问题？等等。
对课前教学计划的反思：
教学内容是否符合学生的实际？是否有利于学生的发展？存在哪些问题？如何改进？等等。
反思的方式
（1）教育叙事与案例
（2）反思随笔：随时随地记下自己的所思、所见、所闻、所想，从教材的分析、教学方法 、学法指导、师生互动、多媒体使用、作业设计等方面挖掘亮点，寻找斑点。
（3）理论学习：反思的基础不是内隐性理论，而是倡导性理论，倡导性理论是反思的基础。将学与思、学与教、学与研结合起来。
（4）同事之间的相互对话、观摩与研讨
（5）进行课题研究或专题研究卡 方 检 验（Chi-Square Tests）
事件A——某人吸烟， 事件B——某人患病，
事件 ——某人不吸烟，事件 ——某人不患病．
假设H0：患病与吸烟没有关系，即
H0：P(AB) P(A)P(B)．
将原表中的数字用字母代替，得到字母表示的2 2列联表：
患 病 未患病 合 计
吸 烟 a b a b
不吸烟 c d c d
合 计 a c b d n(a b c d)
于是P(A) ，P(B) ，故
P(AB) ．
在H0成立的条件下，吸烟且患病的人数为
n P(AB) n ．
类似可得，吸烟但未患病的人数为
n P(A) ，
不吸烟但患病的人数为
n P(B) ，
不吸烟也未患病的人数为
n P() ．
如果实际观测值与由事件A，B相互独立的假设的估计相差不大，那么，我们就可以认为这些差异是由随机误差造成的，假设不能被所给数据否定，否则应认为假设不能接受．
怎样刻画实际观测值与估计值的差异呢？
统计学中采用如下的量（称为2 统计量）来刻画这个差异：
2
，
化简得
2 ． （1）
理论上可以证明，当观测总数n很大时，2近似地是一个称为2分布的随机变量的观测值．
在H0成立的情况下，随机事件“2≥6.635”这个事件发生的概率约为0.01，即
P(2≥6.635) 0.0l． （2）
也就是说，在H0成立的情况下，对统计量2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01．
现在的2 11.863 4，大于6.635，由（2）式可知，出现这样的观测值2的概率不超过0.01．因此，我们有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患呼吸道疾病与吸烟有关系”．
卡方检验表
P(2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
行总和
列总和
表总和创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的． ——G．波利亚
华罗庚教授曾经举过一个例子．
从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球、第二个是红玻璃球、甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们会出现另一个猜想：“是不是袋里的东西，全部都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验……
从上面的情景中，我们看到了探索活动是一个不断地提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想的过程．
在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对所得结论进行验证和证明．
在一般的数学活动中，
● 我们怎样进行推理？
● 我们怎样验证（证明）结论？(共17张PPT)
数学文化视野下的 数学问题设计与数学教学
邗江区教育局　尤善培
二00七年八月
尤善培 ，江苏省中学数学特级教师，
江苏省有突出贡献的中青年专家，全国优秀
教师，全国“第七届苏步青数学教育奖”获得
者，扬州大学硕士研究生导师。
主要研究课题：数学思想方法、数学文
化、数学教学。
数学文化
从文化视角解读数学新课程
数学问题情境
数学教学
数学文化
1．数学是文化
（1）数学与文化（关系）
（2）数学的文化（因素）
（3）数学是文化（八个一）
（4）一个式子的透视（eiπ+1＝0）
（5）数学的作用（理论思维、技术应用、文化修养)
数学文化
2．数学与人的文化素质
（1）培养严谨的思维方式（思维的体操）
（2）培养学生的创新精神（巨大的创造力）
（3）培养科学的审美观（何处无芳草）
（4）作为文化的数学教学（突出数学思想）
（5）数学教学的新观念（闪耀人文的光辉）
从文化视角解读数学新课程
1．数学新课程的特点
（1）数学新课程的目标（视野、意识、精神）
（2）数学新课程的理念（基础、分析和选择、学习
方式和人文价值）
（3）数学新课程内容的构成（必修、选修、专题）
从文化视角解读数学新课程
2．数学对人的文化素质的影响
（1）数学知识使人有学问（欲穷千里目）
（2）数学思维使人聪明（欧拉、祖冲之的巧解）
（3）数学文化使人高尚（精神品格的提升）
从文化视角解读数学新课程
3．数学与哲学思考
（1）根源于实践（一棵参天大树）
（2）充满了辩证法（连续与间断，必然与偶然）
（3）文化中的独特部分（看不见的文化）
从文化视角解读数学新课程
4．作为文化的数学教学
（1）发扬数学的严谨求实精神（推理意识）
（2）发扬数学的勇于创新精神（探索意识）
（3）发扬数学的善抓本质精神（抽象意识）
（4）发扬数学的联系实际精神（应用意识）
数学问题情境
1．问题与情境
（1）问题与数学活动（问题激发思维）
（2）问题与数学情境（情境的核心）
数学问题情境
2．创设的途径
（1）联系实际（提供直观）
（2）生动的故事（注重情节）
（3）有趣的游戏（激发兴趣）
（4）动手操作（注重探索）
（5）利用数学文化的资源（文化背景）
（6）以理性研究为线索（知识生长点）
数学问题情境
3．创设的原则
（1）生活性（回归生活）
（2）形象性（化抽象为形象）
（3）数学性（体现数学特色）
（4）问题性（引发思考）
（5）情感性（激发情感）
数学教学
1．借助数学历史
（1）树立正确的数学观（演绎与归纳）
（2）理解数学的难点（领悟问题本质）
（3）用数学思想方法武装学生（受益终身）
数学教学
2．要重视教学过程
（1）数学教育是一个文化过程（润物细无声）
（2）充分暴露数学知识的产生、发展的全过（过
程比结果更重要）
（3）数学教学要设计情节（扣人心弦）
数学教学
3．要重视数学眼光的培养
（1）数学眼光（用数学的眼光看世界）
（2）数学地观察生活（数学的源泉）
（3）数学地理解问题（解决问题的利器）
谢谢利用割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线的斜率．
如图，设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x + x，f(x + x))，则割线PQ的斜率为
kPQ = = ．
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当x无限趋近于0时， 无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．
例1 已知f(x) = x2，求曲线y = f(x)在x = 2处的切线斜率．
解 设P(2，4)，Q(2 + x，(2 + x)2)，则割线PQ的斜率为
kPQ = = 4 + x．
当x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线y = f(x)在点P(2，4)处的切线斜率为4．
在Excel中计算可知（如图），当x越接近0，割线斜率kPQ就越接近常数4．
y
x
O
y = f(x)
x
x
x + x
P
Q
f(x + x) f(x)
切线
割线
B
D
(2+△x)2
△x
5
0.01
3.99
0.0014.001-0.001
4.0001
0.000
3.9999
4.000
0.00001立体几何初步结构图
学习《数列》、《向量》时学生会怎么想？
判定、性质
语言描述
平面与平面
位置关系
判定、性质
语言描述
直线与平面
位置关系
判定、性质
语言描述
直线与直线
位置关系
基本元素（点、线、面）
语言描述
判定、性质
位置关系
旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
图形表示
侧面积和体积
结构特征
多面体（棱柱、棱锥、棱台）
图形表示
侧面积和体积
结构特征
空间几何体
简单的空间几何体异面直线所成的角
图形表示
侧面积和体积
结构特征
结构特征
（圆心、半径）
结构特征
（斜率）
圆
圆的
方程
圆与圆、直线与圆的位置关系
直线
直线
方程
位置关系、点到直线的距离
平面解析几何初步
简单的平面曲线
语言描述（建立方程）
性质（用方程研究曲线）
结构
特征
表示（解析式、图象）
性质
表示（解析式、图象）
性质
概念
表示
性质
应用
对数函数
背景
应用
指数函数
背景
应用
函数
背景
问 题 情 景
集合
集合的表示法
集合间的关系性质
集合的应用
问题情景A |A| 计算
2 3 2 3 -2
4 5 4 5秃顶与患心脏病列联表
患心脏病 患其他病 总 计
秃 顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
总 计 665 772 1437
秃顶与患心脏病列联表
患心脏病 患其他病 总 计
秃 顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
总 计 665 772 1437 c2
16.37320689
检验1
0.0000520153
检验2
6.634896712
性别与喜欢数学课程列联表
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总 计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
性别与喜欢数学课程列联表
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总 计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
c2 0.05
4.513892255 3.841459149
0.0336206552给定函数y = f(x)
计算eq \f(y,x) = eq \f(f(x + x) f(x),x)
令x无限趋近于0
eq \f(y,x)无限趋近于f '(x)
f '(x)
求函数的导数——流程图超几何分布案例
问题 （抽签摸彩）某旅游景点有一个摆地摊的赌主，在一个布袋内放了20个玻璃球，红、白各10个，游客从布袋内随意抓出10个球（或不放回地分几次抓出），其中奖情况如表所示．试计算：
摸到 10个白或10个红 9红1白或9白1红 8红2白或8白2红 7红3白或7白3红 6红4白或6白4红 5红5白
奖品 200元 50元 2元 1元 0.5元 罚5元
（1）获200元奖品的概率；
（2）获50元奖品的概率；
（3）按摸1 000千次统计，赌主可赚多少？
解 从20个相同的球中随意抽出10球，共有种可能的结果，其中
（1）摸出的10个球均为白(或红)的情况有C = 1种，故获得200元奖品的概率为
2×eq \f(C,C) = = ，
不到9万分之一．
（2）摸出的10个球中有9红1白的(或9白1红)的情况有C C种，因此获得50元奖品的概率为
2×eq \f(CC,C) = = ，
约九百分之一．
（3）分别算出获2元、1元、0.5元以及罚5元的概率为
2×eq \f(CC,C)，2×eq \f(CC,C)，2×eq \f(CC,C)，eq \f(CC,C)．
故摸一次赌主平均可赚
eq \f(CC,C)×5－2×eq \f(C,C)×200－2×eq \f(CC,C)×50－2×eq \f(CC,C)×2－2×eq \f(CC,C)×１－2×eq \f(CC,C)×0.5
= (63 504 5 2 200 200 50 4 050 2 88 200 0.5)
= ≈1.223 88元。
如果以摸1000次统计，赌主可赚1 223.88元．(共31张PPT)
函数的单调性
常州市第八中学 刘爱美
洞庭湖沿程不同测站1954年洪水过程图
春兰股份线性图
常州市日平均
出生人数统计表
年份
人数（人）
观察图象，请同学们想一想，对于一个函数，它的图象从左到右是逐渐上升的还是逐渐下降的？
O
x
y
O
x
y
2
1
y
O
x
x
y
y=3x
1
3
正比例函数
一次函数
二次函数
反比例函数
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
函数f (x)在给定区间上为减函数。
O
x
y
如果对于区间I内的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜ f（x2）， 那么就说f（x）
.
在这个区间I上是单调增函数.
如果对于区间I内的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）> f（x2）， 那么就说f（x）
.
在这个区间I上是单调减函数.
函数单调性的定义
设函数y=f(x)的定义域为A，区间I A
y=x3在R上是增函数.
y=x3
单调性定义中x1, x2有三个特征：
1、自变量x1,x2属于定义域，并且同属于一个子区间；
2、自变量的任意性；
3、 x1, x2有大小，通常规定x1注意：
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的。
单调区间：
如果函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数（或单调减函数），则称f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间称为单调增（减）区间。
几何意义：
在单调区间上是增函数的图象是上升的；在单调区间上是减函数的图象是下降的。
下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
[1，3），[3，5].
解：
y＝f（x）的单调区间有
[－5，－2），[－2，1）
其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上
是减函数，
在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
作图是发现函数单调性的方法之一.
1
x
y
-1
-2
3
-5
O
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
2
-1
画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)y=-x2; (2)y=1/x(x≠0）
1
－1
－1
O
x
y
1
x
y
O
f（x）在定义域 上是减函数吗？ 取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -1＜1 f（-1）＜f（1）
f（x）在定义域 上是减函数吗？
证明：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）＜ f（x2）
f（x1）－f（x2）＜0
f（x1）＝3x1＋2
f（x2）＝3x2＋2
f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋2）
＝3（x1－x2）
由x1＜x2，得 x1－x2＜0


另证：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
3 x1＜3x2

3 x1+2＜3x2+2
即f（x1）＜ f（x2）
a＜b，c＞0 ac＜bc a＜b a＋c＜b＋c
设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
求证：函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明函数单调性的解题步骤：
1、取值
2、作差变形
3、定号
4、判断
练习：证明函数f(x)=-2x+1在区间（-∞，+∞）上是减函数
证明：
（取值）
（定号）
（判断）
上是减函数
（作差变形）
证明：
设x1，x2∈（-∞， 0 ），且x1＜x2，则
求证：函数f(x)= 在区间（-∞，0）
上是单调增函数。
函数f(x)= 在区间（-∞，0）上是单调增函数。
练习.判断函数f（x）＝x2-1在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明
O
x
y
1
1
解：
函数f（x）＝x2-1在（0，＋∞）上是增函数.
下面给予证明：
设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2
∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.
单调增函数 单调减函数
图象
图象特征 自左至右，图象上升. 自左至右，图象下降.
数量 特征 y随x的增大而增大.当x1＜x2时， f(x1) ＜ f(x2) y随x的增大而减小.当x1＜x2时，f(x1) > f(x2)
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
O
x
y
x2
x1
f(x1)
f(x2)
小结：
判断函数单调性的方法：
1、图象法
2、代数论证法
作业：
P43 习题2.1（3）
1、2、4、7
谢谢观赏！数学地研究现实世界的一个范例
——高中课程标准实验教科书必修《数学4》（苏教版）教学问答
樊亚东（苏州中学园区校 215021）
问：怎样理解和把握数学必修4全书的整体结构？
答：数学（必修4）共有三章内容，第1章“三角函数”，第2章“平面向量”，第3章“三角恒等变换”。各章内容均围绕着对同一个背景进行数学研究的过程而逐层展开，教材结构新颖独特，整体互通，密切相连。全书的整体结构如下：
问：能具体地阐述各章节是以怎样的模式而“生成长大”？
答：第1章《三角函数》，首先从自然界广泛的周期性现象中聚焦到圆周上一点的运动，这是一个简单又基本的例子，是一个待解剖的“小麻雀”。于是问题自然地提出：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对周期性现象的数学（分析）研究； 即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程。
本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，作为定位的具体体现，教材有如下鲜明的特点：
特点1 采用以问题链为线索的呈现方式“生长知识”
教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始的，思维的过程就是不断地提出问题，解决问题的过程。教材采用了以问题链展开的呈现方式，在提出问题的环节，问题间的逻辑递进，以及问题对强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用等方面进行了精心设计。例如，教材P12在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”之前，还安排了一个问题：“用怎样的数学模型模型建立(x, y)与(r, )之间的关系？”这就是考察锐角三角函数的“理由”。那么，怎么又想到要研究(x, y)与(r, )间的关系的呢？这是因为用(r, )(x, y)都可以表示圆周上的点。那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动。那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”。
为什么要研究周期现象呢？因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型。”这里的问题串，揭示了建构数学模型的思维过程，揭示了数学知识间的联系。在问题串的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动。
特点2 以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容
（1）教材展开的主线如下：
（2）教材充分发挥学习“函数”一章的经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作用，在结构上尽可能地与“函数”一章相同。
（3）为了突出“建构—研究—应用”这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理。如，抽出“三角变换”的内容，另立一章；把6种三角函数减为3种，突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法。
特点3 突出周期性
（1）本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归属。
（2）首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节。三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式，即从以前的研究过程中得到的。相反，三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用。
（3）在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型。这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性？这样的设计，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用。周期函数的定义是学习中的一个难点。同学们可以从“周而复始的重复出现”出发，如“白天黑夜、白天黑夜”，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义。
特点4 加强几何直观，强调形数结合的思想
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形，例如，应用三角函数的周期性来简化函数图象的作图．值得一提的是诱导公式的推导。首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等。除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？”
导出公式的程序如下：
上述推导方式本意有三点：
（1）问题是“从对三角函数的性质进行研究”这个主题中派生出来的，是对“模型”研究的一个有机的组成部分，而不是为了将任意角转化为锐角以便查表求值才来讨论诱导公式。
（2）三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理。
（3）突出了形数结合思想。特别是教材中，在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质：
“诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系”翻译“成三角函数之间的代数关系。
第2章《平面向量》仍然从圆周上一点的表示(r, )出发，导出“既要考虑大小（r），又要考虑方向（ ）”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度。接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学（分析）研究。
本章作为展示对向量进行数学研究的过程，即建构刻画“既有大小，又有方向”的量的数学模型的（思维）过程。有下列主要特点：
特点1 主背景源于第一章。另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念。
章头图中矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹。它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了。
引言首先说明了本章的研究课题是第1章研究内容的拓展。三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型。而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型。这时，只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置。
接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是。这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景。
在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？
这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点。
特点2 采用以问题链为线索的呈现方式
例如，“用什么样的数学模型来刻划位移，速度、力这样的量？”，“这样的数学模型有什么性质与应用？”（教材P56），“这里的向量，，之间什么关系？”（教材P61）。
特点3 按照数学模型研究的一般程序展开教材
（1）和《函数》、《三角函数》类似，本章也是对一种数学模型的研究。教材也是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的。这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在《函数》、《三角函数》学习中获得的经验，在助于发挥学生在学习中的主动权。
（2）本章首先现实根据学生的生活经验，从实际背景中抽象出向量的概念（数学模型），然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，最后再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于同学们理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养创新思维和理性思维的目的，同时也有助于数学应用意识的发展．
特点4 承前启后，在延伸第一章的同时，为第三章作好铺垫
例如，教材P83：“设向量a (cos75, sin75)，b (cos15, sin15)，试分别计算a b | a | cos 及a b x1x2 y1y2．比较两次计算的结果，你能发现什么？”
在第1章中，我们迈出了对周期现象研究的第一步：建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型，并初步探讨了它的性质。而在第3章中，我们又将以向量为工具来进一步探讨三角函数的性质。因此，从整体上看，《向量》的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行。这样可以更好地体现向量这工具价值。
第3章《三角恒等变换》又回到第一章的主背景：圆周上一点的运动。并提出引向纵深的另一个基本基本问题：周期运动的叠加；经过向量方法的解析引出本章的主问题：cos( ) 能否用 的三角函数和的三角函数来表示？这就明确了任务：导出用单角的三角函数来表示和（差）角的三角函数的公式；进而展示“用演绎方法，建立数学知识体系的一个范例”。本章的教学起点是：“对刻画周期性现象的数学模型的进一步的研究”。与其他教材相比，这一点很不一样。
本章的主要特点如下：
特点1 主背景仍源于第一章。
从章头图中我们又看到了大海——浩瀚的大海中朵朵卷起的浪花，潮涨潮落。这暗示着本章和第1章《三角函数》的联系。事实上，本章讨论的主题是三角函数的运算，它是笫1章的延伸和发展。
循着第1章的轨迹，在引言中，提出了“周期运动的叠加”的问题。（两个简谐运动叠加后是否还是简谐运动？）
接着，课本以向量为工具对一个特例进行了分析，提出了一个具体的问题：sin x cos x能够恒等变形为Asin( x )的形式吗？这不仅引出了用向量方法推导cos( )公式的“预演”，而且由此提出了本节的研究课题：cos( )能否用 的三角函数与的三角函数来表示？这样就抓住了本章知识的增长点，从此展开了探索活动。这样的安排，就为三角变换的学习提供了一个源头，使它不仅仅是一种抽象的形式变换，而且成为“对周期性现象建立数学模型”（这正是本教学模块的这样一个大课题）的研究中的重要组成部分。这就把演绎的知识结构放在“对周期性现象作数学研究”的大背景下展开，使得全书三章内容密切相连，浑然一体。
在这个引言中，突出了向量的工具作用，既紧密地联系着第二章，又为用向量方法推导两角差的余弦公式做好铺垫。
特点2 按照三角变换公式之间的逻辑联系展开
这是一个逻辑的演绎的体系，为了突出三角函数的主干内容，特别是突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质，这个演绎的体系是放在对周期现象进行研究的大背景下建立的。首先，在引言中就从周期运动合成的角度提出三角变换的课题，在讨论了和差角公式以后，课本又通过“链接”，给出了正弦函数、余弦函数叠加的问题的结论。本章就构成了一个相对完整的数学发现和应用的过程。这样有助于同学们从总体上理解三角变换。
特点3 删繁就简，强干削枝
在过去的课本中，往往把三角变换单纯地视为基本的技能训练，强调反复的练习和操作，强调三角变换的具体方法和技巧，造成了公式头绪多，练习习题难，技巧方法刁的现象。和过去相比，本章突出公式的发现和推导过程，重视在三角变换中的思维活动和过程，以及指导这些活动的思想方法。同时降低了对三角变换的要求。特别是不再要求用积化和差、和差化积、半角公式等作复杂的恒等变形，而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练，避免任意加大三角变换的难度，防止了在三角变换中深挖洞的现象。这些和过去的教材是有明显区别的。
问：教师在具体的教学过程中应注意哪些问题？
答：（1）要突出数学模型思想。充分利用章引言提供的情境，利用学习《函数》的经验，自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，在学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识。
（2）以问题为中心。以“问题串”为载体，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用。在感悟和理解通过问题串，揭示建构数学模型的思维过程，揭示数学知识间的联系的同时，学会提出问题，注重学会发现。
例如，余弦的差角公式的推导是教学的重点和难点，它不仅是推导正弦的和（差）角公式、正切的和（差）角公式以及倍角公式的基础，而且其推导过程本身就具有重要的教育价值。它是怎么被发现的？等式cos x sin x cos(x )有着怎样的多维景观？
（3）加强相关知识的联系，注意章节之间的铺垫与呼应，形与数的结合。发挥单位圆、三角函数线、图象的直观作用。
（4）运用和深化函数思想方法。三角函数是高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，应当注意运用《数学（必修l）》中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的指导下，学习三角函数。例如：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函数；用函数研究中的基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，性质等）来理解学习三角函数的进程；在讨论y Asin( x )的图象时，渗透函数变换与图象变换（平移、伸）的关系。
（5）突出向量运算的核心地位
和函数这样的数学模型不同，向量有它的特点，在向量的教学中，要特别重视向量的运算。
运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算。虽然我们对运算并不陌生，但是，我们眼中的运算只有数的运算、字母（式）的运算。现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破。多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识。例如：在定义了运算以后，和数进行类比，研究向量的运算（加、减、数乘等等）和它们满足的运算律，探讨运算的应用，就都是很自然的了。和数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的。如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的。特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的。
（6）恰当地使用信息技术。有条件应尽量使用计算器（机）。把计算机变成学习的好伙伴。
结束语
“三角函数”、“平面向量”、“三角恒等变换”犹如一棵大树的三大分枝，作为一个简单又基本的周期运动的例子，“圆周上一点的运动”则是这棵大树的“根”。相信在教师的精心引导下，学生在走近这棵大树，感悟它枝繁叶茂，博大精深的同时，也一定懂得了许多数学生长的规律，懂得了许多学习数学和学会学习的基本原理。
利用数学模
型解决问题
对数学模型
进行研究
建立数
学模型
现实世界
中的问题
点的表示
(r, )，(r, l)，(x, y)
三角恒等变换
圆周运动的延伸，周期运动的叠加问题经过向量方法的解析而引导出两角和与差的三角函数
平面向量
点的表示(r, )的延伸导出既有大小(r) 又有方向() 的“量”， 建构刻画这种“量”的数学模型并研究和运用这一模型
三角函数
点的表示(r, )，(x, y)引导出建构刻画r, , x, y之间关系的数学模型并研究和运用这一模型
终边的位置
关系(对称)
三角函数值之间的关系
终边的的位置关系
问题
诱导公式
背景
（圆周上一点的运动）
S2
T +
T
T2
C2
S +
S
C +
C
PAGE
1条件概率
● 考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子的性别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的。
以A表示事件“随机选取的一个家庭中有一男一女”，则P(A) = ，但是如果预先知道这家庭中至少有一个女孩，那么，上述的概率便是 。 在第二种情况下，我们多知道了一个条件：事件B（这一家庭至少有一女孩）发生，因此我们计算的概率事实上是“在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率”，这个概率我们记之为P(A | B)。
在上例中，基本事件总数n 4，事件A包含的基本事件数mA 2，因此P(A) = 。但是假如已知事件B发生，即至少有一女孩，那么可能发生的基本事件是（男，女），（女，男），（女，女），总数为mB 3，而有利场合（至少有一女孩而且有一男一女）数mAB 2，因此
P(A | B) 。
这一式子，对一般古典概型问题也成立。
在几何概型中，若以m(A)，m(B)，m(AB)，m()分别记事件A，B，AB，所对应点集的测度，且m(B) 0，则
P(A | B) 。
结果与古典概型相同。
对频率也有类似结果。
一般地，我们将这个算式作为条件概率的定义：
若P(B) > 0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是
P(A | B) = ．(共24张PPT)
课题：独立性检验
案例教学
1．提出课题
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，为吸烟者295人，调查结果是：吸烟的220人中37人患呼吸道疾病，183人无呼吸道疾病；不吸烟的295人中21人患呼吸道疾病，274人无呼吸道疾病。
● 根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？
数据整理
患 病 未患病 合 计
吸 烟 37 183 220
不吸烟 21 274 295
合 计 58 457 515
问题1：判断的标准是什么？
吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？
频率估计概率
患 病 未患病 合 计（n）
吸 烟 17% 83% 100%（220）
不吸烟 7% 93% 100%（295）
２．分析问题
３．解决问题：(1)直观方法
吸烟的患病率
不吸烟的患病率
37/220 16.82%
21/295 7.12%
由统计分析的思想，用频率估计概率可知，可能性差异较大，直观上看，吸烟与患病有关
频率差异不大时怎么办？
４．进一步思考：反思
直观、粗略----精细？
问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患
病有关”的判断？
问题3：能于能用数量刻画出“有关”的程度？
需要对问题作进一步的思考——数学的思考
问题的数学表述
“患呼吸道疾病与吸烟有关”这句话是什么意思？
一般地，什么叫做事件A与事件B有关？
问题的意义是：事件A与事件B是否独立？
（“某成年人吸烟”记为事件A， “某成年人不患病”记为事件B）
解决问题的思路
思路：反证法思想
（1）假设：H0：患病与吸烟无关
即 P（A）P（B）= P（AB）
（2）在 H0成立的条件下进行推理
（3）如果实际观测值与由（2）推出的值相差不大，则可以认为这些差异是由随机误差造成的，假设H0不能被否定；否则，假设H0不能被接受
反证法原理与假设检验原理
反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。
假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。
５．解决问题：(2) 2 检验法
P(A)、P(B)不知道，怎么办？
频率估计概率
P(A)
P(B)
P(AB)
同理，吸烟但不患病的人数约为
n
由此估计：
吸烟且患病的人数约为
n
不吸烟但患病的人数约为
n
不吸烟也不患病的人数约为
n
怎样估计实际观测值与理论估计值的误差？
采用如下的量（称为 2 统计量）来刻画这个差异：
+
+
+
化简得
2
=
2统计量
结论：计算结果的意义
６．一般化：建立模式
一个数学模式建立起来了，
下面就可以用这个模式来解决问题了！
　　　　　文科的处理方法
统计假设H0：患病与吸烟无关
则吸烟成年人的患病率与不吸烟的成年人的患病率应该差不多，即
即
ad-bc 0
于是，当ad-bc越接近于0，H0成立的可能性越大；ad-bc越大，H0成立的可能性越小。
考虑到样本量的影响，构造
2
=
(以下同理科)
　　　　　　几点说明
(1) 统计方法的数学化超出了学生的理解水平，而以具体的案例容易帮助学生理解问题和方法的实质；高中阶段的统计教学的主要目标是使学生在数据处理的过程中学习一些常用的方法，运用所学的知识、方法去解决简单的实际问题进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，而这些目标的实现需要学生亲自实践参与解决具体的实际问题，
所以采用案例的形式。
(2)统计案例的教学应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误、估计结果的随机性等)，体会统计方法应用的广泛性。
(3)对统计案例的内容，要强调一些有用的方法的直观合理性(实际上也是这种方法的原始产生过程)，只要求了解基本思想和方法，对其理论基础不作要求。
(4)要创设在利于学生探索和交流的教学情境，使学生在自主活动和师生互动中学习。
(5)鼓励运用现代技术，特别是计算器、计算机来处理数据，以留下更多的时间来体会统计思想。(共6张PPT)
苏州大学数学科学学院 徐稼红
uuxjh@public1.sz.
选修1-1——常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用
选修1-2——统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、 框图
选修2-1——常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何
选修2-2——导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入
选修2-3——计数原理、概率、统计案例
课程定位
（1）系列1，系列2是选修系列课程的基础
　 系列1为希望在人文社会科学等方面发展的学生而设置（4学分）
系列2为希望在理工经济等方面发展的学生而设置（6学分）
（2）提供多样课程，适应个性选择
内容相同、要求也相同——
常用逻辑用语(8), 数系的扩充与复数的引入(4)
内容基本相同、但要求不同——
　 导数及其应用( 16/24)、圆锥曲线( 12/16)
推理与证明( 10/8)、统计案例( 14/10)
内容要求均不同——
　 框图( 6)、空间向量与立体几何( 12)、
计数原理( 14)、概率( 12)
教学要求
统计案例
概 率
导数及其应用
空间向量与立体几何
推理与证明
常用逻辑用语
圆锥曲线与方程
复 数
框 图
计数原理超几何分布与二项分布
● 假定某批产品共有N个，其中有M个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出n件产品，那么次品数X的概率分布如何？
先考虑不放回抽样：
以N = 100，M = 5，n = 10为例，研究次品数X的概率分布．
从100件产品中随机取10件有C种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有CC种基本事件，根据古典概型，得
P(X = 2) = eq \f(CC,C)．
类似地，可以求得X取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X的分布列
X 0 1 2 3 4 5
P eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) eq \f(CC,C)
对一般情形，一批产品共N个，其中有M个次品，随机地不放回地取出的n个产品中，次品数X 的分布列为
X 0 1 2 … l
P eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) … eq \f(CC,C)
其中 l = min(n，M).
一般地，若一个随机变量X的分布列为
P(X = r) = eq \f(CC,C) (r = 0, 1, 2, …, l) （1）
l = min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X~H(n，M，N)，并将
P(X = r) = eq \f(CC,C) 记为H(r；n，M，N).
再考虑放回抽样：
以N = 100，M = 5，n = 10为例，研究次品数X的概率分布．
从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C·52·958种基本事件，根据古典概型，得
P(X = 2) = eq \f(C·52·958,10010)
C()2()8．
类似地，可以求得X取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X的分布列
X 0 1 2 3 4 5
P C()0()10 C()1()9 C()2()8 C()3()7 C()4()6 C()5()5
对一般情形，一批产品共N个，其中有M个次品，随机地有放回地取出的n个产品中，次品数X 的分布列为
X 0 1 2 … l
P C()0()n C()1()n 1 C()2()n 2 … C()l()n l
其中 l = min(n，M).
一般地，若随机变量X的分布列为
P(X = k) = C pkqn k，
其中0 < p < 1，p + q = 1，k = 0，1，2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布（Binomial distribution）．记作X～B(n，p)。
Excel
Excel(共66张PPT)
高中数学必修课程中的问题与对策
李善良
教材的编写意图
必修课程的问题
相关对策与建议
第一篇 苏教版高中数学实验教材编写意图
基本想法
内容组织基本方式
数学运用的安排
基础性与选择性
合理使用教科书
1.基本的想法
具有先进的教育理念
展示数学的内在本质
应用学习心理学成果
集中教师的优秀经验
选择精典新思素材(背景，例题，习题 )
吸收国内外教材精华
序：基本的想法
具有先进的教育理念：人的终身发展
展示数学的内在本质：体现数学价值
应用学习心理学成果：学习的主动性
集中教师的优秀经验：教学的启发性
选择精典新思的素材：素材的思维性
吸收国内外教材精华：教材的兼容性
序：基本的想法
人的终身发展：给学生留下什么动力
体现数学价值：给学生留下什么数学
学习的主动性：给学生留下什么空间
教学的启发性：给教师留下什么空间
素材的思维性：给选材留下什么示范
教材的兼容性：给教材留下什么风格
自己的特色，自己的风格，自己的灵魂
2.内容组织形式
问题情境

学生活动

意义建构

数学理论

数学运用

回顾反思
问题情境：包括实例、情景、问题、叙述等。
意图：提出问题。
学生活动：包括观察、操作、归纳、猜想、验证、 推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动；
意图：体验数学。
意义建构：包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等。
意图：感知数学。
数学理论：包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等。
意图：建立数学。
数学运用：包括辨别、变式练习、解决简单问题、解决复杂问题等。
意图：运用数学。
回顾反思：包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等。
意图：理解数学。
情境 活动 意义 理论 运用 反思
3.数学运用的安排
数学运用的安排:四个层次,内容、例题、习题、教辅
习题的安排
数学探究的安排：内容引入、过程、思考与探究、习题、数学探究
数学建模的安排：问题情境、相关例题、习题、数学建模
4.教科书充分考虑学生的不同需求，为所有学生发展提供帮助，为学生的不同发展提供较大的选择空间
（1）教科书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、探究案例、实习作业、本章回顾等内容构成一个完整的体系。它是教科书的核心，体现了高中数学教学的基本要求，是所有学生应当掌握的内容。编写时，力图使所有学生都能理解。
（2）考虑广大同学的不同需要，教科书提供了较大的选择空间。主要是设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等，以激发学生探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，学生可自主选择其中一些内容作思考与探究。
核心
内容
思考
探究
链接
旁白
思考·运用
探究·拓展
第二篇 高中数学必修课程实验出现的问题
宏观问题:对课改的认识不到位
中观问题:对教材的意图把不准
微观问题:对教学的创新跨度小
一、江苏高中数学课程改革概况
义务教育数学课改的基本想法
（1）继承、借鉴、发展（2002）；
（2）探索、创新、发展：课堂教学基本模式（2003）；
（3）总结、反思、创新、发展（2004）；
（4）尊重规律，把准方向，抓住重点，促进发展（2005）
高中数学课改的基本想法
核心：积极探索、大胆实验、稳步推进
1．初期阶段（开始的两个月）
调研、解决问题、统一认识、探索新方向
这一阶段最艰难，尽管江苏做了大量的准备工作，但开头还是有些乱。教师恋旧心理，老教材用惯了，几十年的课堂教学方法，特别是一些过去拿手的内容（集合运算、函数定义域、值域、三垂线定理、二面角等等），现在削弱了，教材内容顺序也变化较大，逻辑顺序也变了。
学生经过课改，也发生许多变化，学习方式与过去有很大不同（合情推理能力、探究能力、表达能力强，但运算能力、书面表达、逻辑推理等方面有些弱）。
学习科目多，但教师教学要求不降，学生负担重。
选修内容不清晰，考试要求不清晰，教学要求（度）把不准。
针对这种情况，出台两个文件：
选修课程指导意见：定范围
学科标准教学要求：定水平。
2．推进阶段（2006.9开始)
总结、推广、纠正、调整
典型地区、典型学校、典型教研组
优秀案例、优秀设计、可以推广的经验
创新教学设计、优秀课改成果、青年教师优秀课评比、课改现场会、研讨会等
进一步加强培训(尤其是过程培训)，逐步转变教师观念
2006、2007年青年教师优秀课观摩与评比
2006年盐城、2007年无锡高中数学课改研讨会
2004、2006年优秀教研成果
3.总结、反思阶段（2007.5)
2008年11月课改研讨会总结
2008年江苏省优秀教研成果
二、问题与原因
若干问题
原因分析
影响因素
1.若干问题
课时问题
负担问题
衔接问题
例题、习题
教材、教辅
教学内容的度
学分考试与高考
信息技术
逻辑顺序
新旧教材的差异
新课标与教学大纲
课时问题
超标拓展,未有必要
内容提前,容易混乱
一次到位,违背规律
例:集合的教学,复合函数的处理,立体几何的处理
负担问题
课时增加
要求统一(最高)
一次到位(高一当高三教）
教辅陈旧
生源水平
衔接问题
知识衔接:因式分解,立方和差,一元二次方程根与系数关系,分式运算,根式运算,三元一次方程组、概率与统计,几何中的一些定理等.
能力衔接:运算能力,推理论证(含书面表达).
学习方式与习惯:课堂上学生与原来学生差异.
课标本身的差异:初中更侧重活动,高中更侧重理性;初中更侧重合情推理,高中更侧重逻辑推理.
例题,习题,教辅
教材的核心内容
教材为选择性,能力发展提供空间
思维能力与探究能力的培养
教辅的功能。南通的经验
教学内容的度
课程标准的要求
课程标准的细化(知识的四层要求)
教材的示范：核心内容，思维发展，拓展探究。注意根据本学校的情况前后平移。以满足学生最近发展区为要。
能力立意,关键是思维能力、探究能力、应用意识、创新意识的发展。
理性精神、审美意识、辩证唯物注意观点。
首先要把握知识技能的度，但不要仅仅把握知识技能的度。知识技能是载体。
信息技术
信息技术与课标
信息技术与教学
信息技术多样性
信息技术渐进性
注意：计算器的弊端
逻辑顺序
12345
14523
14253
新旧教材的差异
新旧教材的差异比较：是知识定位，还是能力定位？是最终得到知识技能，还是通过知识技能的学习获得提出问题、解决问题的一般方法？
取舍问题：站在新教材角度，整合、吸收旧教材中合理的做法，还是站在旧教材角度对新教材进行取舍？
具体内容教学
集合、函数的定义域与值域、复合函数、抽象函数、反函数、函数方程、空间几何体的精确定义、线面关系判定定理、三垂线定理、有关距离和角的计算、算法、计数原理与概率，等等。
必修教材中的具体问题
教学问答\必修1教学问答.doc
教学问答\必修2教学问答.doc
教学问答\必修3教学问答.doc
教学问答\必修4教学问答.doc
教学问答\必修5教学问答.doc
2.原因分析
除了课标、课改本身考虑不周外，更多的可能是教师：
对新课改的认识不到位：未把准这次课程改革的基本方向
对新课标的学习不深入：未把握高中数学课程的基本理念
对新教材的研究不精细：未领会高中数学教材的编写意图
对新课堂的教学不创新：未进行教学方式与学习方式转变
恋旧心理、习惯思维、依赖思想、等待观望、畏难情绪、怀疑心理、侥幸心理
3.总结：影响课改的重要因素
高考定位
在今天的就业压力下，整个社会对高考期望太多。因此，高考方案备受关注。高考承担了它不应有的压力与责任。高考是“双刃剑”，搞得好，有利于高中课程改革的推进。搞不好，将会前功尽弃，阻碍高中课程改革。
一个是制度,一个是理念。大家要思考，要研究：是教育围着高考服务，还是高考为教育服务？是高考影响导向教学，还是教学导向高考？你不拿出你的理念、评价标准，怎样让评价机构来评价你？
教师观念
实际上，整个课改成败与否，就是教师教育观念、教学观念能否转变，真正以学生为本，致力于课堂教学方式的转变，促进学生主动学习。而今天，教师往往做表面文章，走形式主义。邯郸学步，传统的精华丢掉了，而新的又未驾驭好。
三步曲：形式—本质—理论
教师素质
教师素质是课改成败的关键，也是教育成败的关键。课改对教师素质提出历史从来未有的高要求（专业素质、教学观念、教学创新、教学艺术等）。如何提升每一位教师的素质，是课改必须关注的问题，也是今后课改的中心任务。
教师培训
过去许多培训与学习，往往走形式，听听报告就完了。而真正促进教师灵魂变化的培训，必须要教师真正参与，怎样做好高效率的培训，应当要进一步研究。实际上，江苏今年的课改比较稳定，教师学校认可度高一些，与去年的各种培训，与各级教研室组织的过程培训是分不开的。
教研活动
仅仅靠集中培训与学习，解决课改中的问题是很难的。转变教师观念、提高教师素质等，必须靠教研活动来完成，教研活动的形式与内容应有质的改变。
教学辅助用书
教学辅助用书要不要，谁来编写，谁来管理？目前，受经济利益驱动，教学辅助用书影响并干扰了学生的学习。这个问题必须关注，有志于数学教育研究的同志应该担负起这个责任。《精编》《大代数》《数学分析习题集》，优质的教辅太少。
第三篇 高中数学新课程的教学思考
把准高中数学课程目标
把准高中数学整体脉络
把准基础内容教学要求
把准教科书的编写意图
把准课堂教学的着力点
1.把准高中数学课程目标
基础知识、基本技能
数学能力
情感态度价值观
2.把准高中数学整体脉络
函数
几何
算法、概率、统计
其他
数学探究
数学建模
(1)函数
集合
函数、指数函数、对数函数
三角函数、三角恒等变换、解三角形
数列
不等式
导数及其应用
（选修3，4）
(2)几何
向量：平面向量，空间向量
立体几何：立体几何初步，空间向量与立体几何
解析几何：直线和圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程
球面几何等
(3)算法、概率、统计
算法：算法初步、框图
概率：概率初步、计数原理，概率
统计：统计初步、统计案例
(4)其他内容
常用逻辑用语
复数
推理与证明
3.把准基础内容教学要求
基础知识与基本技能
“度”：范围，层次（水平）
基本方法与基本思想
渗透与感悟
基础知识与基本技能
一些内容的处理：
集合的运算
函数的定义域与值域
立体几何：三垂线定理，角，距离
解析几何：斜率，倾斜角，圆锥曲线的定义
不等式：分式不等式，绝对值不等式，无理不等式
算法与程序语言
三角恒等变换
平面向量
5.把准课堂教学的着力点
明确课堂教学目标
促进学生主动学习
关注数学探究过程
注重发展思维能力
把准教学广度深度
（1）促进学生主动学习
发展以学生为主体的教学。什么叫主体，所有教学都归结为两个字：主动。学生主动学习是教学的最终目标。教师必须为学生主动学习提供空间，教师就是为学生设计一个主动思维的舞台，而不是被动接受知识。知识不是目标，而是通过知识的获得过程，使学生形成科学的思维方式，使学生获得研究方法。教师教学理念必须转变。
最大限度给学生以机会和空间，不要替代学生的思维。
（2）关注数学探究过程
学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。同时，高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
（3）注重发展思维能力
什么是数学思维？
《大纲》思维能力主要是指：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。
《课标》高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。
《手册》学会数学地思维：问题解决，元认知，数学意识。
综合：在学习与运用数学过程中，整个的过程是数学思维过程。包括基本的思维方式，基本的解决问题策略，基本的研究方法，基本的自我监督、调节、控制水平。
怎样进行数学思维？
（1）要有问题（怎样提出问题）。
（2）怎样解决问题（研究方法）。
（3）解决问题之后要升华（反思）。
如何发展学生的思维？
第一，要培养学生基本的思维方式。
许多学生解决问题失败，往往是缺乏基本的思维方式，他们拿到一个问题，不是积极地去思维、尝试、探究，而是一味地试图套代模式。当套代失败时，他们往往不能及时调控自己，或者放弃，或者沿着错误的方向进行下去。
第二，要促进学生学会基本的解决问题策略。 首先要培养学生提出问题的习惯与能力。我们知道，问题是数学的心脏，没有问题便没有思维，提出问题本身就是重要的思维过程。学生必须学会提出问题，面对一个情景，勇于而且善于抓住本质，提出核心问题。其次要培养学生解决问题的能力。面对一个问题，怎样研究，怎样解决。在一般方法失效时，怎样创造方法解决这个问题。要较给学生一些通性通法，要注重基本方法的运用。
第三，要不断提高学生元认知水平。
在学习数学过程中，自觉地进行自我监控、调节与评价，不断地进行自我回顾与反思。在数学教学过程中，既要提高学生思维水平，又要注意学生思维方式的改变，充分暴露学生的思维过程。
李善良
江苏省中小学教学研究室
电话:025-83758207，13016939053
邮编:210013
地址:南京市北京西路77号
E-mail：lishanliang@
lishl@几何概型（条件概率）
●
例2 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），记投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个正方形或正中间的1个正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)。
解 根据几何概型，得
P(AB) = ，P(B) = ，
所以
P(A|B) = = ．几何画板给中学数学教学带来了什么
（发言提纲，不要上网，不要传播）
课程标准-基本理念部分、教材编写、教学建议三个部分都指出：
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合（如把算法融入到数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。
一、几何画板给中学数学教学带来了什么
1．现代教具，革新教学手段
（1）激发兴趣，引发动机；
（2）创设情景，帮助认知；
（3）概念辨析，准确完整；
（4）形数结合，直观形象；
（5）离散变连续，揭示内在联系。
教学案例：
激发兴趣，引发动机 哪个点在椭圆上？有趣的正方形。
创设情景，帮助认知 椭圆是什么？从椭圆到双曲线；根据正弦线画正弦曲线；数列的极限。
概念辨析，准确完整 离心角；任意角；复数开方；截圆锥形成的曲线。
形数结合，直观形象 倾斜角与斜率。
离散变连续，揭示内在联系 曲线系方程的认识。
其他：圆锥曲线的统一定义；幂函数的认识。
2．动态研究，培养能力
静态变动态，形式改变易。有利于变式教学，培养思维能力（观察、归纳、抽象，体现数学的本质。）
教学案例：
三角形外心的故事；《数学通报》“数学问题”栏目的1167题。
分式函数、二次函数图像。
转动的四棱锥；改变2003年高考立体几何题观察角度。
三视图（空间想象）。
3．开展数学实验，探究数学奥秘
几何画板是观察数学现象的显微镜：方程ax=logax（0＜a＜1＝有几个解。
一个有关平面几何的猜想。
“玫瑰花瓣是怎样长出来的”。
小圆绕大圆转了几圈。
4．参与课堂教学，创新教学模式
凸多边形内角和结论的来历；还有中位线性质的来历。
参数A、ω、φ对函数y=Asin（ωx+φ）的图像的影响。
学生自主学习，模式改变了。
动手操作，体验数学过程，发现数学结论，网络教室个别化学习，探索式学习。建构观下的数学学习。
建构主义的教学模式：“以学生为中心，在整个教学过程中由教师起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用，利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的。”
当然，并不是说建构主义的理论是指导数学教学的惟一理论。
几何画板到底给中学数学教学带来了什么？
新大纲：现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变。
更新教学手段，革新教学方法，创新教学模式；
激发学习情趣，提高教学效率，增强教学效果；
影响教学内容，改变教学观念，丰富教学理论。
二、学生用几何画板干什么
我校从1998年开始，在学生中开设了“用几何画板学数学”选修课。学生学习几何画板效率很高，很快就掌握。现在南京已经有不少学校开设了几何画板选修课。我教的两个班是人人都会（在网络教师上课了）几何画板。
学生用几何画板干什么呢？
（1）玩。“猫捉老鼠”的故事，还有火箭上天、方轮汽车，等。
（2）学习数学。2003年高中数学联赛二试第一题；研究最大最小值问题。
（3）做数学实验，培养创新意识。
圆锥曲线两个定义的统一、“鸭蛋形导弹形”的故事（圆锥曲线扩展）。
不听课的故事；一个错误的发现（极坐标中的反函数：ρ=中n引起的变化）。垂心轨迹。
（4）做课件。动滑轮的故事。正方体的截面。
分子结构、分段函数。如浮力、斜面、弹簧振子、波的迭加，等课件。
课件制作本身又是一个智力开发的过程。
三、关于信息技术与数学教学整合的几点意见
1．懂得教学规律，熟悉教学过程是搞好信息技术与教学整合的重要条件
一方面，要充分了解数学教学的需要，熟悉教学过程，有先进的教育理念。另一方面，要充分了解计算机有哪些优势、长处，为增强教学效果、实现教学目的做些什么？起到哪些作用，在传统教学的基础上使用好计算机，革新传统的数学教学。根据近几年的实践，年龄比较大的教师中出现了一些信息技术与教学整合搞得比较好的也说明了这一点。因此，在学习计算机技术的同时，教师要认真研究教材、研究教学的对象、研究教学过程，钻研教学。同一个课件，受不同思想的指导，使用的方法不同，效果也不同。总之，要搞好信息技术与数学教学的整合，熟悉教学过程与精通信息技术两者缺一不可。
2．信息技术与数学教学整合的原则
必要性，恰时恰点，恰到好处；负责任地使用。
平衡性：纸笔运算不可少。
实践性：让学生在操作中学习数学，探究数学的奥秘，体验数学的本质。
实用性：简单、方便、实用，减少操作上困难。
广泛性：计算机、计算器、视频展示台、互联网等。
（1）必要性：是否用得恰到好处。要找准信息技术与教学整合的“切入点”，明确“辅”在何处。
要负责任地使用信息技术，使它为数学的学与教服务。信息技术的使用不是要替代传统的教学工作，而是要发挥信息技术的力量，做过去不能做或做得不太好的工作，更好地组织和管理教学资源，构建交互式、多样性的学习环境，更好地引导学生学习，加强数学的基本理解和直觉。
要正确开展CAI的实验研究，要研究《课程标准》提出的教学要求，弄清到底应该辅在何时？辅在何处？怎么辅助？
注意提高学习兴趣，培养能力，减轻负担，创新教学模式，促进“素质教育”。
教学中，能用黑板或其他教具讲清楚的问题，不一定要搬弄计算机（比如三角形内角和是180°）。任何媒体的运用无不受着教育思想的指导。电脑作为一种教学工具是“中性”的，可以用它来培养能力、提高素质，也可以用它搞“题海”、“满堂灌”，增加学生的负担。
（2）平衡性：纸笔运算不可少，该证明的要证明，辅助的地位不变。
信息技术的使用为学生学更多更深的数学提供了可能，也为学生更好地理解和应用数学开拓了广阔空间。但是，它不能被用来代替基本的数学活动，如熟练的基本运算、基本的代数变换、解方程、逻辑推理、数学证明等。因此，应当使信息技术的应用与传统的纸笔运算、逻辑推理、画表作图等之间达到一种平衡。有时，讲解是必不可少的。不能教师一讲解就是传统的，不是现代的教育理念。
不提倡整堂课都用计算机教学。教学过程是十分复杂、细腻的过程，教师的一个手势、一个微笑、一句称赞的话语等各种体态语言，对增强教学效果都有不容忽视的作用。忽视教师与学生之间的情感交流在教学中的作用就会把“计算机辅助数学教学”引向反面。
（3）实践性：增加操作，让学生在操作中学数学，做数学，体验数学过程，探索数学的奥秘。
信息技术的使用应当强调学生的实践活动，让他们在信息技术的帮助下，通过自己的亲身实践而获得对数学知识的深刻理解，体验数学思想方法的真谛，领悟数学的本质，使“学习方式的变革”落在实处。
（4）实用性：课件制作注意：经济、实用，简单、明了，不要追求华丽。
信息技术应用于数学教学应当做到简单、方便、实用，在课件的设计、实现和操作上减少困难。
信息技术为教学提供了一种可直接操作的环境，在这种环境里，抽象的数学概念和关系是“可视的”，并且可以被具体操作。但是，要注意信息技术的这种优势常常因为技术本身的原因（很多人对计算机的软、硬件环境不熟悉）而得不到充分发挥。
（5）广泛性：计算机、计算器、视频展示台、互联网等。
应当根据不同的教学任务选择适当的信息技术工具，如计算器、计算机、视频展示台、多媒体实验室以及互联网（数学课用互联网干什么？需要讨论）等，以使学生充分发挥视觉、听觉、触觉等多种感官的协同作用而更有效地进行数学学习。
开展计算机辅助中学数学教学几何画板不是惟一的平台。“一学科多平台”，不排斥其他平台的运用。目前比较适合中学数学教师使用的还有中科院张景中教授组织开发的“Z+Z智能教学平台”。其他还有Mathematica、Maple、Mathcad，Flash等。可以根据不同的需要选择使用。
关键不是用什么平台，而是怎么用，实现什么样的教学目的与效果。
数学课程与信息技术整合的目的之一是丰富学生的数学学习，促使学生利用信息技术进行主动、有效的数学学习。要鼓励学生在数学学习中使用信息技术。
3．选择好平台，实现数学教师自己制作课件
“课件”融入了教师本人对教材的理解、处理，体现了教师的教学思想，教学方法，因此必须坚持自己制作课件。要自己制作课件就要选择好软件平台。人民教育出版社与全国中小学计算机教育研究中心正在全国推广的《几何画板》就是一个最适合中（小）学数学教师使用的教学软件或开发平台。
4．信息技术与教学整合是日常教学的一部分，不光为了评比
不要有人来参观、听课就“整合”，“评优”、“公开课”就“整合”，过后还是老一套，教师讲，学生听，满堂灌。
5．加强实践，积累资料，认真总结，开展交流
实践出真知。计算机辅助教学，纸上谈兵不行，重要的是积极开展实践。有些市的电教馆、教研室成立了课题组。南京市曾发文件把几何画板列入教师继续教育的培训内容，成为市级数学骨干教师培训班的必修课。
6．建议师范院校开设几何画板必修课
1998年，我建议师范院校的数学系开设几何画板必修课，这不是计算机系的事。南京师范大学数学系1999年就已经在毕业班中开设了几何画板必修课，受到了普遍欢迎。江苏省教育学院、南京教育学院也都把几何画板列入选修课。
信息技术与中学数学教学整合的最高境界，依我目前的认识是，让学生掌握信息技术（学习软件、手持技术、网络等），使用把信息技术与数学内容整合在一起的数学教科书来学习数学。
教育改革的关键是教师。真正的改变要靠师范院校数学系的重视，培养大批掌握信息技术的数学教师充实到中学数学教学岗位上来。
不当之处，敬请指正。
南京师范大学附属中学 陶维林
2007年7月31日
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1(共28张PPT)
深圳市梅林中学：蒋敏慧
联系方式：sx02jiang@
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D
C
B
A
E
F
A1
D1
C1
B1
z
y
E1
教材分析
方法手段
教学程序
教学评价
教学目标
知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
本节内容：空间向量的夹角公式，用空间向量求立 体几何中异面直线的夹角.
后续内容：向量在数学、物理上的综合运用.
教材分析
教学目标
方法手段
教学程序
教学评价
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.
地位作用
教学重点： 1)空间向量夹角公式及其坐标表示；
2)选择恰当方法求两异面直线的夹角.
关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量
的坐标,将几何问题转化为代数问题.
教学难点：
1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别；
2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出
点的坐标及向量的坐标.
教材分析
教学目标
方法手段
教学程序
教学评价
重点难点
知识目标 :
掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；
提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能.
情感目标：
激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；
感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力；
体验从 “定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高分析 问题、解决问题的能力.
教材分析
教学目标
方法手段
教学程序
教学评价
教学方法：启发式讲解 互动式讨论
研究式探索 反馈式评价
教学手段：借助多媒体（几何画板、实物
投影、幻灯片等）辅助教学
教材分析
教学目标
方法手段
教学程序
教学评价
学习方法：自主探索 观察发现
类比猜想 合作交流
以问题为载体，学生活动为主线
探索、类比、猜想、发现并获得新知
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
C1
E
D
C
B1
A1
D1
F1
B
A
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D中，
, 求证DF1与BE1垂直.
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
问题1：如图，若将E点在AA1，A1B1上移动，若移
至A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角
平面内两个向量的夹角公式：
问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间 公式 的形式有什么变化？
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
已知平面内两个非零向量，
求下列两个向量夹角的余弦值
（1） ，
（2） .
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
A
D
C
B
D1
C1
B1
A1
E1
F1
例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
，求BE1与DF1所成角
的余弦值.
例
题
讲
解
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
理
解
掌
握
巩
固
提
高
① 几何法
A
D
C
B
D1
C1
B1
A1
E1
F1
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
例
题
讲
解
理
解
掌
握
巩
固
提
高
x
z
y
② 向量法
质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么 区别？如何转化为本题的几何结论
A
D
C
B
D1
C1
B1
A1
E1
F1
本题的几何结论：异面直线BE1与DF1夹角的余
弦值为 .
① 几何法
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
例
题
讲
解
理
解
掌
握
巩
固
提
高
小结评价
问题3：利用向量法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？
(1) 恰当的构建空间直角坐标系；
(2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积；
(3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；
(4) 根据题意，转化为几何结论.
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
① 几何法
② 向量法
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M是AB的中点,求对角线DB1与CM所 成角的余弦值.
A
D
C
B
D1
C1
B1
A1
M
题组练习一
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
例
题
讲
解
理
解
掌
握
巩
固
提
高
问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间 直角坐标系？
例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角.
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
例
题
讲
解
理
解
掌
握
巩
固
提
高
1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异 面直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为 （ ）
A.60
B.120
D.240
C.-60
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,请用恰当的方法求异面直线AC与BD1所成的角.
必做题：
A
D
C
B
D1
C1
B1
A1
题组练习二
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
例
题
讲
解
理
解
掌
握
巩
固
提
高
选做题：沿着正方体ABCD -A1B1C1D1对角面A1BCD1 去截正方体,得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，E,F分别是A1D1,D1C1的中点，求异面直线BE与A1F所成的角．
A
D
C
B
D1
C1
B1
A1
C
B
D1
C1
B1
A1
E
F
题组练习二
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
例
题
讲
解
理
解
掌
握
巩
固
提
高
鼓励学生选择不同的解题方法，培养 学生创新思维；
为学习能力不同的学生提供广阔的空 间；
体现学生的主体地位，发展学生的个性；
培养学生分工协作的能力，善于分析， 乐于探索的钻研精神.
设计意图
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
值得注意的：
将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；
理解异面直线夹角与空间向量夹角的区别；
选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求
夹角的唯一途径，不是最佳途径.
反馈评价
值得肯定的：
勇于思考、积极探索；
分工协作、合作交流.
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
（1）空间向量的夹角公式及其坐标表示;
（2）异面直线的夹角与向量的夹角的区别;
（3）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹 角.
（4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推 广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比 转化的能力.
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
感受 理解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与 D1N所成角的正弦值.
A
D
C
B
D1
C1
B1
A1
M
N
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
思考 运用：已知正三棱柱(地面为正三角形,侧棱与底面垂直) ABC-A1B1C1中，底面边长为2,求异面直线AB1与BC所成的角.
A
C
B
C1
B1
A1
探究 拓展：利用向量法是否可以求直线与平面所成的角，二面角,点到平面的距离，两异面直线的距离等其它空间夹角或距离的问题
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
教学中，以问题为载体，学生活动为主线;
将复杂的几何问题转化为代数问题,具有相当的优
越性,恰当选择,合理运用;
通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作
探索,对学生的学习过程评价;
通过学生对方法的选择,对学生的学习能力评价;
通过题组练习、课后作业,对学生的学习效果评价.
教材分析
教学目标
方法手段
教学程序
教学评价
应用领域
应用领域
课题引入 例1 题组练习一
空间向量的夹角
夹角公式
题组练习二
例2
一般方法 几何法、向量法 巩固作业
一般步骤
联系方式：sx02jiang@
深 圳 市 梅 林 中 学因势利导地帮助学生
“教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。”
“教师对学生的帮助应当不多不少”
“不显眼地帮助学生”
“应该顺其自然”。
——G。波利亚


一般地说，要做到因势利导的帮助学生，教师必须做到以下两点：
第一、暴露学生的思维过程——从中看出“势”；
第二、分析学生的思维过程并做出评价，帮助学生对自己的思维活动作出调控，迫使他们进行反思——这就是所谓“导”。
和暴露相比，分析就显得更为重要了函数的单调性
常州市第八中学 刘爱美
教学目标：
1.知识目标：理解函数单调性的概念；
2.能力目标：
（1）.能由函数图象判断某些函数的单调性；
（2）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；
（3）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.
3.德育目标：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法。
教学重点：函数单调性的概念与判断
教学难点：利用概念证明或判断函数的单调性
教学用具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一.问题情境：
日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从从阶梯教室后向前走，逐步下降。
1.观察下列图表，体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用：
洞庭湖沿不同观测站1954年洪水过程图
春兰股份线性图
在哪些时段内气温是升高的？
2.很多函数也具有类似性质。如（电脑给出图象）：
y=3x+2 y= (x>0)
这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（电脑给出课题）
二.学生活动
问题1：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？
函数 y=x2、y=x3的图象（电脑给出）
y y
O x O x
这些说明某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势。
问题2：你能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？
三.建构数学：
问题3：如何用数学语言来准确地表述这种y值随着x的值增大而增大（减小）呢？
进而抽象出单调性的定义（电脑给出）：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1f(x2 )，那么就说在这个区间I上是减函数。I称为y=f(x)的单调减区间。
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.
问题4：由函数单调性定义，你发现哪些特点？
（1） 自变量属于定义域
（2） 自变量的任意性
（3） x1、x2的大小与f(x1 )、f(x2 )的大小要对应.
为了让学生更直观地看出单调函数定义的内涵，用电脑演示动画。
演示：在函数y=x2、y= x3的图象上，当x增大时，y的值的变化情况。
问题5：观察下列函数的图象，指出函数的单调区间，并指出函数在此区间上的单调性。的图象学生比较陌生，所以当堂用《几何画板》画出，并让学生熟悉用描点法作函数图象的过程。
从上述过程中概括出函数的单调性单调区间的概念：
如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性。这一区间叫做的单调区间。
学生阅读书上例1，回答该函数的单调区间。
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它需要根据单调函数的定义进行证明。
阅读书上例2、例3，然后与学生一起总结出解题步骤（电脑给出）：
（1） 取值
（2） 作差变形（因式分解、配方、有理化等方法）
（3） 定号
（4） 判断
分析各个步骤的含义，利用这个结论学生练习(用电脑给出)：
问题5。
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
四.数学应用：
例1、 画出下列函数的图象，并写出单调区间：(学生自己作图后，再电脑给出)
（1）y=－x2+2 (2) y=(x0)
问题6：函数f(x)=在其定义域上有单调性吗？为什么？（电脑演示）
要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它要根据单调函数的定义进行证明。
例2：求证：函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
例3：求证：函数f(x)=－－1在区间(－,0)上是单调增函数.
（要求学生在模仿证明中进一步理解函数单调性定义中“任意”的意义）
与学生一起总结出证明函数单调性的解题步骤（电脑给出）：
（1） 取值
（2） 作差变形
（3） 定号
（4） 判断
分析各个步骤的含义，利用这个结论，学生练习（电脑给出）.
五.练习：P37 1、3、4
六.回顾小结：
本节课主要学习了函数的单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性。
七.作业：习题2.1（3）：1、2、4、7.
【随堂测试】
1. 已知函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数的单调区间：
y y
a b O c d x
O x
2.下列函数在区间(0,+)上不是增函数的是（ ）
A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y= D.y=x2+2x+1
3.(1)若函数y=kx+2在R上为增函数，则k的范围是 ；
(2)若函数y=x2—mx+5在（—，2）为减函数，在（2,+）上为增函数，则m= 。
4.画出函数y=+2x的图象，求函数的单调增区间，并证明。
【函数单调性内容分析及设计说明】：
课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性。
函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用。对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化（多媒体演示），先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程。
函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解。所以，在教学中结合反比例函数y=的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x的值写出对应的y值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义。
利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确表述。
【教学后的反思】
1. 所举实例离学生的生活有些远，需再仔细酝酿。课前可以让学生搜集相关素材、课上用学生自己提供的资料，可以调动学生学习的主动性和积极性。
2. 例题过多，过于重形式化可能会冲淡主题。
3. 函数的单调区间一般指“最大”区间，学生如果只回答其子区间，应给予纠正。
4. 例2、例3是否可以与例1合在一起，证明的过程只是用多媒体播放一下，可能不利于学生形成规范的解答习惯。
5. 如何让学生理解函数单调性中：“对任意两个变量…”的“任意”的意义仍是值得斟酌的。能否让学生来举例，让学生讨论来展开研究？
-1
2
-4
-3
-2
5
4
3
2
1
O
-5-5
3
-2
-1
y
x
1几何概型（条件概率）
●
例2 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），记投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个正方形或正中间的1个正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)。
解 根据几何概型，得
P(AB) = ，P(B) = ，
所以
P(A|B) = = ．例3 下表是随机抽取的10人家庭的年可支配收入x（元）与年家庭
消费y（元）的数据，试根据这些数据探讨y与x之间的关系．
家庭收入(x/元) 800 1200 2000 3000 4000 5000 7000 9000 10000 12000
消费支出(y/元) 770 1100 1300 2200 2100 2700 3800 3900 5500 6600
例3 下表是随机抽取的10人家庭的年可支配收入x（元）与年家庭
消费y（元）的数据，试根据这些数据探讨y与x之间的关系．
家庭收入(x/元) 800 1200 2000 3000 4000 5000 7000 9000 10000 12000
消费支出(y/元) 770 1100 1300 2200 2100 2700 3800 3900 5500 6600
例3 下表是随机抽取的10人家庭的年可支配收入x（元）与年家庭
消费y（元）的数据，试根据这些数据探讨y与x之间的关系．
家庭收入(x/元) 800 1200 2000 3000 4000 5000 7000 9000 10000 12000
消费支出(y/元) 770 1100 1300 2200 2100 2700 3800 3900 5500 6600
回归系数（截距）
380.5268631
回归系数（斜率）
0.4845320624
相关系数
0.9825991134
例3 下表是随机抽取的10人家庭的年可支配收入x（元）与年家庭
消费y（元）的数据，试根据这些数据探讨y与x之间的关系．
家庭收入(x/元) 800 1200 2000 3000 4000 5000 7000 9000 10000 12000
消费支出(y/元) 770 1100 1300 2200 2100 2700 3800 3900 5500 6600
回归系数（截距）
380.5268631
回归系数（斜率）
0.4845320624定积分的定义
一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x (x = )，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn．作黎曼和
Sn = f(x1)x + f(x2)x + … + f(xi)x + … + f(xn)x，
如果x无限趋近于0（亦即n趋向于+）时，Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分（definite integral），记为
S = f(x)dx，
其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．问题设计
“设计好一个初始问题就从根本上设计好了一节课,因为学生解决初始问题的活动是按照一定的规律展开的,可以说,在初始问题确定以后,课的大体发展方向和框架就已经确定了——它是会按照自身的逻辑展开的。
由此,我们主张教师在设计好初始问题(以及提出问题的方案),准备好概略性解决方案(不止一个)和可能准备使用的几种适应学生状况的思维模式以后,再重点地弄清关键部分的细节,就可以去上课了.当然,在上课时你可能会遇到不少意外的情况,但是只要你坚持过程性教学原则,不回避问题和矛盾,只要你熟悉并应用数学文化的规范,就一定会上好课——而且会出乎意料的精彩、自然和富有创造性。我想,每一个立志于数学教育工作的教师,都应该接受这项富有挑战性的工作.数列的概念和简单表示
江苏省海门中学 杨智慧
教学目标：
知识与技能：理解数列的有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的前几项甚至任意一项；对于比较简单的数列，会根据它的前几项写出它的一个通项公式。
过程与方法：通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；通过对简单数列前几项的观察归纳写出其一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力。
情感、态度、价值观：在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。
教学难点：根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。
教学方法：启发引导式
教学手段：多媒体教学
教学过程：
一、创设情景，导入课题
由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
二、讲授新课
观察下列例子中的6列数有什么特点：
（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263
（2）某种细胞分裂问题：1，2，4，8，16，…
（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…
（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…
（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38
（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32
（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）
1、数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.，各项依次叫做这个数列的第1项（首项）、第2项、…、第n项…，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
（结合数列的定义，让学生讨论并举出数列的例子，并让学生判断举出的例子是否是数列，生生互动。）
问题1：数列:1，2，3，4，5；数列:5，4，3，2，1；它们是否是同一数列？
问题2：-1，1，-1，1是否是一数列？
问题3：数列中的项和集合中的元素有何区别？
（给出3个问题由学生讨论并回答，教师起启发总结的作用，进一步加深对数列概念的理解，师生互动）
2、数列的一般形式：
其中右下标n表示项的位置序号，上面的数列又可简记为
注：这里的和是不同的，表示一个数列的第项，而表示一个数列。
如数列可简记为：
又如数列可简记为：
（简单举例，学生口答，加深对数列一般形式的掌握）
3、数列的函数观点
对于数列中的每个序号，都有唯一的一个项与之对应，如数列（1）
序号 1 2 3 4 ……64
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
项 1 2 22 23 ……263
从函数的观点看：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2， …k}）为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3, …)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…f(n),…
数列中的项与它对应的序号之间能否用一个公式来表示呢？
（紧扣数列是一个特殊的函数，应用类比的思想由函数的解析式自然地引出数列的通项公式）
4、数列的通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
从函数角度看，通项公式就是与之间的函数关系式an=f(n)。
如数列通项公式为
又如数列通项公式为
（简单举例，学生口答）
例1、已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，用列表法写出这个数列的前5项，并作出图象.
解：
1 2 3 4 5
an=2n-1 1 3 5 7 9
它的图象如图所示：
题后反思1、作出函数的图象，比较它和此数列的图象有何联系。
2、数列的表示法：通项公式法，列表法，图象法。
3、问题（1）：求这个数列的第10项；
问题（2）：数2005是这个数列的项吗？2006呢？
例2、写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，4，9，16；
分析：解题关键：找出项an与序号n的关系。
（启发学生回答）
练习：，，，
（学生思考，回答）
（2）-1，1，-1，1
练习：，，，
题后反思：
1、题目条件中让写出“一个”通项公式，能否再写出一个符合题意的通项公式？
注：给出数列的前几项，可以归纳出不止一个通项公式。
2、写出数列3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.1415926…的通项公式。
注：并不是所有的数列都可以求出其通项公式。
三、课堂小结
1、本节学习的数学知识：数列的概念和简单表示。
2、本节学习的数学思想：归纳的思想、函数的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思想方法等。
四、作业：书
五、板书设计
数列的概念和简单表示
1、 引入
2、 新授
1、数列的定义：按一定次序排列的一列数
2、数列的一般形式：，简记为：
3、数列的函数观点：特殊的函数
4、数列的通项公式
例1、
例2、设某车间有二百台车床，由于经常需要检修、测量、调换刀
具、变换位置等种种原因，因此，即使在生产期间，各台车
床还是时常需要停车。若每台车床有百分之六十的时间在开
动，而每台车床开动时需要耗电1千瓦，问：应供给这个车
间多少电力才能保证此车间正常生产？
设某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工概率各为
0.6 ，开工耗电各为1千瓦。 问： 供电所至少要供给这个车
间多少电力才能以99.9%的概率保证此车间不会因供电不足
而影响生产。
这是试验次数n=200的贝努里试验，若把某台车床要工作看作
成功，则成功的概率为0.6。记某时刻在工作着的车床数为X，
则X是随机变量，服从p=0.6的二项分布。问题是要求r，使
这是试验次数n=200的贝努里试验，若把某台车床要工作看作
成功，则成功的概率为0.6。记某时刻在工作着的车床数为X，
则X是随机变量，服从p=0.6的二项分布。问题是要求r，使
r P(X≤r)
0 2.58225E-80
1 7.77257E-78
2 1.16397E-75
3 1.15628E-73
4 8.57166E-72
5 5.05786E-70
6 2.4745E-68
7 1.0324E-66
8 3.74971E-65
9 1.20437E-63
10 3.46352E-62
11 9.00797E-61
12 2.13639E-59
13 4.65255E-58
14 9.35893E-57
15 1.74781E-55
16 3.04382E-54
17 4.96236E-53
18 7.59965E-52
19 1.09665E-50
20 1.49519E-49
21 1.93092E-48
22 2.3672E-47
23 2.76058E-46
24 3.06808E-45
25 3.25518E-44
26 3.30224E-43
27 3.20773E-42
28 2.9876E-41
29 2.67132E-40
30 2.29567E-39
31 1.8982E-38
32 1.51169E-37
33 1.1606E-36
34 8.59771E-36
35 6.15075E-35
36 4.25262E-34
37 2.84374E-33
38 1.84047E-32
39 1.15362E-31
40 7.00739E-31
41 4.12734E-30
42 2.35855E-29
43 1.30832E-28
44 7.04843E-28
45 3.6897E-27
46 1.87762E-26
47 9.29249E-26
48 4.47448E-25
49 2.09707E-24
50 9.56984E-24
51 4.25379E-23
52 1.84237E-22
53 7.77771E-22
54 3.20137E-21
55 1.28517E-20
56 5.03328E-20
57 1.92367E-19
58 7.17647E-19
59 2.614E-18
60 9.29863E-18
61 3.23113E-17
62 1.09701E-16
63 3.6398E-16
64 1.18046E-15
65 3.74293E-15
66 1.16051E-14
67 3.51915E-14
68 1.0439E-13
69 3.02959E-13
70 8.60372E-13
71 2.39129E-12
72 6.50565E-12
73 1.7327E-11
74 4.51845E-11
75 0.0000000001
76 0.0000000003
77 0.0000000007
78 0.0000000017
79 0.000000004
80 0.0000000092
81 0.0000000207
82 0.0000000459
83 0.0000000996
84 0.0000002116
85 0.0000004411
86 0.0000009014
87 0.000001806
88 0.0000035484
89 0.0000068375
90 0.0000129223
91 0.0000239552
92 0.0000435626
93 0.0000777173
94 0.0001360348
95 0.0002336398
96 0.000393773
97 0.0006513068
98 0.0010573167
99 0.0016847865
100 0.0026354034
101 0.0040472105
102 0.0061026357
103 0.0090361066
104 0.0131401451
105 0.0187685409
106 0.0263350163
107 0.0363057923
108 0.0491847113
109 0.0654901317
110 0.0857236761
111 0.1103320409
112 0.1396643329
113 0.1739286032
114 0.2131521758
115 0.257150792
116 0.30551134
117 0.3575919301
118 0.4125413663
119 0.4693378423
120 0.5268442743
121 0.5838754466
122 0.6392704786
123 0.691963314
124 0.7410441405
125 0.7858058542
126 0.8257716701
127 0.8607024225
128 0.8905845897
129 0.915602218
130 0.9360974288
131 0.9525248879
132 0.9654055093
133 0.9752838805
134 0.9826926589
135 0.9881257631
136 0.9920208194
137 0.994750202
138 0.9966192357
139 0.9978697402
140 0.9986870343
141 0.9992087113
142 0.999533841
143 0.9997316472
144 0.9998490946
145 0.9999171331
146 0.9999555796
147 0.9999767643
148 0.999988144
149 0.9999941011
150 0.9999971392
151 0.9999986482
152 0.9999993779
153 0.9999997213
154 0.9999998785
155 0.9999999485
156 0.9999999788
157 0.9999999915
158 0.9999999967
159 0.9999999988
160 0.9999999995
161 0.9999999998
162 0.9999999999
163 1
164 1
165 1
166 1
167 1
168 1
169 1
170 1
171 1
172 1
173 1
174 1
175 1
176 1
177 1
178 1
179 1
180 1
181 1
182 1
183 1
184 1
185 1
186 1
187 1
188 1
189 1
190 1
191 1
192 1
193 1
194 1
195 1
196 1
197 1
198 1
199 1
200 1对于基本初等函数，有下面的求导公式：
（1）(x)' x 1（ 为常数）；
（2）(a x)' a xln a（a > 0，且a 1）；
（3）(loga x)' loga e （a > 0，且a 1）；
（4）(ex)' ex；
（5）(ln x)' ；
（6）(sin x)' cos x；
（7）(cos x)' sin x．证明
●
例1 求证：若事件A与B相互独立，则事件A与也相互独立．
●
证　因为
P(AB) + P(A) = P(A)，
所以
P(A) = P(A) P(AB)．
因为A，B相互独立，所以
P(AB) = P(A)P(B)，
于是
P(A) = P(A) P(A)P(B)
　　　　　　　　　 = P(A)(1 P(B))
　　　　　　　　　 = P(A)P()．
　　因此，事件A与相互独立．向量的数量积
问题1 　物理学中，向量的运算比较多，比如求位移、速度、合力的大小等，用到了向量的加法，减法和数乘运算，那么，物理中有没有其它的向量运算呢？
二、学生活动
问题2 　初中物理中的“功”是怎样计算的？
问题３　当和存在一个夹角时，力对物体所做的功是多少？
三、建构数学
问题4 从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？
（1）初步认识
（2）两个向量的夹角
问题５　在上面的向量的数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？
（3）形式化表述
问题６　在进一步弄清了“向量的夹角”的意义以后，应该怎样更精确地表述向量的数量积的概念？
学生思考：对前面的定义加上“非零”的限制．
问题７　零向量有没有数量积？应该如何定义？
数学理论（数量积的定义）
问题８　向量的数量积有什么样的性质？
（１）向量的数量积的正负如何确定？
（２）单位向量与任何向量的数量积有什么规律？
（３）互相垂直的两个向量的数量积有什么特点？
（４）共线向量的数量积有什么规律？
（５）任何求两个向量的夹角？
（６）比较两个向量的数量积的模与两个向量模的乘积的大小关系．
（７）两个相等向量的数量积等于什么？
问题９　向量的数量积满足什么样的运算律？
(共21张PPT)
第一课时
圆的方程
一石激起千层浪
奥运五环
福建土楼
乐在其中
小憩片刻
创设情境 引入新课
祥子
有必要设置如此多的场景吗？
赵州桥的跨度约为37.4 m，圆拱高7.2m，如何写出这个圆拱所在的圆的方程
写出圆的方程，就是要建立适当的直角坐标系，并写出圆上任意一点P(x，y)所满足的关系式．
分析：
为什么要写出圆的方程？
赵州桥的跨度约为37.4 m，圆拱高约7.2m，如何写出这个圆拱所在的圆的方程
写出圆的方程，就是要建立适当的直角坐标系，并写出圆上任意一点P(x，y)所满足的关系式．
分析：
x
y
O
O1(0，b)
B(18.7，0)
(－18.7，0)
A
C (0，7.2)
第一步 以圆拱所对的弦所在的直线为x轴，弦的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
第二步 根据圆的定义，设出圆的方程为
(x－0)2＋(y－b)2＝r2．
第三步 根据已知条件求出b，r，得到
圆的方程．
为什么要建立
这样的坐标系？
一般地，设点P(x，y)是以C(a，b)为圆心，r为半径的圆上的任意一点．由两点间的距离公式得到P点的轨迹方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反过来，坐标满足上述方程的解的点在该圆上，得到以点(a，b)为圆心、r为半径的圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
特别地，当圆心为原点时,圆的方程为
x2＋y2＝r2．
圆的标准方程
特点：
1.是关于x、y的二元二次方程,无xy项；
2. 明确给出了圆心坐标和半径。
3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r .
4.若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r2
例1 求圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程．
(x-3)2+(y-4)2=5
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
(2) 经过点P(5,1),圆心在C(8,-3)
5
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习：
写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
例2 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道 浅谈命题之否定
夏春盛
在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫做判断．表达判断的语句叫命题．在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句叫数学命题．命题按能否分解可分为简单命题和复合命题，按其所判断的是事物的性质或存在的关系可分为性质命题和关系命题．在数学证明中，准确无误地写出一个命题的否定式是十分重要的．
1 简单命题的否定
1．1 性质命题的否定
每一个性质命题都由主项、谓项、量项、联项四部分组成，其中立项表示被判断的对象；谓项表示主项的性质；量项表示主项的数量，分为全称量项和特称量项，全称量项常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，特称量项常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；联项表示主项与谓项的联系，分为肯定联项与否定联项，前者常用“是”、“有”表示，后者常用“不是”。“没有”表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为主项，“奇数”为谓项，“至少有一个”为量项，“不是”为联项．
性质命题除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的主项的外延不是一类事物，而是单独的个体．单称命题的否定极为简单，只要否定“联项”即可．例如“2是偶数”的否定为“2不是偶数”；“小王不是团员”的否定为“小王是团员”．
而全称命题和特称命题的否定，一般要对“量项”和“联项”同时进行否定，全称与特称互为否定，肯定与否定互为否定．例如，命题“一切矩形是平行四边形”的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”；命题“至少有一个质数不是奇数”的否定为“所有的质数都是奇数”．特别要注意的是，由于全称量项表示主项的全部外延，往往可以省略不写，从而在作命题否定时易将全称命题误当为单称命题处理而出错，如将命题p“实数的绝对值是正数”否定p写成“实数的绝对值不是正数”这就错了．很显然，这里的“p”与“p”都是假命题，“p”复合命题的真值表相矛盾．究其原因，命题p为全称命题而不是单称命题，省略了量词“所有”，正确的否定形式是“存在一个实数的绝对值不是正数”．事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值（都）是正数”故其否定形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数”．
另外，我们常用“都是”表示全称肯定，用“不都是”表示特称否定，这两者互为否定；而用“都不是”表示全称否定，它的否定形式应特称肯定，可用“至少有一个是”来表达．
1．2 关系命题的否定
关系命题由主项、谓项和量项三部分组成，主项是存在某种关系的对象，谓项是对象之间的某种关系，量项表示主项的数量（用全称量词和特称量词表示）．关系命题的否定与性质命题的否定相似，需要对“谓项”和“量项”同时进行否定，例如命题“对任意实数x，都有x2 4 0”的否定是“存在一个实数x，使得x2 4≤0”；命题“至少有一个锐角，使sin 0”的否定是“对所有的锐角，都有sin 0”．和性质命题类似，作命题否定时，不能把省略量词的全称命题当作单称命题去做，例如命题“自然数的平方大于零”的否定不是“自然数的平方不大于零”，而是“存在一个自然数的平方不大于零”．
2 复合命题的否定
复合命题有五种基本形式，分别用五个逻辑联结词“非”、“且”、“或”、“若…则…”、“等值”（、∧、∨、、）由命题p或q组成．
2．1 非命题p的否定
“p”是对命题“p”的否定，命题“p”与命题“p”的真假正好相反．对“p”的否定，就是对命题“p”的否定之否定，因此，命题“p”与命题“(p )”具有相同的真值，逻辑学上称为逻辑等价或等价命题．故“p”可作为“p”的否定（有特殊要求的除外）．例如命题“不是有理数”的否定是“是有理数”，命题“不是每个人都会开车”的否定是“并非不是每个人都会开车”即“每个人都会开车”．
2．2 联言命题(p∧q)的否定
用联结词“且（∧）”联结两个命题p、q构成的复合命题“p∧q”称为联言命题．当且仅当p、q、p、q皆真时为真．联言命题(p∧q)的否定可根据德摩根律“(p∧q) (p)∨(q)”来写，例如命题“2是质数且是偶数”的否定为“2不是质数或不是偶数”；命题“某班至少有一个同学既不会唱歌又不会跳舞”的否定为“某班所有的同学或者会唱歌或者会跳舞”，即“某班没有一个同学既不会唱歌又不会跳舞．”
2．3 选言命题（p∨q）的否定
用联结词“或（∨）”联结两个命题p、q，构成的复合命题“p∨q”称为选言命题．当且仅当p、q皆假时p∨q为假．与联言命题类似，选言命题的否定可根据德摩根律“(p∨q) (p)∧(q)”来写，例如，命题“123是2的倍数或是3的倍数”的否定为“123不是2的倍数且不是3的倍数”；命题“全班同学都是三好生或共青团员”的否定是“全班同学中至少有一个同学不是三好生且不是共青团员”．
必须说明的是，日常生活中的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的．而在命题中的“或”是可兼的．
2．4 假言命题（pq）的否定
用联结词“若…则…”联结两个命题p、q，构成的复合命题“若p则q(pq)”称为p、q的蕴含式或称假言命题．当且仅当p真q假时pq为假．由命题演算定律：(pq) p∧(q)，可写出假言命题（pq）的否定．例如，命题“若x y 1，则x2 y2 1”（省略量词的全称命题）的否定是“存在实数x和y，使x y 1且x2 y2≥1；命题“若a和b是偶数，则a b是偶数”的否定是“存在数a和b是偶数，且a b不是偶数”．
必须注意，假言命题的否命题与该命题的否定是两个不同的概念．首先，对象不同，否命题仅针对假言命题而言，而任一命题都可以写出它的否定．其次，命题的否定式是原命题的矛盾命题，两者一真一假，而假言命题的否命题则不然，与原命题的真假可能相反也可能相同．如上述命题“若a和b是偶数，则a b是偶数”的否命题是“若a或b不都是偶数，则a b不是偶数”，仍是全称命题，而其否定式“存在数a和b是偶数，且a b不是偶数”是一个特称命题．
2．5 等值式命题（pq）的否定
用联结词“等值”联结两个命题p、q，构成的复合命题“p等值q(pq)”称为p、q的等值式．当且仅当p、q具有相同的真假值时pq为真．等值式“pq”的语言表达也有多种形式，如p当且仅当q；p是q的充分必要条件；若p则q并且若q则p．等值式命题（pq）的否定比较简单，只要否定“联项”即可．例如命题b2 4ac≥0是实数一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有实根的充分必要条件”否定可写成“b2 4ac≥0不是实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有实根的充分必要条件”；命题“a b等价于a2 b2的否定为“a b不等价于a2 b2”．
在复合命题五种基本形式的基础上，可以进一步运用逻辑联结词构成新的更复杂的命题．依据上述五种基本形式的命题否定之法则可写出更复杂命题的否定式．
PAGE
1三个事件的独立性
●
定义 对于三个事件A，B，C，若下列四个等式同时成立，则称它们相互独立。
P(AB) P(A)P(B)
P(BC) P(B)P(C) （1）
P(CA) P(C)P(A)
P(ABC) P(A)P(B)P(C) （2）
●
按两个事件独立性的定义，我们知道若（1）成立，则A与B，B与C，C与A都相互独立，也即A，B，C两两独立。
但要注意，三个事件A，B，C两两独立，不能保证它们相互独立，即由（1）不能推出（2）。
●
例1 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染成红、白、黑三种颜色。现在以A，B，C分别记设一次四面体出现红、白、黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色，因此
P(A) ，
同理
P(B) P(C) 。
易知，
P(AB) P(BC) P(CA) 。
所以（1）成立，也即A，B，C两两独立，但是
P(ABC) P(A)P(B)P(C)，
因此，（2）不成立，从而A，B，C不相互独立。
下面的例子说明由（2）不能推出（1）。
●
例2 若有一个均匀正八面体，其第1，2，3，4面染成红色，第1，2，3，5面染成白色，第1，6，7，8面染成黑色。现在以A，B，C分别记设一次正八面体出现红、白、黑的事件，则
P(A) P(B) P(C) ，
P(ABC) P(A)P(B)P(C)，
但是
P(AB) P(A)P(B)。《平面向量的数量积》（第一课时）
苏州市陆慕高级中学　　蒋智东
一、目标定位
在《课程标准》中，对平面向量运算的总的要求是：了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，发展运算能力．
本节内容的具体要求是：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
根据《课程标准》的要求，本节课的目标应定位如下：
1．正确理解平面向量数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件求向量的夹角．
２．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律．
３．数量积是物理学中的功的概念的抽象，使学生经历概念的抽象过程，经历性质和运算律的发现过程．
二、多向对比
1． 与原大纲相比，《标准》突出了向量的几何直观作用，强调向量概念的物理与几何背景，强调理解向量运算及其性质的几何意义．因此，教学过程中要充分利用向量的物理背景，突出向量的数学模型思想；充分利用向量的图形直观，突出数形结合思想；充分利用类比与转化，突出理解向量表示的意义．
普通高中数学课程标准 原数学教学大纲
课题 平面向量的数量积（第一课时） 平面向量的数量积及运算律
体系地位 必修4第二章第4节 必修第一册（下）第五章第6节
教学目标 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系． 掌握平面向量的数量积及其几何意义．
2．与旧教材相比，新教材更加强调向量知识的物理背景，使学生感到数学是自然的，水到渠成的，使教材具有“亲和力”．知识的呈现方式重在知识的产生过程，给学生以足够的探究空间．
内容 新教材（苏教版） 旧教材（人教Ａ）
引入方式 从实际和数学内部的需要引入 从实际需要引入
内容次序安排 １．提出问题：“一个物体在力的作用下发生了位移，那么该力对物体所做的功为多少？”回顾探讨：W=，指出“功”是两个向量的一种新运算．２．从求“功”运算中抽象出向量的数量积定义．３．定义向量的夹角与向量垂直．４．例１：已知向量和的夹角为，，分别在下列条件下求：（１）；（２）∥；（３）．５．给出向量的数量积满足的运算律． １．回顾：一个物体在力的作用下发生了位移，那么该力对物体所做的功为W=，介绍向量夹角的概念，从力所做的功出发，引入向量数量积的概念．２．例１：已知，和的夹角为，求．３．给出“在方向上的投影”的定义．４．根据数量积的定义，得到数量积运算的性质．５．给出向量的数量积满足的运算律．
阅读拓展 链接：在方向上的投影 无
３．不同的版本内容处理的差异（说明：这里选择人教Ａ与苏教版加以对比）．
（１）增加了对平面向量的数量积的物理意义的理解
实际上是要求学生从原来的用“功”、弃“功”，到现在的说“功”、算“功”、用“功”、弃“功”，增加了说“功”、算“功”的环节，目的是让学生充分经历、体验从“功”抽象出向量“乘法”、“发现定义”的过程，同时，也对平面向量的数量积的物理意义有了深刻的理解．
（2）老教材中的“向量的夹角”安排在“向量的数量积”之前，而新教材对这一顺序进行了调整，将“向量的夹角”放在“向量的数量积”的定义之后，这样安排，可以保证学生首先集中精力从求功运算中抽象出向量的数量积运算，符合“发现”的自然顺序．
（３）老教材中明确给出了向量数量积的五条运算性质，而新教材中没有设置这段内容，只是作为向量数量积定义的特殊情形给出了与共线时的数量积的表达式．这样设计，实际上是给学生探究活动留下了空间．
三、案例聚焦
1． 如何处理知识体系的内在联系？
物理学中的“功”是平面向量的数量积的原型。在教学设计中，我们需要用“功”来引入向量数量积的定义和运算，学生现有的对“功”的认识，维持在初中水平，即力对物体所作的功等于力的大小与物体在力的方向上产生的距离大小的乘积．用力和位移来表示力对物体所作的功，特别是当力与位移存在一个夹角时的情形，要到高一下学期才能在物理课程中系统学习，这就为课题的引入带来了困难，如何解决这个问题？
2． 如何处理初、高中数学的衔接？
初、高中数学的衔接，不仅是知识的衔接，也是数学思想方法的衔接．对刚刚进入高中学习的学生来说，他们的分析、总结、概括能力还比较弱，这方面的思维习惯尚不健全，因此，怎样有效、合理地引导学生通过讨论概括出求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义是本课教学的关键．
3． 如何防止发生知识的负迁移？
两个向量的数量积与实数的乘法有很大的区别，给理解和掌握这一概念带来了前所未有的困难，如何防止负迁移的产生，逐步形成新的解决问题的思路和视角？
四、教学示例
（苏教版）
一、情景创设
问题1 　物理学中，向量的运算比较多，比如求位移、速度、合力的大小等，用到了向量的加法，减法和数乘运算，那么，物理中有没有其它的向量运算呢？
二、学生活动
问题2 　初中物理中的“功”是怎样计算的？
问题３　当和存在一个夹角时，力对物体所做的功是多少？
通过对上述公式的分析，可以得到如下结论：
（1）功W是两个向量和的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量．
（２）功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的夹角有关．
由此可见，“求功运算”作为一种新的向量运算，不同于我们以前学习过的其他数学运算．
三、建构数学
问题4 从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？
教师指出数学抽象的方向：舍弃抽象原型的物理意义，抽取其中的数量关系．
平面向量的数量积
（1）最初的认识
学生讨论：把力和位移抽象地看成两个向量和，把力和位移的夹角看作向量和的夹角，就可以得到一种新的运算，它是从向量，得到一个数量（即）的运算．
（2）进一步表述
引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：
已知两个向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即=．
评注：上述设计使学生领悟到数学的发展不仅产生于内部需求，更重要的是来源于实践．此处从数学与其他学科的联系与数学内部需要引出学习本课的必要性和重要性，激发学生的探究兴趣和积极性．
两个向量的夹角
问题５　在上面的向量的数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？
从实际背景中的“力”和“位移”的夹角出发，展开讨论，抽象出两个向量的夹角的定义：
对于两个非零向量和，作= ， =，则 （）叫做向量和的夹角．
评注：明确夹角概念，强调共起点．教学过程中，动员学生就力对物体做功的情形进行讨论，画出和所成角（零度角，锐角，直角，钝角，平角）的不同图形，并进行展示交流，教师指导学生进行归纳，并用准备好的课件演示抽象过程，强化学生对向量夹角的认识．
特别地，当与的夹角分别等于，和时，两个向量分别是同向，反向和垂直。向量和垂直，记作．
在讨论中应注意上述定义中对向量的“非零”限制．
平面向量的数量积（形式化的表述）
（３）表述的精确化
问题６　在进一步弄清了“向量的夹角”的意义以后，应该怎样更精确地表述向量的数量积的概念？
学生思考：对前面的定义加上“非零”的限制．
问题７　零向量有没有数量积？应该如何定义？
教师：（重放问题３中的图片）物体在方向上的位移为零，因此，对物体所做的功为零．受此启发我们规定：零向量与任何向量的数量积为０．
评注：至此，“向量的数量积运算”、“两个向量的夹角极其范围”、“零向量的数量积”均从“求功运算”中抽象获得．通过讨论，整理得到“数量积”的完整定义．
向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即=．同时规定：0与任何向量的数量积为０，即0 =０．
（４）对定义的理解
①尽管向量的数量积是从求功运算中抽象出来的，但是，它已经是一种抽象的数学运算了．一般地，它已经不具有“求功运算”的具体意义了。在引入向量的数量积以后，物理学中功的概念就可以用数学语言表述为：功就是力与在其作用下物体产生的位移的数量积，即Ｗ＝ ．
②两个向量数量积的结果是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算是不同的．
③注意；0 =０，等式右边的零是一个实数，而不是零向量．
（５）练习．
（投影）判断下列说法是否正确：
①　向量的数量积可以是任意实数．
②　若０，则对任意向量，有＝０．
③　若０，则对任意非零向量，有０．
④　如果０，那么和的夹角为锐角．
⑤　若０，＝０，则＝０．
⑥　若是三个非零向量，．
评注：通过练习深化对数量积概念的理解，如⑥使学生体会到向量不能随便约分．
（６）数量积的运算性质
问题８　向量的数量积有什么样的性质？
教师把需要总结的数量积的性质，设计成七个讨论题，调动全体学生参与到探索中来，发动学生进行合作讨论，让他们总结规律。这七个讨论题是：
（１）向量的数量积的正负如何确定？
（２）单位向量与任何向量的数量积有什么规律？
（３）互相垂直的两个向量的数量积有什么特点？
（４）共线向量的数量积有什么规律？
（５）任何求两个向量的夹角？
（６）比较两个向量的数量积的模与两个向量模的乘积的大小关系．
（７）两个相等向量的数量积等于什么？
教师指出：从向量数量积的定义入手，并与字母的乘法运算相比较．
在小组合作讨论的基础上，再由教师归纳结论．
评注：由向量数量积的定义入手，研究其性质，很自然地教给学生研究问题的出发点．实际授课时，学生可以得到：
当与同向时，＝；
当与反向时，＝－．
特别地．
此时可能仍有学生不知如何思考，可提醒学生有序地思考。如对角从变到顺次考虑．教给结论不如授予方法，引导学生学会怎样思考，不仅“发现”了数量积的所有性质，更重要的是让学生感悟到了应该如何去研究．
问题９　向量的数量积满足什么样的运算律？
学生类比猜想，再进行验证，教师明确给出结论．
评注：对于前两个运算律，学生自己能够证明，而对于分配律，学生证明有困难，教师可以指导学生用“特殊化”的思想，如：分别令，和来进行验证，并要求学生举出反例．
四、数学运用
例１已知正的边长为，设，＝，＝，求。
小结强调：求向量的夹角，首先要使其共起点．
例２判断正误：
（１）；………（　　　）
（２）；…………（　　　）
（３）；………（　　　）
（４）若０，且，则．………（　　　）
小结强调：向量的数量积与实数的乘法有类似之处，但又很不相同，不能盲目照搬．如数量积不满足结合律．
五、资源点击
课后作业建议
1、课本练习与习题；
2、阅读链接在方向上的投影；
六、案例点评
1． 关注问题性、启发性，加强联系性
本课通过物理学中的求功运算来创设教学情景，使学生自然提出问题：求功运算与数学知识有怎样的联系？进而启发学生主动探索求功运算的特点，从中抽象出向量积的定义及其两个非零向量夹角的定义．教学过程中，由学生所熟悉的初中学过的“功”W=FS出发，引导他们分析得到力与位移之间的夹角为时的功W=，通过分析求功运算的特点，舍弃各个量的物理含义，从而抽象出向量数量积的定义，并通过与的夹角及其范围，得到两个非零向量夹角的定义及其范围．这样设计的目的，是遵循认知规律，以问题引导学习，体现数学知识的形成与学生认知的过程性，加强知识间的联系性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识．
2． 讲背景、讲方法、讲能力提高
在“求功运算”这个真实背景下，学生能够真切地认识到两个向量“乘法”的存在，引入这个背景的意义，在于通过物理知识揭示数学知识中向量数量积的运算，激发学生的好奇心和求知欲；在于培养锻炼学生的抽象思维能力．在课程内容的设计与实施过程中，始终围绕“发现向量的新运算”这一目标，让学生经历由求功运算抽象出向量的数量积运算，弄清两个非零向量夹角，再到归纳并完善定义的全过程．使学生明确自己是在探索知识而不是要接受知识，这一过程的主要目的是使学生的思维水平能够得到有效提升．
3． 关注对学生思维能力和创新意识的培养
通过教师教学方法上的设计和教师指导下学生的合作交流与互动讨论，从实际事例的分析中，抽象出概念、推导出运算律和性质，而后举例说明这些概念、运算律和性质的应用．在掌握知识的同时，切实有效地训练思维，发展能力．
本案例运用了“以问题为中心”的讨论式教学模式．教师以建构主义理论为依据设置问题情境，让问题处于学生思维水平的最近发展区。教师的作用不仅是问题的提供者，还是讨论学习的引导者、组织者．教师立足于学生发展的角度，还课堂于学生，还问题的探索权于学生，使学生养成主动参与、乐于探究、勤于动手、交流合作的学习方式．
设计的开始是创设情境，引导学生从已有的物理知识背景——功的概念出发，提出研究课题——向量数量积的概念．使学生领悟到数学来源于实践，激发学生兴趣，使数学学习真正成为学生自觉的兴趣和需要，使学生积极地参与到课堂中来．
参考资料
1． 江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4教学参考书》．
2． 人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4教学参考书》．
3．高等教育出版社出版《向量及其应用》严士键主编．
- 5 -折 纸
（1）纸折椭圆； （2）纸折双曲线；
（3）纸折抛物线。
O
l
F
F
C
D
A
B
l(共18张PPT)
苏州大学数学科学学院 徐稼红
uuxjh@public1.sz.
定位
低起点——以初中数学知识为基础；
低维度——以二阶矩阵为研究对象；
形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。
意图
在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和工作打下基础。
通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，矩阵的简单应用。
2．1 二阶矩阵与平面向量； ★
2．2 几种常见的平面变换； ★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵； ★ ★ ★
2．5 特征值与特征向量； ★ ★ ★
2．6 矩阵的简单应用。 ★ ★
主要数学思想
（1）几何变换； （2）代数运算；
（3）数形结合的思想；（4）算法思想。
重点
通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想。
难点
切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。
主线
通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩阵的意义和作用。
技术与内容的整合
（1）几何变换； （2）变换与矩阵的乘法；
（3）逆矩阵。 几何画板、Excel
教学要点
从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循从具体到一般，从直观到抽象的教学原则。
2．1　二阶矩阵与平面向量
　 矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向量）、生活实例等引出。
二阶矩阵与二维（平面）向量的乘法——从实例到点变换。
案例1
案例2
2．2　几种常见的平面变换（一）
　给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换：
Excel-1
恒等变换——
伸压变换——
反射变换——
2．2　几种常见的平面变换（二）
Excel-2
旋转变换——
投影变换——
切变变换——
矩阵变换的基本性质——线性
矩阵的变换是一种特殊的变换——线性变换 ，即把“直线变成直线”，确切地说：
可逆矩阵把直线变成直线，有的矩阵可能把直线变成点。
（1）A( ) = A ；（2） A( + ) = A + A 。
A( + ) = A + A 。
2．3　变换的复合与矩阵乘法
连续施行两次变换——矩阵的乘法 ；
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
交
换
律
验
证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4　逆变换与逆矩阵（一）
反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
互逆
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵(变换)的逆矩阵(变换) 。
2．4　逆变换与逆矩阵（二）
旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
切变矩阵的逆矩阵是切变矩阵；
互逆
互逆
投影矩阵无逆矩阵。
2．4　逆变换与逆矩阵（三）
关于矩阵乘积的逆矩阵；
（1）前提；（2）结论——(AB)-1 = B-1A-1；
（3）描述1（形象）、描述2（几何）。
先穿袜子后穿鞋 先脱鞋子后脱袜子
关于逆矩阵的计算；
（1）用几何变换的观点；
（2）用方程组；
（3）用技术。
Excel-3
初等变换法
Excel-4
2．4　逆变换与逆矩阵（四）
二阶矩阵与二元一次方程组。
（1）二阶行列式；
Excel-5
已知变换矩阵及变换结果，问该结果是由哪一个向量变过来的。
（2）二元一次方程组的新看法：
（3）了解用逆矩阵的方法解二元一次方程组，不必作大量练习。
2．5　特征值与循征向量（一）
矩阵的特征向量是在变换下“基本”不变的量；
特征向量的几何意义。
A =
A的一个特征值
A的属于 的一个特征向量
2．5　特征值与循征向量（二）
特征多项式：
学会从几何变换的角度进行解释。
伸压、反射、旋转、投影、切变诱导公式
角α的三角函数与-α的三角函数有什么关系？
α的终边、180°+α的终边与单位圆的交点有什么关系？你能由此推出α与180°+α的三角函数的关系吗？
我们可以通过查表得到锐角三角函数的值，如何求任意角的三角函数的值呢？能不能将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
由三角函数的定义知道，终边相同的角的三角函数值相等。除此以外，还有一些角的终边具有某些特殊关系，那么它们的三角函数值能有什么样的特殊关系呢？
向量的加法
●向量OA、AB、OB之间有什么关系？
为什么向量OB是向量OA、AB的和？
OB的长度是OA、AB长度的和吗？
你为什么说向量OB是向量OA、AB的和呢？
什么叫做向量的和？
向量怎样做加法？
你是从“累计”的意义上以位移为原型定义“和”的概念的。但是这样的定义是不是适用于其它的向量（既具有大小又具有方向的量）呢？
（仿此对力进行研究）(共10张PPT)
苏州大学数学科学学院 徐稼红
uuxjh@public1.sz.
框　图
流 程 图
结 构 图
工序流程图
程序流程图
1.进一步认识程序框图，了解工序流程图；
2.绘制简单的流程图，体会其在解决实际问题中的作用。
3.了解结构图；
4.绘制简单的结构图，体会其在揭示事物联系中的作用。
1.用“流程图”“结构图”等刻画数学问题以及其他问题的解决过程；
2.体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性；
3.提高抽象概括能力和逻辑思维能力，能清晰地表达和交流思想。
三个层次
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。
框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具。并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。
学习本章的价值
（1）流程图（动态）：工序流程图、程序流程图
框图的分类
（2）结构图（静态）：知识结构图、组织结构图其他结构图 。
注意：算法流程图只有一个终点，框图中的流程图可以有多个终点。
1．从实例分析入手
如：数学建模的过程、四种命题之间的关系等。
2．将构造框图与框图解读结构起来
3．从学生熟悉的问题开始，充分利用算法中已有的知识，同时注意两者的区别与联系。
4．让学生在运用框图的过程中理解流程图与结构图的特征，掌握框图的用法，体验框图在表示解决问题过程的优越性。1．几个教案
6徐瑢.ppt ( 6徐瑢.ppt )
数列new.ppt ( 数列new.ppt )
数列（杨智慧）1.ppt ( 数列（杨智慧）1.ppt )
2．评析
●以上三个教案有什么不同？如何对它们做出评价？
● 本节课的“生长点”在哪里？中心问题是什么？
● 怎样才能使学生掌握学习（建构）的主动权？
3．课的展开程序
新旧教材的不问编排
旧人教版教材
苏教版教材
●
《数列》的教学设计
教案2、3的展开程序
1．引入
2． 数列的定义：按一定次序排列的一列数
3．数列的一般形式：，简记为：
4．数列的函数观点：特殊的函数
5．数列的通项公式
6．例子
4、数列的通项公式
例1、
例2、
教案1。的展开程序
1． 引入
2． 数列的定义
3． 数列的通项公式
4． 数列是特殊的函数
5． 数列的图象
6． 例题和练习
的精确到1.0.1,0
001,…的不足近似值排列成
列数
图
幂,…排列成一列数
无穷多个1排列成一列数
像上面的例子中,按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中
的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项
(或首项),第2项
第n项
数列的一般形式可以写成
其中a。是数列的第n项,有时我们把上面的数列简记作{an)·如果
数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么
这个公式就叫做这个数列的通项公式.例如,数列①的通项公式是
.=n+3(n≤7),数列2的通项公式是a=,如果已知一个数列
的通项公式,那么只要依次用
3,…代替公式中的n,就可以
求出这个数列的各项
对于上面的数列①,每一项的序号与这一项有下面的对应关系
序号123456
这就是说,上面可以看成是一个序号集合到另
的集合的
映射.从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整
40/5烟日表形G心圍
148x1793,24位,JPG,263.3KB
女50%
圆和啼喇回回M思
数集N(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数当自变量从小到大依c
次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的1
解析式
数列可以用图象来表示.在画图时,为方便起见,在直角坐标
系两条坐标轴上取的单位长度可以不同.图3-2(1),(2)分别是
数列①,②的图象表示.从图上看,它们都是一群孤立的点,例如,
表示数列①的各点的坐标依次是(1,4).(2,5),(3,6),(4,7),(5,8),
(6,9),(7,10).
项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列
图32(1)
上面的数列①是有穷数列,数列②,③.①,⑤都是无穷数列
例1根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项
(1)
(2)an=(-1)“·n
解:(1)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列
{an}的前5项为(共30张PPT)
案例分析:导数
实际背景
平均变化率
瞬时变化率
导
数
导 言
数学刻画
平均变化率
1。导 数 的 概 念
教材展开线索
世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所感觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼．例如
苏州市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”
但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹．
这是什么原因呢？
原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”．
● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？
● 这样的数学模型有哪些应用？
引言：背景与问题
20
30
34
2
10
20
30
A(1, 3.5)
B(32, 18.6)
0
C(34, 33.4)
T(℃)
t(天)
图4-1-1
2
10
● 如何量化陡峭程度呢？
容易看出B，C之间的曲线较A，B之间的曲线更加“陡峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢．
在前面的案例中， “气温陡增”的数学意义是什么呢？为了弄清这个问题，我们先来观察下面的气温曲线图（以3月18日作为第一天）．
从陡峭程度到平均变化率
数学地思考，用数量来刻划
形式化的定义，思考的过程被固定下来，形成数学概念
如何刻画变化的“快”与慢”？
直观描述
曲线的“陡峭”程度不同
如何刻画
“陡峭”程度
数学对象：斜率
平均变化率
(1)从几何直观到数量刻画
例1 婴儿从出生到第24个月的体重变化(如图)，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．
7.5
22.5
28.5
12
24
t(月)
W(kg)
图4-1-2
甲
乙
图4-1-3
例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图) ，t秒钟后容器甲中水的体积为
V (t)=5e 0.1t(单位cm3) ，
计算第一个10 秒内V 的平均变化率．
例3 已知函数f(x) = x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率．
（1）(1，3)； （2）(1，2)；
（3）(1，1.1)； （4）(1，1.001)．
例4 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 2x，分别计算在下列区间上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
（1）( 3， 1)； （2）(0，5)．
思 考：你能从例4中发现一次函数y = kx + b的平均变化率有什么特点？
例3 已知函数f(x) = x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率．
(1) (1，3)；(2) (1，2)；(3) (1，1.1)；(4) (1，1.001)．
例4 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 2x，分别计算在下列区间上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
（1）( 3， 1)； （2）(0，5)．
为研究瞬时变化率辅垫，知识增长点
案例1：曲线上一点处的切线
放大：局部以直代曲
● 怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线L呢？
●怎样计算曲线上一点处切线的斜率？
合情推理：割线→切线
想象、逼近、猜想
计算机验证
割线斜率
切线斜率
逼近(极限思想)
极限思想的渗透
(2)用物理模型说明
瞬时速度
平均速度
瞬时速度
逼近(极限思想)
案例2：瞬时速度与瞬时加速度
用计算机探索
平均（加）速度→瞬时（加）速度
反复、相同的过程，相似的结果
抽象概括：导数—瞬时变化率
函数在某一点处的瞬时变化率
导数
定义；
几何解释
导数定义
特殊化
x=1、x=2、
……
处的导数
x=a
……
处的导数
导数是x的函数
导函数
导函数的概念
导数的运算
直接用定义求导数
用定义求导数,可以让学生感受到导数是一个过程,
它当然是意义建构的一个重要环节
(2)给出一些特殊函数的导数，建立导数运算的法则
返璞归真：导数是什么？
导数是曲线的陡峭程度
导数是切线的斜率
导数是即时速度
导数是瞬时变化率
导数是
导数是一个无限逼近的过程，也是一个数学对象，一个数学概念。
导数不仅是一种规则，更是一个过程，一种重要的思想、一种方法
1.不讲极限，但突出了无限逼近的过程
通常，导数、定积分概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数、定积分。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义。因此也影响了对导数、定积分本质的理解。
不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的方法定义导数、定积分。
⑴ 通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，学生容易理解；
⑵ 所涉及到的数列或函数都很简单，学生容易观察出其变化趋势。
教材特点
2.强调几何意义、物理意义
从几何直观、物理意义上理解概念，借助几何直观、物理意义分析问题、解决问题。
突出了“数形结合”的思想方法.网线交点形成圆锥曲线
（1）椭圆；
（2）双曲线；
（3）抛物线。
B'
B
A'
A
H
O
B
A
D
C
几何画板(共43张PPT)
课题 椭圆的标准方程
教案1：椭圆的标准方程
●符合什么条件的曲线叫椭圆？
●符合什么条件的曲线叫双曲线？
●符合什么条件的曲线叫抛物线？
问题1：点P到两点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离和为8，则P的轨迹为（ ）
A．椭圆 　　 B．线段F1F2
C．直线F1F2　　　　D．无轨迹
问题２：点P到两点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离和为10，则P的轨迹为（ ）
A．椭圆 　　 B．线段F1F2
C．直线F1F2　　　　D．无轨迹
问题3：点P到两点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离和为7，则P的轨迹为（ ）
A．椭圆 　　 B．线段F1F2
C．直线F1F2　　　　D．无轨迹
●如何找椭圆的标准方程？
●如何建立直角坐标系
（1）关键是如何建立坐标系，可使椭圆方程简洁
（2）椭圆标准方程的推导（教师详细讲解，建立坐标系，设点，根据椭圆定义，化简，引入b，得到标准方程
（3）如果焦点在y轴上，方程形式是否类似呢？大胆猜想一下。
怎么想到提
这个问题
4．椭圆焦点在x轴上的标准方程是，是否焦点落在x轴的椭圆的方程就是标准方程呢？，的焦点分别落在哪轴上？如何判断？
4．椭圆焦点在x轴上的标准方程是
，是否焦点落在x轴的椭圆的方程就是标准方程呢？
，
的焦点分别落在哪轴上？如何判断？
“神舟”六号载人飞船的成功发射，
让全球华人为之振奋,特别是飞船着
落的准确度更是让世界惊叹！
我们知道：“神舟”六号载人飞船升
空后有一个变轨的过程，你知道变轨
前后飞行轨道的几何形状吗？
拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，
无论从力学原理，还是从施工角度考虑
都是优越于传统的圆弧型和抛物线型的。
中国水利水电科学研究院研究表明：
生活中有椭圆，
生活中用椭圆。
1、取一条细线，一张纸板；
2、在纸板上取两点分别标上F1、F2 ；
3、把细线的两端分别固定在F1、F2 两点；
4、用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移
动画出图形。
2、当线长等于|F1F2|时，笔尖的
轨迹是 .
1、当线长大于|F1F2|时，笔尖的
轨迹是 .
线段F1F2
椭 圆
F1
F2
M
两焦点之间的距离叫做焦距.
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
平面内与两个定点F1、F2的
距离的和等于常数（大于
|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆
我们通常把椭圆上的点到两个
焦点的距离之和记为2a ；
焦距记为2c, 即:|F1F2|＝2c.
说明
注意
a
∧
c
∧
0
M为椭圆上的点
求曲线方程的一般步骤？
设点
建系
找关系
代坐标
化简、检验
F1
F2
M
x
O
y
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。
设M(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵|F1F2|＝2c(c>0),
则：F1(-c,0)、F2(c,0)
∵
∴
对于含有两个
根式的方程，
可以采用移项
两边平方或者
分子有理化进
行化简。
∴
∴
∴
∴
令
∴
则，椭圆的方程为：
这样设法不仅可以使方程简单整齐，而且 b 还有明确的意义。
结论
F1(-c,0)、F2(c,0)
x
O
y
F1
F2
M
焦 点:
方 程:
a,b,c的关系:
a>b>0
a>c>0
方程的推导
M
F2
F1
对于如图的椭圆如何建系比较方便？
o
y
x
以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。
椭圆的方程为：
方程的推导
M
F2
F1
o
y
x
建立如图坐标系。
设M(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵|F1F2|＝2c(c>0),
则：F1(0，-c)、F2(0，c)
∵
∴
椭圆的标准方程
x
O
y
F1
F2
M
F1(0 ,-c)、F2(0, c)
x
O
y
F1
F2
M
F1(-c,0)、F2(c,0)
1、若动点P到两定点F1(－4,0)，
F2(4,0)的距离之和为8，则动点
P的轨迹为（ ）
A. 椭圆 B. 线段F1F2
C. 直线F1F2 D. 不能确定
B
2、已知椭圆的方程为： ，
则a＝____，b＝____，c＝___， 焦点
坐标为：___ ，焦距等
于____。如果曲线上一点P到焦点F1的
距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离
等于______。
10
6
8
(0,-8)、(0,8)
16
12
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,
求它的标准方程。
① 焦点在x轴上时：
② 焦点在y轴上时：
② 焦点在y轴上时：
∵ 4－m＝1 ∴m＝3。
① 焦点在x轴上时：
∵ m－4＝1 ∴m＝5
小 结
定 义
图
形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c
的关系
{M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
1
2
y
o
F
F
M
x
y
x
o
2
F
M
F
1
小结
怎样判断焦点在哪个轴上
m>0,n>0,
当n>m>0时,焦点在y轴上
当m>n>0时,焦点在x轴上
且m≠n
作业
习题 8.1 2 、 3、 4
P95 练习 1 、2、4
有情境无问题
教案2：椭圆的标准方程
教学目标
1．通过建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．
2．能用标准方程判定曲线是否是椭圆．
3．在已有经验(直线、圆的方程及其求法)的基础上，进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，渗透数形结合的数学思想。
教学重点
感受建立曲线方程的基本过程。
掌握椭圆的标准方程形式和求法。
教学过程
一、问题情境
情境1：用媒体演示：
镜头1：汽车贮油缺罐的外形；
镜头2：(动画显示)平面截贮油罐得横截面的过程；
镜头3：呈现截口：横截面外形像椭圆。
情境2：(动画显示)经过均匀压缩，将圆变形为椭圆的过程(说明：每一点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍。结果显示：所得图形像椭圆。
问题1：怎样检验所得的曲线是不是椭圆？
问题2：如何研究椭圆的性质？
情境3：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备，都是运用椭圆的性质制造的。怎样才能精确地制造它们？
二、学生活动
学生回顾必修部分的相关内容(直线与圆)，曾经用直线的方程和圆的方程检验一条曲线是否是直线或圆，并且运用方程研究了直线和圆的性质。进而想到：可以通过方程检验曲线是否是椭圆。
问题3：如何建立椭圆的方程？
三、建构数学
学生活动：
由学生回顾：直线方程是怎样建立的？圆的方程是怎样建立的？发现直线方程和圆的方程的建立过程的共性：建立适当的直角坐标系，根据曲线的结构特征，建立曲线上动点的坐标之间的关系的等式。
三、建构数学
师生共同活动：
椭圆的结构特征：平面内到两个定点距离之和等于定长(定长大于两个定点之间的距离)的点的轨迹；
引导学生选择基本量：焦距、定长；
让学生选择(建立)适当的坐标系；
根据椭圆定义，列出等式，用坐标表示等式中的量，并对所得方程进行化简，得到椭圆的标准方程(焦点在x轴上)。
四、数学运用
例题
例1：已知且个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2．4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。
例2：将圆x2+y2＝4上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。
五、回顾反思
椭圆方程的建立的过程。
当焦点在y轴上时(F1(0，－c)，F2(0，c))时，如何建立椭圆的标准方程？其标准方程是什么？
六、课后作业
第30页练习1(1)，(2)，(3)，(4)；2.
习题2.2(1)1(1)，(2)；2(1)，(2).
●为什么要设置问题情境？
●怎样设置问题情境？
●什么样的问题情境才是好的情境？结 论
（1）数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进展．
（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．高中课程标准实验教科书必修《数学3》（苏教版）教学问答
石志群（江苏省泰州市教学研究室 225300）
问：本书第一章中的算法与计算机程序设计是一回事吗？
答： 一方面，本书中的算法指的是解决某类问题的机械的、统一的操作方法或步骤，它是数学中的一种重要的思想方法，另一方面，正由于其能够统一地解决某类问题，使我们可以利用计算机实现这样的算法，从而给我们带来很多便利。在表示算法时我们可以使用自然语言、流程图或伪代码，其中伪代码借用了计算机语言中的ＱＢＡＳＩＣ程序语言中的一些关键词，但是，本书算法中表示算法的伪代码并不是严格的计算机程序语言，并不能直接上机运行，但它又是设计计算机程序语言的基础。要让学生了解算法与计算机程序语言的这种区别与联系。
算法一章的教学重点是让学生充分感受算法思想，通过学生熟悉的数学、生活中的典型问题(包括我国古代的体现数学思想的数学成就)，让学生经历算法的建立过程，体验算法作为解决一类问题的统一的“模式”的重要作用和价值。建立算法时，不宜过难、过繁，只要通过较简单、熟悉的背景让学生能够感受到算法的思想和价值，更不要过分追求算法语言的准确和规范。有条件的学校可以结合“信息技术”的教学，让学生设计计算机算法语言，并上机实习。
问：循环结构是本章的难点，学习循环语句时应注意哪些问题？
答： 第一，循环结构是用来描述多次进行相同的操作的算法步骤的一种算法结构；
第二，循环结构有当型结构(前测试)与直到型结构(后测试)两种，前者是先判断后操作，即在满足条件时进行循环体，否则跳过循环体，后者是直接操作，然后进行判断，如果满足条件，则退出循环，否则继续循环。这两种算法结构分别可用流程图表示为：
当型循环与直到型循环是可以相互转化的。如对描述解决问题“求使12+32+52+…+n2<1000成立的最大正整数n的值”的算法，用当型循环结构可以表示为下面的
左图，而用直到型循环结构则可以表示为上面的右图；
第三，要注意输出值的确定。如上面的两种算法，为什么最后输出结果的表达式不同？这里的输出结果既与n的初始值有关，也与循环结构有关。如对于当型循环，退出循环时对应的S其实是第一个使S≥1000的那个S，而这个S值得到后又对n的值增加了2，所以，为了输出使S<1000成立的最大的n,就要将退出循环时的n的值减去4。
为了准确写出输出的n值，可以使用“追踪法”。如上述当型循环，可以将1000改小一点，如30，即求使S<30成立的最大正整数n，可由
S=0，n=1
S=1,n=3;
S=12+32=10，n=5;
S=12+32+52=35；n=7;
满足S<30的最大n为3，而退出循环时的n为7，故输出的结果应为7-3。
问：统计一章的知识内容在义务教育阶段大多已经学习过了，为什么高中阶段还要重复学习这些内容？
答： 一是为了让学生通过简单和熟悉的背景问题进一步感受统计分析的研究方法和思想方法，了解抽样分析的必要性和合理性，并对统计结果的可靠性和随机性有进一步的认识。二是通过理性分析的方法在更高的层次上感受统计量的的合理性，如对样本均值的研究，通过最小二乘的思想说明其现实意义和理论意义，而对样本方差则是从几何直观的角度说明其意义与价值。三是对加强了统计结果的估计与预测的应用的研究，反映了统计研究的应用价值。
问：传统教材都是先学习概率，再学习统计，而且统计的理论基础是概率，为什么本教材却先讲统计，再讲概率？
答：这两种处理方法正体现了是以学术形态，还是以教育形态呈现数学内容这样两种不同的教育观念，前者以教材的逻辑结构为目标，而后者则以认知规律为标准。另一方面，这也与统计学与概率论的思维方式有关：统计学所运用的推断方法，更多地体现了归纳的特点，而概率论所使用的研究方法则主要是从定义、假设开始的演绎推理（尽管中学阶段对此体现并不充分），并且两者之间又有着非常密切的内在联系，从认知上看，前者的归纳基础对后者的演绎推理有着很好的促进作用。按本教材的次序进行教学，可在对样本的随机性的大量感性认识的基础上，再学习概率知识。注意到新课程理念的这种转变，我们在本章设计了多个“伏笔”：Ｐ４０链接：随机数表的制作；Ｐ５２探究：估计黑芝麻所占百分比；Ｐ６１阅读：男女出生性别比等。
问：既然随机试验的结果具有随机性，为什么可以用频率估计概率？
答： 第一，尽管随机试验的结果具有随机性，但其发生的概率是一个确定的常数，因为随机事件的概率是其本质、固有属性。比如，抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率是，这一点并不随机试验的时间及进行试验操作的人选而改变。第二，随机事件的概率通过大量重复试验中其发生的频率的稳定性而表现出来，这就是偶然性与必然之间的辩证关系的数量表现。对此，有兴趣的老师可以查阅概率论中的“大数定律”，它正反映了随机事件的频率稳定性的理论依据。
事实上，概率的统计定义(即我们教材中的定义)是一种直观的、描述性的定义，这里所谓的“在某个常数附近摆动”中的“常数”，通过具体试验(无论试验的次数如何多)是无法精确地确定的，因此，我们只能由此粗略地确定一个近似值。当然，当试验次数很大时，我们可以得到比较接近准确值的“近似值”，而在实践中，有了较高精度的近似值也就可以了。
问：本教材为什么在学习过概率的定义后，先学习两种概率模型，再学习概率的性质(互斥事件)？
答：注意到学生在初中已经学过一些概率知识，对概率已有一定的直观感受，教材编写时充分利用了学生的知识、经验，从学生认知的最近发展区出发。如概率的统计定义，就是通过具体实例对初中的相关知识进行回顾。讲古典概型也是以学生熟悉的实例展开。教材对概率知识的呈现没有停留在直观感受的层次上，而是利用学生的这种感性认识，突出了对概率模型的形成过程的教学，在深化对概率概念的认识的同时，掌握用概率研究问题的思想和方法。
这样处理的依据仍然是遵循学生认知和思维发展的规律：先从频率的稳定性感受概率的描述性的定义（即概率的统计定义），再通过实例（如抛掷质地均匀的硬币，正面向上的概率）让学生了解到概率是事件的固有属性，而频率仅是粗略估计概率的统计量，从面产生探求对符合一定条件的事件的概率的准确值的方法的需求；再利用学生对等可能事件的较丰富的感性经验，学习古典概型和几何概型；在对概率的认识较深刻的情况下研究互斥事件及至少有一个发生的概率等更一般的问题。
正由于我们以适应学生的认知发展的规律作为教材设计的根本出发点，我们不仅仅介绍了概率的统计定义，而且分散地、有机地将概率的公理化定义渗透在教材之中：在Ｐ８９我们利用学生在初中已有的关于概率的经验，告诉学生：对于任意一个随机事件Ａ，其发生的概率Ｐ（Ａ）必须满足如下基本要求：０≤Ｐ（Ａ）≤１；Ｐ９１，在给出随机事件概率的统计定义后，自然地提出必然事件和不可能事件的概率：Ｐ（Ω）＝１，Ｐ（Φ）＝０，并说明：这是概率的必须满足的第二个基本条件；Ｐ１０６，在发现互斥事件的概率的加法公式后直接说明：这是概率必须满足的第三个基本要求。这是在高观点指导下的一种设计方法，已经体现了概率是在“概率空间”下，从事件域到[0，1]上的函数的思想，函数的概念得到了拓展。
问：为什么本教材没有对随机数专列一节？
答：随机数是一个很重要的概念，计算机模拟试验就是建立在随机数的基础上的，并且有着广泛的应用。这里需要说明的是，本教材对随机数没有单立一节，而是分散处理的：在算法部分（Ｐ２２例４）研究了用循环语句设计模拟抛掷硬币的试验，并用ＥＸＣＥＬ对正面向上的频率进行了模拟；在统计部分讲抽样方法中的随机数表法时就介绍了随机数的概念，以及用抽签法、掷骰子法和计算机、计算器产生随机数，制作随机数表，让学生感受随机数的概念；在概率部分介绍了几何概型后，又用计算机模拟了撒豆试验，对π值进行估计，并运用随机数估计曲边图形的面积；在选修教材的积分部分又用蒙特卡罗试验对曲线图形的面积进行估计，再一次让学生感受到在随机数中蕴含着很多有用的信息。这样设计的原因是，随机数是一个比较抽象的概念，是教学中的一个难点内容，要一次到位是不切实际的。我们将其分散进行，并从亲自操作（制作随机数表）开始，继而进行计算机模拟，再多次、反复地应用，循环上升，认识就会逐步深入。
参考文献
[ 1 ] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）．北京：人民教育出版社，2003．
[ 2 ] 中华人民共和国教育部．全日制普通高级中学数学教学大纲．北京：人民教育出版社，2002．
后测试的直到型循环结构
前测试的当型循环结构
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4数学文化教育特征初探
张乃达
（江苏省扬州中学）
以提高学生的素质，特别是提高民族素质为最终目的的数学教育，从根本上来说应该是数学文化教育。可是，正如丁石孙教授所指出的：“我们长期以来，不仅没有认识到数学的文化教育功能，甚至不了解数学是一种文化，这种状况在相当程度上影响了数学研究和数学教育。” [1] 因此，探讨数学文化教育的特点和性质，是当前数学教育研究中的一项紧迫的课题，本文仅就此作初步的探讨。
（一）
不同的数学观和价值观导致不同的数学教育观念，从而形成了不同的数学教育。
如果把数学看成是数学知识的汇集（即数学活动的结果），就会把数学教学看成是数学知识（技能）的教学；
如果把数学看成是一种思维活动，就会把数学教学看成是数学思维活动的教学。这正是近年来数学教学研究的重大成果，它已经被广大的数学教育工作者所接受并产生了深远的影响。
如果把数学看成一种文化系统，就应该把数学教育看成是数学文化教育，和前面两种数学教育相比，这是一种全新的数学教育观念。
（二）
把数学教育看成是文化系统，是从社会--历史的角度，即从宏观的角度考察数学的结果。
众所周知，数学活动不仅仅是个人的活动，它还打上了社会的历史的烙印，因此还必须对它作宏观上的考察和分析，这样就产生了数学是一种文化的认识，其基本观点可以概括如下： [2]
现代数学已经发展为一种超越民族和地域界限的文化。数学文化是由知识性成份（数学知识）和观念性成份（数学观念系统）组成的。它们都是数学思维活动的创造物。
数学家在创造数学文化的同时，也在创造和改造着自身。在长期的数学活动中形成了具有鲜明特征的共同的生活方式（这种生活方式是数学观念成份所制约的），并形成了一个相对固定的文化群体——数学共同体（数学文化的主体）。
作为人类文化的子系统，数学文化对人类文化产生了极其重要的影响。正如克莱因所说：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时是这种文化极其重要的因素，如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中的重要作用这一断言并不是天方夜谭。” [3] 我们也十分赞同齐民远教授的精辟论断：“历史已经证明，而且将继续证明：一个没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。” [4]
因此，只有充分注意到数学的文化特性的数学教育才能充分发挥数学的文化教育功能和社会效益。
（三）
一般地说，数学教育的价值体现在如下几个方面：
第一、实用价值——提供了一种有力的工具；
第二、形式训练的价值——提供了一种思维的方式和方法；
第三、文化价值——提供了一种价值观，倡导一种精神：它集中地表现为数学观念在人的观念以及社会的观念的形成和发展中的作用。
知识型的数学教育看重数学的实用价值；能力型的数学教育看重数学的能力训练价值；而文化型的数学教育则在注意到数学教育的实用价值和形式训练价值的同时特别看重数学的文化教育价值。
（四）
作为一个例子，我们可以从爱因斯坦学习平面几何的感受来体会一下数学的文化价值。
爱因斯坦说：“在12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇，就是在一个学年的开始时，当我得到一本关于欧几里德平面几何的小书时所经历的，这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以至任何怀疑似乎都不可能，这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以想象的印象 ……如果我能依据一些其有效性在我看来是无容置疑的命题来加以证明，那么我就完全心满意足了……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就象希腊人在几何学中笫一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了。”爱因斯坦说，正是这种“逻辑体系的奇迹，推理的这种可赞叹的胜利，使人们的理智获得了为取得以后的成就所必需的信心” [5] 。
爱因斯坦的感受，体现了欧氏几何所蕴藏着的文化价值，而这正是文化型的数学教育所致力开发的。
（五）
数学的文化教育价值集中地的体现在数学观念的价值之中。
数学观念是数学文化的核心，它是数学共同体（数学文化的主体）在长期的数学活动中形成的价值观和行为规范。数学精神、数学意识、数学思想和数学思维方式等等都是数学观念系统的重要组成部分。其核心部分可以用框图表示如下 [6]
社会文化学认为：观念系统是文化的核心内容，它是文化特质的最深刻的体现。不论是文化对特定的社会成员的影响，还是文化对社会的影响，都是通过观念系统的作用来实现的。 [7] 具体地，数学教育对学生的影响，是通过数学观念对学生的价值观和行为方式的影响来实现的；数学教育对社会的影响则要通过数学观念对社会观念的影响来实现。由于人的观念是构成其心理素质的核心要素，而社会观念又是构成民族素质的核心要素，这就从根本上决定了数学文化教育是一种素质教育。
（六）
除了数学观以外，数学文化教育观念的形成还受到了人本主义的教育观的影响。
人本主义的教育观以人为本，把促进人的发展，提高人的素质看成是教育的最终目标。显然，这和数学文化教育观念的价值观是完全一致的。
由于数学观念实际上是数学共同体成员在长期的数学活动中形成的深刻而稳定的人格模式，表现为一种心理和行为的倾向性，处于心理结构的最深处。因此，重视数学观念系统的发展就成为促进人的发展的一个最为重要的方面。
（七）
因此，十分重视数学观念特别是数学精神的教育价值，就成为文化型的数学教育的一项根本特征。
当然，能力型的数学教育也十分重视数学观念的发展，但是它的着眼点却是和文化型的数学教育不同的。
在能力型的数学教育中，仅仅把发展学生的数学观念看成是提高数学思维能力的手段（尽管是一项重要的手段）。但对于文化型的数学教育来说，发展数学观念系统就不仅仅是一项手段，而且是数学教育的一项重要目标了。因此，文化型的数学教育不仅要充分发挥数学观念的智力教育价值，而且更注意充分发挥数学观念，特别是数学精神在促进学生的人格发展方面的巨大作用。
例如，文化型的数学教育认为，平面几何的教学价值，不仅仅表现为几何知识的价值和思维训练的价值。平面几何的教学价值最集中地表现为促使平面几何的公理化的知识结构得以形成的探索精神之中。因此应该把培养学生的求真意识当成平面几何教学的首要任务。具体地说，在几何教学中对推理能力的要求可以因人而定，可高可低，但是却必须使每一个学生无一例外地感受到数学文化中的理性精神，感受到这种精神的巨大力量，进而激发起他们探索真理的强烈愿望，从而以各种各样的形式投身到探索活动中去。
（八）
能力型的数学教育和文化型的数学教育的差别还表现在前者看重数学观念在方法论方面的意义，而后者则更看重数学观念系统在价值观方面的意义，因而特别重视数学精神的价值。
一般地说，数学观念系统同时具有价值观和方法论的意义。这在日本学者米山国藏的论述中得到了充分的体现。他说：“科学工作者所需要的数学知识，相对的来说是不多的，而数学的研究精神，数学的发明发现所需要的思想方法，大脑的数学思维训练，对科学工作者是绝对必要的。”因此“不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法，研究方法，推理方法和着眼点等，却随时地发生作用，使他们受益终身。” [8]
这当然是很深刻的见解，正因为如此，所以这段话一直被广泛的引用。但是应该指出的是，数学精神和数学思想方法并不处在同一个层次上。因此有些时候将它们相提并论并不妥当。和思想方法相比，数学的理性探索精神是更为基本的也是更为重要的。因为，从宏观上看，数学思维方式正是理性探索精神的产物，正是有了理性探索精神才有了现代数学，才形成了区别于其它思维方法的数学思维方式；从微观上看，正是这种探索精神为思维活动提供了内驱力，使之得以起动和展开。所以克莱因说：“在最广泛的意义上来说，数学是一种精神，一种理性精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻的和最完美的内涵。” [9]
（九）
能力型的数学教学和文化型的数学教学都希望通过数学教育促进学生心理的发展，因此都重视迁移，都提出了为迁移而教的口号。但是应该看到两者之间的侧重点还是有差别的。
和能力型的数学教育相比，文化型数学教育更追求数学活动的成果向非数学领域的迁移。因为它的目的并不是要培养数学家，并不一定企求学生具有很强的数学能力，只希望学生能通过数学学习掌握一定的数学知识，建立起正确的价值观，形成良好的行为规范和良好的精神品德。显然，这后两项任务只有通过这种大范围的迁移才能实现。这样，文化型的数学教学就表现出如下的特点：
1．更注重数学和其它学科的联系，特别是数学和生活的联系。注意从生活的例子中找到数学知识、方法、思想和观念的胚芽。
2．适当地降低“硬数学”（数学知识、数学技巧、数学能力等）的要求，提高对“软数学”（数学思想、数学观念等）的要求。
3．降低形式化的要求，注重理解和应用。
概括地说，文化型的数学教育具有“泛数学化”的倾向。
（十）
数学观念和能力都是在数学活动中形成和发展起来的。因此，不论是能力型的数学教学，还是文化型的数学教学都十分强调过程。
但是，即使在这个方面，这两种形式的数学教育也是有区别的。
能力型的数学教育特别强调数学思维过程。这当然是无可非议的。因为从本质上讲，数学活动确实是一种思维活动，数学思维活动构成了数学活动的主体。
但是，文化型的数学教学在重视思维活动的价值以外，还注重情感活动、审美活动的教育价值，并且认为即使在数学教育中，这种价值也可以独立于思维活动而存在。这样一来，文化型的数学教育就突破了“数学教学是思维活动的教学”的框架。 [10]
例如，非欧几何的发现可以说是数学史上的革命，也可以看成是现代数学的开始，它的建立打破了欧氏几何是关于空间的绝对真理的神话，是人类理性精神的伟大胜利，它把数学（实际上是数学家，是人）从自身的经验和直觉中解放了出来，因此，它对人类文化的影响是无可比拟的，它的文化教育的价值也是无可比拟的！但是，直到今天，我们的中学生都无法从教材和课堂中知道任何和非欧几何有关的信息，造成这种现象的直接原因就产生于对数学教育性质的认识。当我们把数学教育单纯地看成是专业的知识或能力的教育时，我们确实不可能在中学数学中讲授非欧几何。但是如果从文化教育的角度来看，在中学中是完全可以而且应该向学生介绍非欧几何发现的历程及其具有的思想意义的。这样的教学活动，可以激发学生的兴趣，陶冶学生的情操，加深对数学特别是它所负载着的理性精神的理解，所以说，这类教学活动尽管没有激发起学生积极的思维活动，但仍然是具有巨大价值的。
由此可见，今天，我们已经不能把数学教育仅仅看成是“能力的教育”、“思维的教育”了，应该看到数学教育同样具有文化教育的性质，这样的认识可以为数学教育开辟出更广阔的空间。
（十一）
即便在思维活动中，这两类不同的数学教学也有着不同的侧重点。
为了培养学生的理性精神和求真意识，就必须突出逻辑和演绎的地位，这往往会过分地加大教学的难度，过分地增强数学教育的专业色彩，造成学生学习的困难，这就违背了数学文化教育的初衷。因此，在文化型的数学教学中，必须根据文化教育的价值取向，采用一些策略，以取得两者的平衡。如：
第一、要坚持数学的严谨性。要让学生体会到，原来世界上还存在着一种价值观和思维方法，是十分强调严谨的——超出想象的严谨！（以至于在数学证明中只承认演绎的结果）认识到经验、观察和直觉往往是不可靠的，因此我们不能相信它们！让学生认识到演绎思维的价值，认识到对演绎方法与理性精神间的关系，并自觉地接受数学对证明的要求。
第二、当然，这里所说的“超出想象的严谨”，是以学生的眼光为参照系的，追求过度的严谨不仅没有必要，而且也不可能。事实上，只要能让学生感觉数学是严谨的，而且这种对严谨的要求是有道理的，就基本上达到了文化教育的要求。为此，应该注意以下几点：
1．重视提出问题的思维环节，注意介绍问题的背景。让学生从中感受到数学的理性探索精神。
2．重视问题的概略性解决的思维环节（即大思路），以突出数学观念在解决问题中的作用。淡化问题特殊性解决的环节，淡化特殊的技巧，避开对解题细节的纠缠，降低教学的难度。
3．适当降低形式化的要求。注重实质，注重理解，追求“悟”的境界。
为了做到以上各点，就必须在重视逻辑思维和演绎推理的同时，注意直觉思维和合情推理的作用。要严格地区分猜想和定理，做到“大胆猜想，小心求证”。注意对直觉进行逻辑的分析，追寻导致直觉产生的原因。注意对逻辑过程进行“直觉的浓缩” [11] ，实现逻辑与直觉的转换。
4．重视对思维活动的反思，自觉地分析思维过程，加强对思维过程的监控和评价，这应该是在文化型的数学教学特别要注意的地方。
5．适当采用局部公理化等方法，在不增加难度的前提下达到严谨的要求。
可以看出，以上各点在能力型的数学教育中也是重要的。
（十二）
文化的养成，观念的养成，主要是对文化的继承，这反映了文化教育的社会性。
数学观念的形成主要是一种“文化继承”行为，和技能与能力不同，现代的数学观念并不是通过训练（那怕是强化训练）就能建立起来的，它的形成是一个潜移默化的过程。
另一方面，具体的文化继承行为又是由每一个个体完成的，因此，文化型的数学教学十分注意尊重学生的个性。
以上两方面都要求我们为需要给学生提供一个自由活动的空间和宽松的环境，具体地，它在课堂教学中表现出如下特征：
1。淡化目标。这里要淡化的是“目标管理”式的，功利主义的目标，而不是数学教育的总目标。文化型的数学教学的总目标是十分明确的，这就是通过教育来影响学生的观念（特别是价值观）、思维方式和行为，以达到提高其素质的目的。这个目标必须通过长期而复杂的心理过程才能实现。因此那种目标管理式的教学方法不仅不适用于文化型的数学教学，而且是有害的。
2．重过程，重体验，轻结果，淡化功利色彩，不以成败论英雄。
3．尊重学生的个性，淡化教师的主导作用。
4．重视范例的作用。著名科学哲学家库恩把“科学传统称之为范式”。他说：“对于科学传统的继承而言”，“具体的范式比抽象的道理更重要，也更具有直接的指导意义。”
在教学中，教师要提供这类范例，让学生认真学习、欣赏这些范例，并仿照它们进行自己的工作。值得指出的是，教师的行为也应该具有范例的作用。
5．重视学生的潜意识活动。
6．注意师生间、学生间的情感交流，注意建立课堂文化的新规范，形成宽松、自由、热烈的氛围。
（十三）
文化型的数学教育对数学教师也提出了新的要求。
在文化型的数学教学中教师是作为现代数学文化的代表参于教学活动的。教师的价值观念在他的教学活动和日常言行中会得到充分的反映，并对学生产生决定性的影响。正如美国数学教师全国委员会（NCTM）发布的《教师规范》中所指出的：“如果我们希望培养学生对数学的兴趣，一个必要条件就是他们能由教师而感染到对数学的热爱以及体会到数学是人类思想的一种创造。” [12]
除此以外，文化型的数学教育对教师的知识结构同样提出了新的要求。它不仅要求教师要具备专业的知识，还要求他们具有更宽广的知识面。数学教师应该熟悉数学史、科学史、文化史，应该具有哲学、数学哲学、社会学等方面的基本素养。总之，教师只有在熟悉了数学文化的规范，并自觉地接受它对数学活动的全部要求的前提下才能胜任文化型的数学教学的任务。
(十四)
实际的数学教育应该是多层面的，多视角的。
通过前面的分析，我们可以看到，能力型的数学教育和文化型的数学教育在提高学生的素质方面都是可以发挥作用的，只是侧重点有所不同而已。因此，为了充分发挥数学教育在提高学生以至提高民族素质方面的作用，我们的数学教育应该是综合性的，应该兼有知识教育、能力教育、文化教育的成分，并根据不同的教育对象和教育阶段对其侧重点做出调整。一般地说，在义务制教育阶段，应该适当地加大文化教育的成分。
^1 丁石孙、张祖贵，《数学与教育》，湖南教育出版社，1989年，114页。
^2 徐利治、郑毓信，《数学模式论》，广西教育出版社，1991年，61—77 页
^3 克莱因：数学与文化，载《数学与文化》，北京大学出版社，1990年。
^4 齐民友：《数学与文化》，湖南教育出版社，1991年，12—13页。
^5 爱因斯坦文集，第一卷，商务印书馆，1976年，第4—5页。
^6 张乃达：关于数学观念的研究与实验，载《中学数学论文选编》，江苏教育出版社，1995年，第141—156页。
^7 参见菲利普·巴格比：《文化：历史的投影》，上海人民出版社，1987年。
^8 米山国藏：《数学的精神、思想和方法》，四川教育出版社。
^9
^10 对此，作者将另文阐述。
^11 张乃达：《数学思维教育学》，江苏教育出版社，1991，第86—102页。
^12 转引自郑毓信《数学教育哲学》，四川教育出版社，第100页。高中课程标准实验教科书必修《数学2》（苏教版）教学问答
徐稼红（苏州大学数学科学学院 215006）
问：如何解决数学必修2内容过多、课时不足的问题？
答：数学必修2包括第1章“立体几何初步”和第2章“平面解析几何初步”．从实际教学情况来看，教师普遍认为第1章内容多、课时紧，教和学都比较吃力．
根据《普通高中数学课程标准（实验）》，第1章约需18课时，而传统的“直线、平面、简单几何体”需36课时，因此，仍按原来的模式教学是行不通的，也不符合课标的要求．教学时要注意下面的问题：
（1）只需了解“角”（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角）与“距离”（点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离）的概念，但对计算不作要求．
由于文科学生不学“空间向量与立体几何”（选修2-1第3章），因此必修2“立体几何初步”的学习重点应放在定性研究上，增加或补充“角”与“距离”的计算是不妥的．
（2）判定定理只要通过直观感知、操作确认后归纳得出（可借助长方体模型），不必证明（在“空间向量与立体几何”中予以证明）．
（3）与以往教材不同，新教材增强了选择性和层次性，平时教学应着力于核心内容的讲解，不必面面俱到．例如，教材中穿插的“阅读”、“链接”、“EXCEL”等栏目就是非必学内容．习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”属于选做题目，切忌一网打尽．
为解决第1章的教学困难，建议采取以下措施：
（1）顺序调整：必修2两章的内容相对独立，第2章的学习要容易一些，内容又相对较少，实际教学时，可以先教第2章，再学第1章．这样安排，由于降低了学习的起点，可以缓解学生的学习压力．
（2）课时调整：第2章安排16课时，第1章增加到20课时（在“直线与平面的位置关系”后增加习题课，在本章末增加小结复习课时），按此方案调整课时，有利于第1章的教与学．
（3）分段安排．上面两种调整只是缓解了必修2的教学压力，实际上并没有真正解决教学负担重的问题．如果将“解析几何初步”与“立体几何初步”分别放在高一和高二讲授，那么这个问题就容易解决：高一第一学期安排必修1及必修2的解析几何初步，第二学期安排必修3与必修4，高二第一学期处理必修5及必修2的立体几何初步．这样安排至少有三个好处：
① 必修1的课时可以适当增加，进度可以适当放慢，有利于刚进入高中的学生较好地适应高中数学的学习；
② 有利于学生学好立体几何．从教学实践及相关的研究来看，立体几何更适合于高二阶段学习．其次，由于课时更具弹性，教学就比较主动．
③ 注意到文科生学习的数学内容相对较少，因此，上述安排（延长适应阶段时间，分散学习难点）更有利于文科生学好数学．
问：“立体几何初步”安排“空间几何体”一节内容的意图是什么？
答：以往立体几何的处理方式是从局部到整体（点、线、面→柱、锥、台），而新教材处理方式则是从整体到局部（柱、锥、台→点、线、面→度量计算），强调通过“直观感知→操作确认→思辨论证→度量计算”的方法认识和探索几何图形及其性质，符合学习几何的认知规律．设置空间几何体一节还有如下意图：
（1）降低学习起点，为后续学习做好铺垫．本节实际上也可称为直观立体几何，要素有：观察（空间几何体）、认识（结构特征）、理解（三视图）、会画（直观图）．同时，为下一节的学习（逻辑推理）提供载体（长方体等模型），丰富问题背景．
（2）实现从动和静两个方面认识几何体．除圆柱、圆锥、圆台、球仍采用运动的观点（旋转）来揭示其特征外，棱柱、棱锥和棱台也采用了运动的观点（平移、收缩）来描述，这种刻画的优点是形象直观，具有统一性，还便于制作多媒体课件进行演示，有利于提高学生的学习兴趣和空间想象能力．
问：三视图的学习要求与初中阶段有何不同？
答：初中阶段学习三视图以定性为主，会判断（找出与三视图对应的直观图），高中阶段三视图还有定量的要求．例如，学生应理解主视图、俯视图、左视图之间“长对正，高平齐，宽相等”的含义．通过画几何体的三视图，可以进一步加深对几何体结构的认识．
教学时要控制难度，仅限于长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合（如画三棱锥的三视图，就超出了要求）．另外，让学生画三视图时，一般要给出正视的方向．
问：如何把握判定定理、性质定理的不同处理方式？
答：新教材对判定定理不要求证明有多种用意：
（1）合情推理与逻辑推理的有机结合．合情推理（归纳、类比等）具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．合情推理和演绎推理联系紧密、相辅相成．事实上，“数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的”（波利亚）．
教材（课标）对判定定理和性质定理的不同要求，为教师提供了培养学生合情推理能力的极好素材．教学中对判定理和性质定理一视同仁，一一加以证明，有悖课标的初衷，不仅增加了教学负担，也错失了培养学生合情推理能力的机会．
合情推理与逻辑推理的有机结合，可以避免以往几何课程中以论证几何为主线展开几何内容造成的过于形式化，以及由此给学生带来的困难，有利于学生在自然的探索过程中学习数学的思考方式．
（2）规避教学难点．线面垂直判定定理的证明是以往教材中的一个教学难点，新教材通过直观感知和操作确认，再归纳得到线面垂直的判定定理，这种处理方式，使教学过程更加流畅，学生更容易接受．
当然，合情推理不能代替证明．可以告诉学生，在后续的学习中，我们不难运用向量工具完成判定定理的证明．
问：立体几何初步为何不讲三垂线定理？
答：新教材不讲三垂线定理，三垂线定理仅以结论的形式出现在习题中（但未提“三垂线定理”），这样处理的理由是：
（1）三垂线定理在作出二面角的平面角时比较方便，但必修2“立体几何初步”的重点在定性研究，定量处理在选修2-1“空间向量与立体几何”中完成．利用空间向量，就不必通过作出二面角的平面角来求二面角的大小，只要计算两个平面法向量的夹角（或其补角），即用向量的数量积来处理．
（2）三垂线定理本身的价值不大．一是定理叙述冗长，涉及斜线、射影等诸多概念；二是三垂线定理与三垂线定理的逆定理也让一些学生迷糊，运用时难免张冠李戴；三是三垂线定理并不是知识链上的重要一环（与线面垂直、平行的判定和性质定理比较），况且其证明十分简明，缺之无妨，对熟悉三垂线定理的教师来说可能不习惯，但对于学生来说，不会有什么影响．
要说明的是，在选修2-1“空间向量与立体几何”中，教材将三垂线定理作为例题，并运用向量方法作了证明．因此，学生是可以运用三垂线定理来解题的，但这不是在必修2中要介绍三垂线定理的理由．
问：“空间几何体的表面积和体积”一节的教学要点是什么？
答：教材中关于柱、锥、台、球的表面积和体积公式的建立，只需直观理解，不要求学生推导也不需要记忆公式，学生能够利用公式做一些简单的计算就可以了．
这是因为表面积和体积的计算通常要涉及距离或角度的计算，而这类定量计算更适于用空间向量来处理，所以本节的教学要求不宜拔高，大量补充这方面的练习是没有必要的．
由于本节隐含了丰富的数学思想方法，因此，教学中要有意识地加强这方面的训练．例如，化归思想，将计算空间几何的表面积问题转化为平面图形面积的计算；类比思想，祖暅原理的运用及迁移．实际上，本节习题“探究·拓展”也是类比思想的运用，其中还隐含了微分的思想．教师如教学得法、指导有方，学生就会受益匪浅．
问：为什么先学解析几何，后学三角？
答：与以往教材不同，新教材（课标）按解析几何在前，三角在后的顺序编写，这样有两个好处：
一是突出用代数方法研究几何问题的过程，加强代数运算能力的培养．用代数方法讨论直线与直线、直线与圆和圆与圆之间的关系可以提高学生用代数方法处理数学问题的能力．
二是有利于诱导公式的教学．例如，角与 的终边关于直线y x对称，因而角终边上一点(a, b)关于直线y x的对称点(b, a)在 的终边上，由此可得 的诱导公式．这里“点(a, b)关于直线y x的对称点为(b, a)”就可以用“解析几何初步”中的知识加以证明．
实际上，先学解析几何还有利于平面向量的教学（如向量的坐标运算）．
问：为什么先讲斜率再谈倾斜角？
答：先斜率后倾斜角，先直线方程后位置关系，其用意都是突出用代数方法研究几何问题的思想．在根据斜率判定两条直线平行或垂直时，摆脱了以往教材借助倾斜角并利用正切函数诱导公式进行研究的模式，利用初中相似三角形的基本知识，沟通“相似比”与“增量比”之间的联系，在温故知新的同时，加深了学生对斜率公式（增量比）的理解．
对于先学必修4再学必修2的学校来说（按教材的编写意图及逻辑顺序，我们提倡以1，2，3，4，5的顺序进行教学），回到传统方法来处理斜率与两条直线的位置关系未尝不可，但不应忽视课本通过相似比来研究增量比的方法．
问：为什么要学习空间直角坐标系？
答：考虑到文科学生不学“空间向量与立体几何”，因此在必修数学中适当介绍空间直角坐标系是必要的．
其次，空间直角坐标系的学习也为类比学习提供了一个平台，教学时可通过创设问题情景，采用类比的方法，研究如何刻画空间点的位置，探索空间两点间的距离公式，中点坐标公式，等等．
问：平面解析几何的教学中，应始终贯穿什么思想？
答：用代数的语言描述几何要素及其关系→几何问题转化为代数问题→处理代数问题→分析代数结果的几何含义→解决几何问题，这种“用代数方法研究几何问题”的思想应贯穿平面解析几何教学的始终，并使学生不断地体会数形结合的思想方法．
参考文献
[ 1 ] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）．北京：人民教育出版社，2003．
[ 2 ] 中华人民共和国教育部．全日制普通高级中学数学教学大纲．北京：人民教育出版社，2002．
PAGE
1(共27张PPT)
苏州大学数学科学学院 徐稼红
uuxjh@public1.sz.
圆锥曲线是一个非常重要的几何模型；
圆锥曲线的几何性质在日常生活、社会生产以及其他科学中有着广泛的应用。
本章对文理的要求不同。
本章在高中几何知识链中起到承上启下的作用。
圆锥曲线是体现数形结合思想的好素材。
内容相同、要求也相同——
常用逻辑用语（8）、数系扩充与复数（4）
内容基本相同、但要求不同——
导数及其应用（16，24）、圆锥曲线与方程（12，16）、推理与证明（10，8）、统计案例（14，10）
内容不同——
框图（6）、空间向量与立体几何（12）、计数原理（14）、概率（12）
本章对文理的要求不同
本章对文理的要求不同
（1）文科对抛物线的要求是 “了解”；
（2）对“统一定义”，文科作为性质了解，而理科作为定义研究；
（3）文科对“曲线与方程”不作要求；
（4）文科在例、习题上要求有所降低。
必修2：立体几何初步、解析几何初步
必修4：平面向量
选修1：圆锥曲线与方程
选修2：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何
选修3：球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充
选修4：几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程
本章在高中数学几何知识链中的位置
（1）圆锥曲线；
（2）椭圆——椭圆的标准方程/椭圆的几何性质；
（3）双曲线——双曲线的标准方程/双曲线的几何性质；
（4）抛物线——抛物线的标准方程/抛物线的几何性质；
（5）圆锥曲线的统一定义(共同性质)；
（6）曲线与方程——曲线与方程/求曲线的方程。
内容
结构
圆锥曲线概念
圆锥曲线方程
圆锥曲线性质
几何背景
曲线与方程
椭 圆
双曲线
抛物线
椭 圆
双曲线
抛物线
椭 圆
双曲线
抛物线
概 念
建立方程
探求性质
从圆锥截线的角度认识圆锥曲线
分别对椭圆、双曲线、抛物线进行研究
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线——
平面解析几何——
曲线
直线
圆
圆锥曲线
曲线与方程
——总→分→总
椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质。
Dandelin双球模型，曲线与方程的概念。
重点
难点
2．1 圆锥曲线——从Dandelin双球引出圆锥曲线的定义
从一个平面截圆锥面的两种特殊情形入手(如图)，让学生思考：
用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？


< < /2

=
0≤ <
设圆锥面的母线与轴所成的角为 ，截面与轴所成的角为 ．通过观察可以发现，当 < < /2，0≤ < ， = 时，我们可以得到三种不同形状的曲线：
古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切(切点分别为F1，F2)，又分别与圆锥面的侧面相切(两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2)．过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以
MF1 = MP，MF2 = MQ，
MF1 + MF2 ＝MP + MQ ＝ PQ＝定值．
M
Q
F2
P
O1
O2
V
F1
建系→设点→列式(限制条件)→代入(得到方程)——化简。
参数 b 的引入在这里只需说明是为了简化方程形式，在后面再说明其几何意义。
焦点在 y 轴的椭圆标准方程可由学生独立研究自行推出(不妨先作猜想，或变量代换)．
2．2 椭圆——突出建立椭圆标准方程的全过程
例2的价值(原来的方法是运用概念，这里是由方程来判断)：
感受曲线方程的概念
通过求椭圆的标准方程，进一步感受曲线方程的概念，了解求曲线方程的基本方法(在必修部分虽有体现，未充分说明但)。
例2 将圆x2 + y2 = 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？
要突出“用代数方法(方程)研究几何问题”的解析几何的基本思想．如：范围、对称性等．
“顶点是椭圆与对称轴的交点”，不能认为最高(低)点、最左(右)点就是顶点．
对离心率要突出其几何意义，并在实验的过程中感受和理解其意义。直观上椭圆的扁圆程度可用b/a来刻画，为什么用c/a呢？
掌握椭圆的几何性质
注意：曲线本身的性质与坐标系的选择无关，区别曲线不同位置的性质与曲线本身的性质．
把握教学要求：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
突出类比：提出问题、研究过程中从结论、过程、方法各个层面与椭圆类比。
2．3 双曲线——突出与椭圆的类比
“双曲线范围”的处理与原教材的区别：更为精确的限制，为渐近线的引入作铺垫。
双曲线的特殊性质
渐近线
因为双曲线的图形夹在两条渐近线 y = x之间，所以 越大，双曲线的开口就越大．
由 可知， 越大，双曲线的开口就越大； 越小，双曲线的开口就越小，即 反映了双曲线的开口的大小．
开口大小
与椭圆、双曲线的联系与区别——
方程特点：无常数项、一个一次项、一个二次项；
图形特征：过原点、一条对称轴、非中心对称。
建立抛物线标准方程时坐标系的选择——让学生独立探索抛物线方程的建立。
2．4 抛物线——关注抛物线方程与性质的特殊性
生长点：抛物线
研究过程：特殊→ 一般(实验探索)
设置意图：整体意识、数学的和谐、统一美。
我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线 l（F 不在 l上）的距离之比等于1 的动点 P 的轨迹是抛物线．
● 当这个比值是一个不等于1的常数时，动点 P 的轨迹又是什么曲线呢？
2．5 圆锥曲线的统一定义
回顾与反思：
（1）代数形式表达的几何意义的价值；
（2）多角度认识同一数学对象。
在推导椭圆的标准方程时，得到这样一个式子
将其变形为
你能解释这个式子的几何意义吗？
——椭圆的焦半径公式
椭圆两种定义的联系
突出解析几何的基本思想
概 念
建立方程
探求性质
从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等)概念中抽象出一般的“曲线的方程”的概念。
熟悉求曲线方程的一般步骤(流程图)
会求两条曲线交点坐标的简单问题(转化为求解方程组的问题)
2．6 曲线与方程
重视章首语的教学
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状象椭圆，把一个圆压扁了，也象椭圆．它们究竟是不是椭圆？
电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的．怎样设计才能精确地制造它们？
借助于椭圆的方程，我们可以回答上述问题．那么
● 怎样建立椭圆的方程？
● 如何根据方程研究椭圆的性质？
技术的使用
适时、简明、互动；
几何画板、Excel(隐函数的绘制)、计算器(多点函数值的快速计算)。
动手操作问题
折纸系列(纸折椭圆、双曲线、抛物线)；
网线交点系列；
操作演示问题(椭圆的定义、离心率)。
折纸
网线
拓展栏目的教学建议
“思考”、“探究”和开放性的问题。
几何画板(共11张PPT)
课题 空间线面关系的判定
教学目标
1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理．
教学重点
用向量来表示空间的点、线、面及其位置关系
教学过程
一、问题情境
在学习了直线的方向向量和平面的法向量之后，我们如何用向量的语言来表述直线空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？
二、学生活动
问题1 在数学2《立体几何初步》中，空间线面的位置关系主要有哪几种？
问题2 既然直线的方向向量和平面的法向量分别刻画了直线与平面的“方向”，那么能用它们来表述线线、线面、面面的平行和垂直关系吗？
问题3 如何用直线的方向向量和平面的法向量来表述空间线面的平行和垂直关系？
三、建构数学
师生共同活动：
1．空间线面的位置关系主要有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．
2．两条平行直线的方向向量是共线向量．因此，研究空间直线与直线、直线与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用直线的方向向量来刻画直线的“方向”．
两个平行平面的法向量是共线向量，也就是说，两个平行平面的“方向”是相同的．因此，研究空间平面与直线、平面与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用平面的法向量来刻画平面的“方向”．
3．根据上述讨论，我们可以用直线的方向向量和平面的法向量来表述空间线面的平行和垂直关系．
四、数学运用
●问题4 平面的垂线与平面内所有直线垂直，平面的斜线与平面内怎样的直线垂直呢？
结论是，平面的斜线垂直于平面内与斜线的射影垂直的直线．这就是三垂线定理．
在数学2立体几何中，我们曾将它作为例题，用综合法证明了上述定理(没有给出三垂线定理的名称)．那么，
●问题5 怎样用向量的方法证明三垂线定理？
五、回顾反思
1．比较用综合法和向量方法证明三垂线定理，体会向量方法在解决几何图形中的作用．
2．想一想，如果用综合法证明线面垂直的判定定理将会十分麻烦，特别是辅助线的添设不易想到．向量法是在构建向量之后，通过向量“运算”并对运算结果作出几何解释而得证，从而提供了新的视角．
六、课后作业
第91页练习 2，4；习题3．1 1，2．距离的计算
1．点A到直线l的距离
若已知垂线AB的方向向量e，则距离d 就是在e上投影的绝对值，即
d ．
2．点A到平面的距离
若已知平面的法向量n及平面内的一点B，则距离d就是在n上投影的绝对值，即
d ．
（2007福建理）
2．异面直线l1和l2的距离
若异面直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，E，F分别是异面直线l1，l2上的点，n是异面直线公垂线方向上的方向向量，则距离
d ．
l
E
l2A
n
F
l1A
A
B
n
e
C
B
A点数100 曲边形的面积为.29
点数1000 曲边形的面积为.366
点数10000 曲边形的面积为.3388
点数100000 曲边形的面积为.33238(共18张PPT)
课题：用二分法求方程的近似解
中学电视台
“幸运52”录制现场
有奖竞猜
问题情境：
请同学们猜一猜某物品的价格
用二分法求方程的近似解
教学目标：
（1）知识目标：掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借
助计算机或计算器求方程的近似解；理解二分法求方程
近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；
（2）能力目标：培养学生利用现代信息技术和计算工具的能
力；培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及
辩证思维的能力；
（3）情感目标：鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴
趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观。
教学重点：用二分法求方程的近似解
教学难点：二分法求方程近似解的算法
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
问题1.能否求解以下几个方程
(1) 2x=4-x
(2) x2-2x-1=0
(3) x3+3x-1=0
问题2. 不解方程,能否求出方程（2）的近似解？
指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程。
学生活动与讨论
学生活动与讨论
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
学生活动：
可得：方程x2-2x-1=0
一个根x1在区间(2,3)内，
另一个根x2在区间(-1,0)内
问题3．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象，
我们发现f(2)=-1<0,f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.
画出y=x2-2x-1的图象，如图
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
思考：如何进一步
有效缩小根所在的区间？
学生活动
讨论
由于2.375与2.4375的近似值都为
2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
数离形时少直观，形离数时难入微！
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
2
-
3
+
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
2
-
3
+
2.5
+
2.25
-
-
2.375
-
2
-
3
+
2.25
-
2.5
+
2.375
-
2.4375
+
2
-
2.5
+
3
+
2
3
2.5
2
-
3
+
2.5
+
2.25
-
2
2.5
2.25
由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
1．简述上述求方程近似解的过程
构建数学：
x1∈(2,3)
∵ f(2)<0, f(3)>0
x1∈(2,2.5)
∴f(2)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.25,2.5)
∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.5)
∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.4375)
∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
∵f(2.5)=0.25>0
∵ f(2.25)= -0.4375<0
∵ f(2.375)= -0.2351<0
∵ f(2.4375)= 0.105>0
通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
解：设f (x)=x2-2x-1，设x1为其正的零点
问题4．能否描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f (a)f (b)<0的函数y=f (x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法。
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
数学建构
问题5：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近思想逐步缩小零点所在的区间。
例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 （精确到0.1）
1
2
x
y
4
0
4
y=2x
y=4-x
1
怎样找到它的解所在的区间呢？
在同一坐标系内画函数y=2x
与y=4-x的图象，如图：
提问：能否不画图确定根所在的区间？
得:方程有一个解x0 ∈(0,4)
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
如果画得很准确，可得x0 ∈(1,2)
数学运用
解：设函数f (x)=2x+x-4
则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点，
∴方程2x+x-4 =0在(0,2)内有惟一解x0。
由f (1)= -1<0, f (2)=2>0得：x0∈(1,2)
由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0得：x0∈(1,1.5)
由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0得：x0∈(1.25,1.5)
由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0得：x0∈(1.375,1.5)
由f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0得：x0∈(1.375,1.4375)
∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
归纳总结
问题6：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或
g(x)=h(x))近似解的基本步骤？
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
1．利用（1）图象法；（2）函数状态法，寻找确
定近似解所在的区间 ；
，验证
；
2．不断二分解所在的区间，即取区间
的中点
3．计算 ：
①若
②若
③若
；
4、判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近
似解；若未达到，则重复步骤2～4。
练习1：
求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难，
变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
知识拓展
介绍如何利用excel来帮助研究方程的近似解？
x
y
1
0
y=1-3x
y=x3
1
有惟一解x0∈(0,1)
excel
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
练习2:
下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是 （ ）
C
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
问题7:根据练习2，请思考利用二分法求函数
零点的条件是什么？
1、函数y=f (x)在[a,b]上连续不断。
2、 y=f (x)满足 f (a)f (b)<0，则在(a,b)内必有零点
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
1
2
3
4
5
6
7
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15
课堂小结
1.明确二分法是一种求一元方程近似解的常用方法。
2.二分法求方程的近似解的步骤，以及计算机（器）的使用，让我们感受到程序化的方法即算法的价值。
3.尝试对二分法进行编程，通过计算机来求方程的近似解。
4.数学来源于生活，又应用于生活。
5.本节课充分体现了数学中的四大数学思想，即：……以及无限逼近的思想
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论高中课程标准实验教科书必修《数学1》（苏教版）教学问答
张松年 朱骏（南京金陵中学 210005）
问：怎样理解集合的运算？
答：对象与集合的隶属关系以及集合的运算是“集合”这一章所研究的主要内容．对象与集合的隶属关系包括：元素与集合的属于关系和集合与集合之间的包含（子集）关系．集合的运算是由若干集合得到一个新集合的过程，包括“补”、“交”、“并”三种运算．把补集、交集、并集看作是集合运算的结果，使学生对数学运算的含义有了新的认识．新的运算对象和规则拓宽了学生的视野，为以后学习新的数学运算作了铺垫．在习题中，通过阅读题给出了两个集合的差的运算，这是补集概念和集合运算的延续，是对补集概念的再认识，让学生进一步体会集合运算的含义，但不要求学生会求两个集合的差集．
问：怎样指导学生做写作题“用集合的语言介绍你自己”？
答：写作题是新教材的一大特色，这在以往的教材中从没有出现过．写作题没有统一的要求，主要是提供一种新的方式，让学生根据对所学知识的掌握程度，进行一次自我总结，给学生以充分的发挥空间．写作题“用集合的语言介绍你自己”，可以从学生的自然状况、个性品质、技能等方面入手，介绍自己的特征、个性为元素的集合，以及元素与集合的关系等。例如，名字中汉字组成的集合、名字的汉语拼音字母组成的集合、我的个性品质组成的集合等，如我∈{x|x是名字叫李明的人}，我∈{x|x是中国江苏省人} {x|x身高不低于1．70cm的人}，我∈{x|x是想拿诺贝尔的人} {x|x是登上珠穆朗玛峰的人} {x|x是在月球上生活的人}，我∈{x|x是出生于农村的人} {x|x是出生于知识家庭的人}，我∈{x|x是每天打篮球的人}，我的业余爱好组成的集合是{读书、画画、下围棋、弹钢琴、郊游、踢足球}，我∈{x|x是2007年3月12日××中学的高一男生}，我{x|x是缺乏自信的人} {x|x是没有责任心的人}．我的座右铭∈{努力，坚持，勤于思考，做得更好}，等等．不要求学生过分讲究集合的数学含义．
问：在新课标的理念下，如何进行函数概念的教学？
答：学生在初学函数以及后续学习中，会遇到很多困难，这与教师在函数概念的教学中所采用的教学方式有着密切关系．以往教材的呈现方式和课堂讲授方法，虽然能较好地界定函数概念的内涵和外延，但由于函数概念本身的抽象性，学生接受起来还是有较大的困难．新课标更多地强调在数学情境下，学生主动进行知识的建构．
函数概念的引入，需要教师创设符合学生实际的数学情境．从贴近学生实际出发，教材中给出了三个具体的实例，供选择使用．三个例子分别用解析法、列表法和图像法给出，意在呼应下一节的三种表示法．教学中也可以结合所教班级的实际再补充一些实例，如加油站给汽车加油时油量与金额之间的关系等．
因为学生初中对函数已经有了初步的认识，进入高中后又学习了集合的概念，函数的概念引入，可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始，可以设计如下问题串：
问题1：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？
问题2：在上面的例子中，涉及哪些集合？其中的表格、表达式和图象的作用是什么？
问题3：如何用集合语言阐述几个实例共同特点？
① 你的结论是否正确地概括了例子的共同特征？
② 我们初中学习过的函数都有这样的特征吗？
③ 你现在的认识与初中函数概念是否有本质上的差异？
在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合与对应的语言来刻画单值对应，领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应．“单值对应”是函数对应法则的根本特征。“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性，应突出“输入”与“输出”的关系．
在构建函数的概念时，要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系．建立函数，必须交代定义域．但是，对定义域和值域不作过多技巧要求和训练．
在函数定义的教学过程中，需突出以下几点：
①集合A与集合B都是非空数集；
②对应法则的方向是从A到B；
③强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词．
要注意发展学生的数感、符号感．用课本中旁注的示意图帮助学生理解符号f(x)的意义：对应法则f对自变量x作用．应强调函数符号“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，它表示“f对x作用得到y”．应指出f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)是f(x)在x＝a的情况下的一个函数值，一般地，f(a)是一个特殊值，而f(x)是一个变量．
现代信息技术的引入，为学生进一步体会、理解函数的本质，为求函数值、作函数的图像，提供了新的行之有效的工具．
问：在新课程的理念下，如何引入“函数的奇偶性”？
答：与认识函数的单调性一样，认识函数的奇偶性也需要学生从图形的直观感受上升到数量关系的精确描述．因此，需要利用我们熟悉的函数创设数学情境，并逐步引导学生深入地认识．可以在列举生活中的实例，感受自然界的对称美的基础上，再结合已经学过的图象具有对称性的函数，让学生认识到研究图象具有对称性的函数成为必要．
问题1：如何用数量关系来描述函数y＝x2的对称性？
（1）图象是由点组成的，如何描述函数y＝x2图象上某一特殊点和其关于y轴对称的点之间的关系？
（2）对其他的点，这一关系成立吗？
（3）如何用数学语言精确地描述这一关系？
（4）对其它的关于y轴对称的函数，也能类似地描述吗？
问题2：你能否模仿研究函数y＝x2图象对称性的过程，研究函数y＝图象的对称性？你得到的结论适用于其它图象关于原点对称的函数吗？
在上述问题解决的基础上，抽象出偶函数与奇函数的概念．
也可以提出如下问题进行引入：
一般地，函数y＝f(x)，x∈R与函数y＝f(－x)，x∈R是不一样的，但有些特殊的函数，y＝f(x)，x∈R与函数y＝f(－x)，x∈R是一样的，即f(－x)＝f(x)．同样，有些特殊的函数，y＝f(x)，x∈R，函数y＝f(－x)，x∈R与函数y＝－f(x)，x∈R是一样的．从而导出偶函数、奇函数的定义．
问：“映射”和“反函数”的处理，新教材和以前的教材有着明显的区别，你能介绍一下新教材对这两个部分的教学要求吗？
答：以前的教材是用映射来定义函数，而新教材则把映射看成是函数概念的推广．函数的对象只是数集，而一般映射的对象可以是任意集合．显然，现在的处理是先特殊再一般，其目的是考虑与初中知识的衔接，同时更符合学生的认知规律．映射中的问题背景和例子的安排，目的是先从学生身边说起，再抽象到一般的字母，让学生体会到映射的一般性．值得注意是例题暗示了数字化的用意，看似平常，却反映了人们在探索和发明中的聪明才智．
事实上，从数学的发展史上来看，是先有函数，再通过函数概念的一般化，得到了更一般的对应关系——映射．因此映射比函数更抽象．相对而言，后一种处理方法更符合学生的认知规律，而且和初中内容的衔接也比较自然．
新教材对映射的要求是：了解映射的概念，会借助图形帮助理解映射的概念，并了解函数是两个非空数集之间的映射．因此，教学时应先从学生熟悉的对应入手，选择生活中和数学中的“一对多”、“多对多”、“多对一”、“一对一”的对应实例，通过图示，引导学生观察比较，逐步归纳概括出映射的基本特征，辨析映射和函数的关系．
需要特别指出的是，新教材中，没有涉及到象和原象的概念，更没有映射的分类，不要拓宽和加深．
新教材降低了对反函数的要求，只要求知道指数函数y＝ax和对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）互为反函数，对反函数的一般概念、判断一个函数是否存在反函数以及求函数的反函数等均不作要求．教学中，可以让学生结合图象体会，不必要对此作过多的研究，对有兴趣的学生，可以指导其阅读教材中链接的内容，结合对数函数产生的背景，体会求一个函数的反函数的步骤．
问：教材在习题中提供了很多探究拓展的内容，比如在“映射的概念”这一节的习题中提供了一个有关纽扣的阅读题，对这类习题如何处理？
答：习题中探索拓展内容设计的目的和要求，在教材前面的“致同学”中，说明得很清楚．为了激发学生探索数学的兴趣，学生在掌握基本内容后，可以选择一部分内容作探究，不要求每个学生都能解决．因此需要教师根据学生的学习情况，酌情选择、指导．
映射一节有关纽扣的问题，通过纽扣和扣眼的对应关系，不仅能使学生更加形象地理解映射的概念，而且感受了映射的分类，它让学生进一步体会到对应关系充斥在我们周围．
这一问题的处理应根据学生的情况区别对待．对基础比较薄弱的学生，可以让他们仿造该实例，举出生活中其它映射的例子；而对基础比较好的学生，既可以让他们对该实例中的两种形式的映射，作进一步的探究．
问：幂函数的内容曾一度从中学教材中删除，这次又回到了新教材中，对这一部分的教学要求是什么？
答：幂函数是我们生活中既熟悉又陌生的一类函数模型，这是因为它普遍存在于我们身边，有着广泛的实际应用；它的解析式虽然简单，但其性质却比较复杂．新教材对幂函数的要求不高，只要求会画几个特殊的幂函数（y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1，y＝x）的图象，并能通过图象了解它们的主要性质．
由于学生已经有了学习指数函数、对数函数的经历，给出幂函数的概念后，可以让学生画出五个幂函数的图象，根据图象，合作探究幂函数的性质．
至于指数的变化对幂函数图象和性质的影响，有条件的学校，可以利用Excel、几何画板等工具作动态演示，让学生有感性认识即可．
问：数据拟合是函数中的一个新内容，在以前的教材中从未涉及过，对这一部分内容的教学要求是什么？
答：教材把数据拟合列为链接内容，有条件的学校可以选择使用．本节内容主要通过实际问题说明数据拟合在预测、规划方面的应用，提高学生运用数学的能力．常见的数据拟合有：直线型、抛物线、指数型、对数型．教学时，应通过结合实例让学生体会不同函数类型增长的意义，并且让学生尝试利用Excel进行数据拟合，理解并体会利用Excel进行数据拟合的步骤：输入数据、作散点图、观察散点趋势、选择合适的模型、添加相应的趋势线、计算R2值、根据R2值对选择的模型进行调整．在选修教材中，还会系统学习直线型数据拟合——线性回归．
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3简单的逻辑联结词
例2 写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的复合命题，并指出其真假：
（1）p：3是质数，q：3是偶数；
（2）p：方程x2 x 2 0的解是x 2，
q：方程x2 x 2 0的解是x 1．
解 （1）“p或q”：3是质数或3是偶数；
“p且q”：3是质数且3是偶数；
“非p”：3不是质数（并非3是质数）．
因为p真，q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．
（2）“p或q”：方程x2 x 2 0的解是x 2或方程x2 x 2 0的解是x 1；
“p且q”：方程x2 x 2 0的解是x 2且方程x2 x 2 0的解是x 1；
“非p”：方程x2 x 2 0的解不是x 2（并非方程x2 x 2 0的解是x 2）．
因为p假，q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真．
思考
在例2（2）中，命题“p或q”与命题“方程x2 x 2 0的解是x 2或x 1”有区别吗？数学归纳法的理解
我们回顾一下本章引言中的例子．
因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？
华罗庚先生是这样解决的．他说，如果“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的东西也一定是红玻璃球”，那么在这样的保证之下，就不必费力去一个一个地摸了，只要第一次摸出的是红玻璃球，就可以立即作出正确的结论：“袋子里的全是红玻璃球”．
我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．
阅读——小孩子的“发现”
我国著名数学家华罗庚曾经这样叙述小孩子“发现”数学归纳法的过程．他说：
小孩子识数，先学会数1个、2个、3个；过些时候，能够数到10了；又过些时候，会数到20，30，…，100了．但后来，却决不是这样一段一段地增长，而是飞跃前进．到了某一个时候，他领悟了，他会说：“我什么数都会数了”．这一飞跃，竞从有限跃到了无穷！怎样会的？首先，他知道从头数；其次，他知道一个一个按次序地数，而且不愁数了一个以后，下一个不会数．也就是他领悟了下一个数的表达方式，可以由上一个数来决定，于是，他也就会数任何一个数了．
华罗庚教授高度评价了小孩的发现，他说：
设想一下，如果这个飞跃现象不出现，那末人们一辈子就只能学数数了，而且人生有限，数目无穷，就是学了一辈子，也决不会学尽呢！解释这个飞跃现象的原理，就是数学归纳法．
你能理解他的话吗？很可能你小时候也有过类似的经历，也曾发现过数学归纳法．可是，你当时并没有意识到你发现了数学，但是你今天应该能理解它．(共34张PPT)
数 列
数 列
全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）
青蛙
只数 1 2 3 4 5 …
嘴的张数
眼睛只数
腿的条数
1
2
4
2
4
8
3
6
12
4
8
16
5
10
20
…
…
…
国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要求是：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子．”国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？
15
5
16
16
28
32
84年
洛杉机 88年
汉城 92年
巴塞罗那 96年
亚特兰大 00年
悉尼 04年
雅典 …
金牌数
…
数列
数列
序号n 1 2 3 4 5 …
项 an 2 4 6 8 10 …
…
2×1
2×2
2×3
2×4
2×5
数列
数列
练习１．根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：
试判断 是否在数列（1）中？
数列
练习２．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
数列
序号n 1 2 3 4 5 …
项 an 2 4 6 8 10 …
…
2×1
2×2
2×3
2×4
2×5
数列是按照项的序号排列的一列函数值
数列的图象
数列的图象
假设一对刚出生的小兔一个月就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，如果没有发生死亡，按逐月计算，每个月初的兔子对数构成如下数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34…．
这就是为以意大利著名数学家裴波那契命名的“裴波那契数列” ．
有趣的兔子数列
裴波那契螺旋
http://www.
数列的概念和简单表示
1,
2,
22 ,
23 ,
24 ,
25 ,
26 ,
27 ,
…
, 263
18446744073709551615
陛下国库里的麦子不够啊！
OK

某种细胞的分裂
（1）传说中棋盘上麦粒数按放置的先后排成的一列数：
1，2，2 2，2 3，…，2 63
（2）某种细胞分裂问题：1，2，4，8，16，…
（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数： 15，5，16，16，28，32
（3）π 精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…
（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38
（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989， …
1、均是一列数，2、有一定次序.
观察上面6个例子它们有什么共同特点？
特点：
（1）1，2，2 2，2 3，…，2 63
（2）1，2，4，8，16，…
（6）15，5，16，16，28，32
（3）
（5）20，22，24，26，28，…，38
（4）1740，1823，1906，1989， …
3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…
★按一定次序排列的一列数叫数列.
定义
★数列中的每一个数叫做这个数列的项.
★项数有限的数列叫做有穷数列；
项数无限的数列叫做无穷数列.
各项依次叫做这个数列的第1项（首项）、第2项、…、第n项…
问题2： -1，1，-1，1是否是一数列？
问题1： 数列:1，2，3，4，5
数列:5，4，3，2，1
它们是否是同一数列？
问题3： 数列中的项和集合中的 元素
有何区别？
区别1：数列中的项可以相同，但集合中的元素不能相同。
区别2：数列中的项有一定的次序，而集合中的元素没有顺序。
区别3：数列中的项一定是数，而集合中的元素不一定是数。
其中右下标n表示项的位置序号， 上面的数列又可简记为
数列的一般形式可以写成：
如数列
1，2，3，···,n ,···可简记为：
{
}
注意：
表示一个数列.
项，
表示第
n
n
a
n
a
可简记为：
又如数列
…
…
…
…
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应.
数列的项an与它对应的序号n能否用一个公式来表示呢？
从函数的观点看：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2， …k})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3, …)有意义 ，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3), …,f(n) ,…
序号n 1 2 3 4 ……64
项an 1 2 22 23 …… 263
如数列（1）
（自变量）
（函数值）
如数列 2, 4, 6, …, 2n, …
如数列
…
…
数列的通项公式
已知数列{an}的通项公式为an=2n-1 ，用列表法写出这个数列的前5项，并作出图象.
例1.
解：
n 1 2 3 4 5
an =2n-1
1
3
5
7
9
数列的图象是一群孤立的点。
数列的图象有何特点？
y=2x-1
O 1 2 3 4 5 6 7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
an=2n-1
1、通项公式法
2、列表法
3、图象法
｛
问题1：数列的表示法：
问题2：写出这个数列的第10项？
问题3：2005是这个数列的项吗？2006呢？
∴ n=1003.5 N*
∴ 2006不是这个数列的项。
解：设2006是此数列的项，则
2n-1=2006
例2. 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1) 1，4，9，16；
找出项an与序号n的关系。
关键是什么？
an=n2
练习：
(2) -1, 1, -1, 1
an=(-1)n
变题1：
变题2：： 0, 2, 0, 2
an=1+(-1)n
注：给出数列的前几项，可以归纳
出不止一个通项公式。
注：并不是所有的数列都可以求出其
通项公式。高中课程标准实验教科书必修《数学5》（苏教版）教学问答
陈光立（南京外国语学校 210008）
问：如何引导学生探索正弦定理和余弦定理？
答：以往的解三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上．《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础．解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地．从这一角度看，解三角形的内容为学生运用向量工具解决三角形的度量问题留有余地，进而对运用向量解决几何度量问题奠定了基础．
基于上述认识，教科书在安排正弦定理和余弦定理的公式推导时，都用到了向量的方法．本章在得到正弦定理的猜想后，提出了关于正弦定理证明的四条途径，意在引导学生尝试探究，经历证明的过程，领悟数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想，有利于发展学生的思维能力．教学中，拟结合学生具体情况点拨启发，灵活安排．
关于向量方法探索正弦定理的教学，可从三角形中最基本的向量关系式=+入手，提出“如何将这个向量关系式转化为数量关系式”的问题让学生讨论．学生容易由“数量积是实施向量等式向数量等式转化的有力工具”想到用“点乘”的方法，至于“点乘”哪个向量，可以充分让学生尝试探究．例如，在等式两边同时“点乘”，可得a=ccosB+bcosC，这就是射影定理（见习题1.2第7题）；若等式两边同时平方，即两边各自“与自己点乘”，可得a2=b2+c2-2bccosA，这就是余弦定理；如果要想得到两条边与它们所对角之间的关系，就要让第三条边“消失”，那就只能在向量关系式的两边同时“点乘”与垂直的向量，于是可以得到 + ＝0，进而再分类讨论推得正弦定理．这样，用向量方法证明正弦定理的“瓶颈”就不难解决了．
问：怎样处理已知两边及其中一边的对角解三角形的问题？
答：利用正弦定理可以解决两类解斜三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
由于x∈(0，180°)时，sinx=m(0＜m＜1)有两解，以及三角形中“大边对大角”的关系，所以第二类问题会出现无解、一解或两解的情况．教学中，可让学生从“已知a，b，A，画三角形”入手，通过画图的过程来寻找a，b，bsinA三者的大小与所画出三角形的个数之间的关系，再结合课本的例题讲解，让学生感悟分类讨论的必要性和方法，并学会严谨规范的表述．教学中要避免抽象的讨论，更不要将所谓的“规律”让学生死背套用．教科书要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，而不必在恒等变形上进行过于烦琐的训练．因此，在教学中应为学生体验数学解决问题中的作用，感受数学与日常生活的其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力创造条件．例如设计一些开放性、探究性题材，让学生自行探索解决，或由学生自己寻找应用性、研究性问题（包括实地测量等），并建立斜三角形模型加以解决．
问：怎样突出数列与函数的内在联系？
答：《标准》把数列视为反映自然规律的基本数学模型，要求在教学中通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种表示方法，特别指出要体现数列是一种特殊函数，通过列表、图像、通项公式表示数列，把数列融于函数之中．
数列为学生提供了离散函数的数学模型，将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数相联系起来，有助于提升学生对函数思想的理解水平．教学中，让学生在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，既突出了问题意识，也有助于对数学本质的认识．
本章在引入数列的概念之后，安排了“根据数列的通项公式写出它的前5项，并作出它的图像”和“写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是……”两类例题，就是要学生领悟数列中“项an”与“项数n”之间对应关系的函数思想，借助它与图像的联系，理解数列的通项公式an＝f (n) 就是关于自变量n的函数解析式．在等差数列和等比数列中也分别安排了相应的例题和思考，指出等差数列的通项公式是关于n的一次式，等比数列的通项公式是一个常数与指数式的乘积，并画出了相应的图像．这样，从函数的观点、模型的观点、连续与离散之间关系的角度来认识数列，突出了数列的本质．
问：为什么教科书不提等差中项和等比中项的概念？
答：针对以往数学教学中的“双基异化”倾向，《标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度．这体现了《标准》在内容处理上的一个原则：删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容．因此，数列教学中要改变传统的在纸上演化题型，花样翻新地搞偏题、怪题的做法，注重应用，关注学生对数列的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题的能力．基于上述认识和数学教学应“强调本质，注意适度形式化”的理念，所以教科书不提等差中项和等比中项的概念，只是在习题中作了介绍．实际上，相对于数列的通项公式和前n项和公式而言，等差中项和等比中项并不是数列知识链上的重要一环，学生只要了解就可以了，没必要刻意强调两个数的等差中项（等比中项）的概念及相关训练．教科书在 “2．2．2等差数列的通项公式”中，安排了四个例题（例2—5）从不同侧面揭示等差数列的本质属性.特别是例5说明:“{an}是等差数列 an=(n≥2)”．它反映了等差数列中每一项与它前后两项的密切关系．也就是说，等差数列中从第二项起（有穷数列的最后一项除外），每一项都是它前后两项的“等差中项”．在本模块第3章《不等式》中，还将出现两个正数的“算术平均数”和“几何平均数”的概念，显然，它们与等差中项、等比中项的概念是一样的．
值得指出的是，在等差数列和等比数列的教学中，不要刻意追求解题技巧，不要补充所谓的“性质”让学生死记硬套．应引导学生从定义出发，自主探究通项公式和前n项和公式，经历从特殊到一般、从具体到抽象的类比和归纳过程，关注合情推理，领略“倒序相加”和“错位相减”方法的魅力，感悟化“多”为“少”的转化思想．
问：不等式教学中如何培养学生的数学建模能力？
答：以往的不等式内容，比较关注不等式的解法．《标准》强调不等式是刻画现实世界中事物在量上的区别的一种工具，是描述刻画优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探讨．新课程淡化了解不等式的技巧性要求，突出了不等式的实际背景及其应用．例如，线性规划问题没安排在解析几何中作为直线方程的应用来处理，而是作为不等式的应用来处理，突出了不等式的几何意义及在解决优化问题中的作用，为学生理解不等式的本质，体会优化思想奠定了基础．与传统教材比较，本章一开始增加了一节“不等关系”．教科书提供了丰富的实际背景，让学生感受在现实世界中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象，建立数学模型，意在突出把学生“经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程”放在首位，培养学生的数学建模能力．教学中，还可以让学生根据自己的生活经验，从熟悉的例子出发，挖掘、发现富有时代气息的素材，通过分析其中的基本数量关系（特别是不等关系），建立不等式模型，加深对用不等式刻画现实世界中不等关系的认识．关于简单的线性规划问题的教学，应从实际情境中抽象出二元一次不等式组模型，而不是像以往那样从纯数学的角度提出问题，要强调不等式组的几何意义，使学生能用平面区域表示二元一次不等式组，从而进一步体会到数形结合的思想的实质及其重要性．由于一般的最优整数解的问题比较复杂，在教学中不作要求．
问：教学中如何渗透数学文化？
答：数学是人类文化的重要组成部分．数学文化具有十分丰富的内涵，它表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面．通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识．根据《标准》中“渗透数学文化，体现人文精神”的要求，教科书通过“链接”、“阅读”、“探究”、“问题与建模”等栏目，以及章首语、章头图、探究习题等形式体现和展示数学文化．如“秦九韶的三斜求积”、“斐波那契数列”、“鹦鹉螺壳花纹”、“雪花曲线”、“教育储蓄的受益与比较”、“线性规划问题的数学模型”等．教学中，应结合相关的教学内容，引导学生在学习数学知识的同时，赏析数学家的故事以及数学发展过程中的趣闻逸事和史料，接受数学文化的熏陶，形成良好的数学情感体验，全面提高数学素养．
参考文献
[ 1 ] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）． 北京：人民教育出版社，2003．
[ 2 ] 数学课程标准研制组．普通高中《数学课程标准(实验) 》解读． 南京：江苏教育出版社，2003．患 病 未患病 合 计 患 病 未患病 合 计
吸 烟 37 183 220 吸 烟 24.77669903 195.223301 220
不吸烟 21 274 295 不吸烟 33.22330097 261.776699 295
合 计 58 457 515 合 计 58 457 515
c2检验 c2值（2×2）
0.000572474 11.86341731
未感冒 感 冒 合 计
使用血清 258 242 500
未使用血清 216 284 500
合 计 474 526 1 000
c2值（2×2） a=0.01时c2值 概率
7.075131155 6.634896712 0.0078161103
有 效 无 效 合 计
口 服 58 40 98
注 射 64 31 95
合 计 122 71 193
c2值（2×2） a=0.1时c2值 概率
1.389630672 2.705543971 0.2384676521
有 效 无 效 合 计
复方江剪刀草 184 61 245
胆黄片 91 9 100
合 计 275 70 345
c2值（2×2） a=0.001时c2值 概率
11.09780785 10.82756622 0.0008642983(共13张PPT)
推理案例赏析
案例教学
1. 教材展开线索
对数学发现活动中思维过程的分析；
推理方法的综合运用；
对推理方法更深层次的考察；
4.综合运用： 推理案例赏析(1)
结论（1）
数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。
合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用。
结论（2）
演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
结论（3）
结论（３）
●合情推理和演绎推理之间具有什么样的联系和差异？
●合情推理和演绎推理是怎样推动数学发现活动的？
■上面的数学活动是由哪些环节构成的？
■在这个过程中提出了哪些猜想？
■提出猜想时使用了哪些推理方法？
■合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
问题串：反复出现的问题
采用案例教学的理由
综合性课题：思维方法的学习离不开对思维过程的分析
避开空洞说教
重要的是让学生感受和体验，体会到各种思维方法的特点和关系，而这些特点和关系是很难作出概括的
有利于学生的参与
让学生体会到数学活动是一种探索性的活动，知道分析思维过程的重要，增强反思的意识，教学的目的就算达到了．r n M N H(r; n, M, N)
0 5 10 30 0.1087954191
1 5 10 30 0.3399856848
2 5 10 30 0.3599848427
3 5 10 30 0.1599932634
4 5 10 30 0.0294724433
5 5 10 30 0.0017683466
r n M N B(n, p)
0 5 10 30 0.1316872428
1 5 10 30 0.329218107
2 5 10 30 0.329218107
3 5 10 30 0.1646090535
4 5 10 30 0.0411522634
5 5 10 30 0.0041152263数学归纳法公理
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理（mathematical induction）：
如果
（1）当n取第一个值n0（例如n0 1，2等）时结论正确；
（2）假设当n k（k N*且k≥n0）时结论正确，证明当n k 1时结论也正确．
那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
例1 用数学归纳法证明：等差数列{an}中，a1为首项，d为公差，则通项公式为
an = a1 + (n 1)d． ①
证 （1）当n = 1时，左边 = a1，右边 = a1 + 0 × d = a1，等式①成立．
（2）假设当n = k时等式①成立，即
ak = a1 + (k 1)d，
那么，当n = k + 1时，有
ak + 1 = ak + d = a1 + (k 1)d + d = a1 + [(k + 1) 1]d．
这就是说，当n = k + 1时等式①也成立．
根据（1）和（2），可知对任何n N*，等式①都成立．
在上面的证明中，步骤（1）确认了当n = 1时等式成立，进而再根据步骤（2），n = 1 + 1 = 2时等式也成立；由于n = 2时等式成立，再根据步骤（2），n = 2 + 1 = 3时等式也成立．这样递推下去，就知道n = 4，5，6，…时等式都成立．从而保证了命题对任何n N*都成立．由此可见，数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础；步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤是缺一不可的．(共20张PPT)
uuxjh@public1.sz.
苏州大学数学科学学院 徐稼红
（1）导数的概念：平均变化率，瞬时变化率——导数
（2）导数的运算：常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导数，简单复合函数的导数
（3）导数在研究函数中的应用：单调性，极值点，最大值与最小值
（4）导数在实际生活中的应用
（5）定积分：曲边形的面积，定积分，微积分基本定理
内容
导数
定积分
实际背景
导 数 的 概 念
导 数 的 运 算
导 数 的 应 用
定积分的概念
微分与积分的关系
结构
（1）导数的概念、运算及其应用；
（2）利用微积分基本定理计算定积分。
难点
重点
复合函数的导数，定积分的概念，微积分基本定理
实 际 背 景
平均变化率
瞬时变化率
导 数
导 言
数学刻画
平均变化率
1．导数的概念
如何刻画变量变化的“快”与“慢”？
直观描述
曲线的“陡峭”程度不同
如何刻画“陡峭”程度
数学对象：平均变化率（斜率）
生活实例——导言
几何背景
导言
（1）平均变化率
曲线上一点处的导数
(直观描述/探究/数值分析)
（2）瞬时变化率——导数
y
O
x
l1
l2
P
如图所示，直线l1，l2为经过 曲线上一点P的两条直线．
（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；
（2）在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？
（3）在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线l4吗？
割线→切线
切线的斜率
瞬时速度和瞬时加速度
运动物体位移S(t)的平均变化率 ,如果当 t无限趋近于0时， 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t = t0时的
瞬时速度。
运动物体速度的平均变化率 ,如果当 t无限趋近于0时， 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t = t0时的瞬时
加速度。
一般化——导数
函数在某一点处的瞬时变化率
导数
设函数y = f (x)在区间(a，b)上有定义，x0 (a, b)，若 x无限趋近于0时，比值
无限趋近于一个常数A，则称f (x)在点x = x0处可导，并称该常数A为函数f (x)在x = x0处的导数(derivative)，记作f '(x0)．
注意：书写格式问题
2．导数的运算
（1）求函数的导数的流程图——
求导流程图
（2）会根据定义求y = c， y = x， y = x2， y = x3， y = ，y = 的导数。
（3）基本初等函数的求导公式——
求导公式
（4）函数的和、差、积、商的导数——会用求导法则，证明不作要求
（5）复合函数f(ax + b)的导数
3．导数在研究函数中的应用
（1）单调性——对于函数y = f(x)：
如果在某区间上f '(x) > 0，那么f(x)为该区间上的增函数；
如果在某区间上f '(x) < 0，那么f(x)为该区间上的减函数．
注意：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f '(x) > 0吗？
（2）极值点——函数的局部性质
（3）最大值与最小值——函数的整体性质
4．导数在实际生活中的应用
（1）案例1——无盖长方体容积问题
录像
（2）案例2——罐头设计问题
（3）案例3——电功率问题
（4）案例4——照度问题
（5）案例5——边际成本及利润问题
5．定积分
提出问题及呈现方式——
从微积分的两个基本问题出发，提出课题
从特例情形(曲线为直线、折线)引入一般性问题
用以直代曲的方法求曲边图形的面积——
提出3种以直代曲的方案，以其中之一为例说明
算法思想
逼近思想
（1）曲边梯形的面积
提出问题
按“分割、以直代曲、作和、逼近”求积分
规律？
呈现方式
给出结论
特例验证
推导
阅读
（2）定积分
定积分的定义
（3）微积分基本定理
随机模拟
关于随机模拟
注重直观，贴近生活 / 为何不先引入极限概念
有限与无限 / 形的逼近与量的逼近
借助现代技术
1．重视过程
提出问题的过程 / 思考问题的过程
解决问题的过程 / 概念形成的过程
2．揭示本质
x = 1、x = 2、…处的导数
x = a 处的导数
导函数（导数是x的函数）
x = x 处的导数
3．导函数的概念
4．注重算法思想（求导步骤）
5．有效改进教与学的方式（求导公式与求导法则的教学）
6．注重教材的整体贯通
P22练习6为复合函数的导数打伏笔
P24阅读将复合函数的导数与函数图像变换相贯穿
P27习题13为定积分打伏笔
P38阅读是圆锥曲线部分的补充说明(光学性质)
P57习题17与必修2中立体几何中的习题相呼应
7．感受数学研究的模式和数学知识的结构
导数——定义
运 算 法 则
导数的运算
积分——定义
运 算 法 则
积分的运算
微分与积分的关系相关系数r的建立
先求使Q(，) (yi xi )2取最小值时的，的值．
Q(，) (yi xi )2
{(yi ) [ ( )] (xi )}2
(yi )2 n[ ( )]2 2(xi )2
2[ ( )](yi ) 2[ ( )](xi )
2(xi )(yi )
(yi )2 n[ ( )]2 2(xi )2
2(xi )(yi )
(yi )2 n[ ( )]2(xi )2[ 2 2 eq \s\do2(\f((xi )(yi ),(xi )2))]
(yi )2 n[ ( )]2 (xi )2[ eq \s\do2(\f((xi )(yi ),(xi )2))]
eq \s\do2(\f([(xi )(yi )]2,(xi )2))
n[ ( )]2 (xi )2[ eq \s\do2(\f((xi )(yi ),(xi )2))]
(yi )2 eq \s\do2(\f([(xi )(yi )]2,(xi )2))．
上式中后两项与，无关，前两项为非负数．
所以当且仅当前两项的值都为0时，Q(，)取最小值，即有
此时
Q(，) (yi )2 eq \s\do2(\f([(xi )(yi )]2,(xi )2))．
直观上看，Q(，)的最小值越接近于0，线性回归模型就越合理，即(yi )2 eq \s\do2(\f([(xi )(yi )]2,(xi )2)) 越接近于0越好，也即eq \f((xi )(yi ),\r((xi )2\o(,\s\up7(n),\s\do6(i = 1)) (yi )2)) 越接近于1越好．
这说明，eq \f((xi )(yi ),\r((xi )2\o(,\s\up7(n),\s\do6(i = 1)) (yi )2))可以表示x与y的线性相关和程度．我们将其称为这n对数据的样本相关系数，简称相关系数（correlation coefficient），记为r，即
r = eq \f((xi )(yi ),\r((xi )2\o(,\s\up7(n),\s\do6(i = 1)) (yi )2)) = ．
| r | 越接近于1，x与y的线性相关性越强；
| r | 越接近于0，x与y的线性相关性越弱．
那么，相关系数r的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r进行显著性检验．步骤如下：
（1）提出统计假设
H0：变量x，y不具有线性相关关系；
（2）以0.05作为小概率的标准，根据小概率0.05与n 2在相关系数检验表中查出r的临界值r0.05；
（3）计算样本相关系数r；
（4）作出统计推断：如果| r | r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；如果≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．
此和为01 0 0 -1 = 0 -1
0 0.5 1 0 0.5 0
0 -1 1 0 = 0 -0.5
1 0 0 0.5 1 0
1 0 0 -1 0 1 1 0 0
0 0.5 1 0 0 0 1 1 0
= 1 0 0 0 -1 -1 0 = 0 0 -1 -1 0
0 0.5 0 1 1 0 0 0 0.5 0.5 0 0
0 -1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0.5 0 0 1 1 0
= 0 -1 0 1 1 0 0 = 0 0 -0.5 -0.5 0
1 0 0 0 0.5 0.5 0 0 1 1 0 0(共14张PPT)
《三角函数》的定位（实验教材1）
《三角函数》的定位（实验教材1）
提供背景：广泛存在的周期性现象，
提出问题：如何用数学的方法来刻画这种变化的规律？
明确任务：研究三角函数(刻画周期性变化规律的数学模型)的意义，性质和应用.
学习的起点是：三角函数究竟是什么？
教材的定位是：学习和研究描述周期现象的重要数学模型：三角函数；
《三角函数》的定位（苏教版）
《三角函数》的定位(苏教版)
教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程
提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子
提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动
明确任务：建构这样的数学模型，并提出了研究纲领
教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）研究
苏教版《三角函数》编写特点
作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点：
1.采用以问题链为线索的呈现方式
2.以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容.
3。突出周期性
4。加强几何直观，强调形数结合
例子:任意角的三角函数(实验教材1)
培训光盘.doc
问：为什么要讨论锐角三角函数呢？
回答可能是“为了建立任意角的三角函数的概念”。
问：为什么要建立任意角的三角函数的概念呢？
回答可能是因为任意角的三角函数正是“刻画周期性现象的数学模型”。
问：为什么任意角的三角函数可以刻画周期性现象呢？
可能的回答只能是：你们研究了三角函数的性质就知道了。
其实还有一个更尖锐的也是更重要的问题，今编者和学生都无法回答。这就是：
问：研究周期性现象时，你怎么会想到“锐角三角函数”的？
由此可见，尽管学生看起来是参与了建立三角函数概念的活动，但是他们并不知道这些活动的意义！造成这种现象的根本原因，是由教材的定位造成的。因为教材是对三角函数的研究，而不涉及这个数学模型是如何从对周期性现象的研究中被建构出来的过程。
任意角的三角函数（苏教版）
例子：任意角三角函数(苏教版)
问题串
怎样建构刻画周期性现象的数学模型
怎样刻画圆周上点的运动
怎样表示圆周上的点
α，r，x，y之间有什么联系？
用怎样的数学模型建立（x,y）与（r,α）之间的关系？
怎样将锐角三角函数推广到任意角？
“用怎样的数学模型模型建立（x,y）与（r,α）之间的关系？
这就是考察锐角三角函数的“理由”。
那么，又怎么想到要研究（x,y）与（r,α）间的联系的呢？
这是因为用（r,α）（x,y）都可以表示圆周上的点。
那么，为什么要表示圆周上的点呢？
这是为了刻画圆周上点的运动。
那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？
这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”
为什么要研究周期现象呢？
因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型。”
这里使用的这是问题串，它揭示了建构数学模型的思维过程，在问题串的指引下，学生真正主动地参与了建构活动。(共19张PPT)
苏州大学数学科学学院 徐稼红
uuxjh@public1.sz.
内容
（1）随机变量及其概率分布；
（2）超几何分布；
（3）独立性；
（4）二项分布；
（5）随机变量的均值与方差；
（6）正态分布。
结构
概 率
随机变量
独立性
概率分布
数字特征
超几何 分布
二 项 分 布
正 态 分 布
条 件 概 率
事件 独立性
数 学 期 望
方 差
（1）离散型随机变量分布列及其均值、方差；
（2）超几何分布、二项分布；
（3）事件的独立性。
难点
重点
（1）事件的独立性；
（2）正态分布。
学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题，形成用随机观念观察、分析问题的意识。
随机观念的一次提升，定性到定量的一次提升。
随机现象的两个基本特点：
① 结果的随机性；② 频率的稳定性。
1．随机变量及其概率分布
了解随机现象是指：
① 知道这个随机现象中所有可能的结果；
② 知道每个结果出现的概率。
随机变量：
试验结果的集合——→实数集合
随机变量
给出了随机变量，了解随机现象就是：
了解这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率。
如果随机变量的取值是离散的，那么了解它的分布列就了解了这个随机变量的所有取值和取值的概率，从而了解了这个随机现象。
了解随机现象就是要了解分布。
产品抽样检验有两类：有放回抽样与不放回抽样。与此相应的，摸球模型也假定为有放回与不放回摸球两种。
2．超几何分布与二项分布
典型问题：
假定某批产品共有N件，其中有M件次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出的n件产品，那么次品数X的概率分布如何？
分析一
分析二
条件概率——引例、变例
考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子的性别为(男, 男),(男, 女),(女, 男),(女, 女)的可能性是一样的。
3．独立性
以A表示事件“随机选取的一个家庭中有一男一女”，则P(A) = ，但是如果预先知道这家庭中至少有一个女孩，那么上述事件的概率为 。
分析
几何概型
事件的独立性——
若事件A，B满足P(A|B) = P(A)，则称事件A，B独立．
引例
反例
注意：
（1）若事件A与B独立，则下列各对事件也相互独立：{ , B}，{A， }，{ ， }
（2）两个事件A与B相互独立，三个事件A，B，C两两独立，三个事件A，B，C相互独立的区别。
证明
离散型随机变量的均值——
分布列虽然完整地描述了随机变量，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况。因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括的描述随机变量，这些量多是某种平均值。
4．随机变量的均值与方差
引例
由定义可求出超几何分布和二项分布的数学期望的计算公式：
当X~H（n，M，N）时，E(X) = ；
当X~B（n，p）时，E(X) = np．
定义：设X为一离散型随机变量，它取值x1, x2, x3,…, xn的概率为p1, p2, p3,…, pn，则称
x1p1 + x2p2 + … + xnpn
为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或 ．即E(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn。
证明
离散型随机变量的方差和标准差——
设X为一离散型随机变量，它取值x1, x2, x3,…, xn的概率为p1, p2, p3,…, pn，则(xi )2（ E(X)）描述了xi（i 1，2，…，n）相对于均值 的偏离程度，故
(x1 )2p1 + (x2 )2p2 + … + (xn )2pn．
(其中pi≥0，i 1，2，…，n，p1 p2 … pn 1)
刻画了随机变量X与其均值 的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或 2．X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即 = ．
离散型随机变量的方差和标准差——
方差也可用公式V(X) = 计算。
由定义可求出超几何分布和二项分布的标准差的计算公式：
当X~H（n，M，N）时，V(X) =
当X~B（n，p）时，V(X) = np(1 p)．
正态分布是概率论中最重要的一种分布。一方面，它是自然界中最常见的一种分布，例如，测量的误差，炮弹弹落点的分布，人的身长、体重，农作物的收获量，工厂产品的尺寸（直径、长度、宽度、高度）……，等等都近似服从正态分布。一般来说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标报从正态分布。
另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，另外一些分布又可通过正态分布来导出，因此在理论研究中，正态分布十分重要。
5．正态分布
正态密度曲线图象的特征；
正态密度曲线——
函数表达式P(x) = ，x R；
Excel
标准正态分布N(0, 1)及3 原则（在一次试验里，x几乎总是落在( - 3 , + 3 )中（99.73%））；
会查正态分布表，（了解）任一正态分布X~N( ， 2)，可通过 可以转换为标准正态分布Z~N(0，1)。
随机性、直观性、应用性。
超几何分布、二项分布、正态分布的计算；
模拟的思想。
注意本章内容的特点
技术的使用
改进教与学的方式
重视活动，注意交流，突出应用(实例)。
Excel(共7张PPT)
虚数的引入
复 数
复数的表示
复数的运算
代数表示
几何表示
代数运算
几何意义
数系的扩充
复数的四则运算
复数的几何意义
意图：选修内容，认知能力的提高，运用数学自身特点建构数学知识的尝试，几何意义成为对其认识的深化的检验；与实数几何意义认识的类比(也是本节的节首问题)，认识问题的思想方法的统一：方法论意义；数学史上的顺序
1．章首语：从数学内部提出问题。
2．从社会发展和数学内部对数的扩展的需要两个方面说明。
3．复数集的扩充。
4．与原教材的区别。数学教学设计漫谈（二）
怎样设计初始问题
李亦通
前面我们已经讲过，数学教学设计的本质就是问题设计，设计好一个初始问题，就从根本上设计好了一节课。
可是，一个好的初始问题又是怎样产生的呢？
这就是我们要讨论的主题。
对初始问题的要求
一个好的初始问题，必须具备如下的条件：
1． 初始性。初始问题是作为数学教学起点的问题，如果不具备初始性，就试必会掩盖初始问题产生以前的思维过程，这当然是违背过程性教学原则的。因此，初始问题必须是能导致数学概念、定理、法则、方法得以产生的问题。
2． 载体性。初始问题的作用不仅仅在于“创设问题情境”和“引入新课”，它不只是课的开场锣鼓，而且是戏的本身。由初始问题所引发的思维活动（包括解决初始问题的活动）构成了课的主体。因此，初始问题应该是课的载体和框架。为了做到这一点，初始问题必须具有很大的思维容量，有足够多的思维层次。这不仅要求问题具有探索性，非常规性，而且要具有较好的易起动性，即有简明的形式，宽广的入口，让学生感到题目并不难，很容易上手。当然，当他进入以后，就会问题很深邃，“别有洞天”了。
3． 结构性。好的初始问题不应该是一个孤零零的问题，它应该与数学知识体系血肉相连，应该具有深刻的背景（例如蕴含着丰富的数学思想）、它能揭新旧知识的内在联系。正因为如此，它的解决过程才能引发出有价值，有意义的思维活动与成果（其中包含我们发现的新知识）。
初始性，载体性，和结构性是每一个好的初始问题必备的条件。除此以外，我们还希望它具有情景性，形式上的简明性甚至具有哲理性和艺术性等等特征。
两类初始问题
总的来说，导致新的数学知识产生的渠道有两条：笫一是在应用数学解决实际问题的过程之中；笫二是在进一步完善和发展数学知识结构的活动之中。
这实际着也是我们寻找初始问题的渠道。
因此，在备课时我们可以从两类初始问题：即应用型的初始问题和结构型的初始问题人手进行教学设计。
应用型初始问题
以应用问题形式出现的初始问题，称为应用型初始问题。
教科书往往是按照概念—法则（定理）--应用的程序编排的。就实际上构成了“预备知识—基本理论—基本理论的应用”的单元教学结构。例如，对于同类项合并这个课题来说，课本就是按照同类项的概念—合并同类项的法则—应用（整式的加减法和求值等问题）的结构编排的
当然，这种编排程序是为了满足演绎的展开（表述）数学知识的需要而采用的。实际上在很多情况下，新的知识是在解决应用问题的过程中发现的。因此，如果把教科书中的编排反过来，即把课本中某些作为知识应用的（或巩固新知识的）例题、练习题放到初始问题的位置（就如同我们在《同类项教学设计》中所做的），在不讲概念，不讲法则的前提下，让学生去解决它，就会逼着学生去发现新法则（性质、定理），去建立新概念，就会逼着学生去探索，去尝试解决新问题——而这一切正是我们所希望看到的。这样一来，就形成了如下的教学程序
解决问题 表达的
的活动 需 要
这实际上就是《同类项教学设计》的形成的背景。
具体地，在备课时可以尝试选取课本中的例题、习题作为初始问题的原型来进行教学设计。例如，同类项教学设计中的问题1、2就是从习题中选用的。`
又如在《三角形内角和定理》的教学设计中，就可以把定理的简单应用当作初始问题。
教案4 三角形内角和定理
1． 提出初始问题
在△ABC中，若∠A=600，∠B=700，你能否求出∠C的度数？
在解决问题1的过程中就自然地展开探索活动，例如可以问：∠A、∠B、∠C之间有什么样的关系呢？
让我们来测量、观察、试验！
然后提出猜想，进行证明等等。
一般地说，应用型初始问题总具有较好的载体性。它既有足够的思维容量又较容易上手。但是在结构性方面却较有欠缺。例如，上面的问题1就是一个孤立的问题，很难看出它与整个知识结构的联系，使人感到提出这个问题的理由似乎不充分----就种结构性上的缺陷，势必会影响它的初始性，而这一点是必须加以改进的。
结构性初始问题
教案3 圆与圆的位置关系
1． 提出初始问题
我们已经研究过点与圆、直线与圆的位置关系，现有请大家想一想，圆与圆可能具有哪几种集团关系呢？（下略，详见下文）
这里的初始问题是从原有的知识结构中，通过类比的方法提出来的，这类问题就称为结构型初始问题。
事实上，从原有的知识结构出发，通过逻辑的或审美的思考，提出研究课题，是数学家在数学发现活动中经常使用的方法。因此，在教学设计中，我们也可以将数学课组织为解决结构型的初始问题的活动。
例如，在学习三角形内角和以后，提出多边形的内角和的问题；在学习过全等三角形以后，提出相似三角形的问题；在学习了乘方以后，提出开方的问题等等。由于这类问题具有良好的结构性，因此，很容易把学习活动组织为有意义的语言学习，从而提高学习的效率。因此，寻找结构型初始问题也是一种进行教学设计的重要方法。例如，在《圆周角定理》的教学设计中，就很难找到一个应用型的初始问题，让学生在解决这个问题的过程中去“发现”圆周角定理，这是因为这个发现活动的跨度太大，难以在一节课中完成。同时，这类应用型的问题也难以揭示圆心角与圆周角的逻辑联系。所以可以采用结构型初始问题的设计。
教案6 圆周角定理
1． 提出初始问题。
（1） 提供问题背景。如图1--（1），∠AOB为⊙O的圆心角，∠AOB如何度量？（强调∠AOB的大小由AB弧的度数唯一确定了）
（2） 一般化提出问题。如果∠AOB的顶点不是圆心，而是圆内任意一点P，∠APB如何度量？（图1--（2））
——它的大小能由AB弧的度数唯一确定吗？
（3） 特殊化变更问题。
当P点变动时，∠APB的大小在变化，我们来适当地限制P点的位置。
（引导学生提出各种方案,下面是方案之一）
问题(l)中的∠AOB与(2)中的∠APB相比,特殊在什么地方呢
----∠AOB的两边都通过圆心O。
那么我们可否先考虑介于(1)和(2)之间的情况,即O在PA边上的情况呢 (图l-(3))
(4)再特殊化。当P在AO上运动时，∠APB仍然不是定值,能否考虑更特殊的情况;比如点P在圆周上(直径的端点)图l—(4)。这时容易得到∠P=∠AOB。
(5) 一般化。我们已经解决了问题(2)的特例,现在回到比较一般的情况,例如:圆心不在角的任何一边上,又有什么结论呢 (图l-(5))（仍然有∠P=∠AOB）。
(6) 再一般化。(可以留给学生课外思考)略。
回到问题(2)。能否将同题(2)转化为已经解决了的问题 这时(5)中的结论是
否仍然成立 (不成立)(图1-(2))。
至此,我们发现了一类角及其度量方法。这类角的顶点在圆周上,两边都和圆相交,我们把它们称为圆周角。
给出圆周角的度量方法即圆周角定理(下略)。
对初始问题的加工
在找到了初始同题的原型后,还要进一步加工。具体地,其加工的主要方向是:
1．对应用型问题要尽可能地让它反映出新旧知识的联系,为它提供知识结构的背景,改善其结构性。
2.对结构型同题,则要尽可能地具体化,使之具有应用的形态,改善其载体性。
下面是对教案4中初始问题进行加工后,得到的教学设计。
教案4—1三角形内角和定理
1,初始问题
（1）你能判定图2(1)中直线I1与直线I 2的位置关系吗 ,
I1与I2平行吗 为什么 I 1与I2相交吗 为什么
(让学生讨论要否定通过直观(或延长后直观)作出判定的想法。“逼”着学生用平行线的判定或性质定理作出判定。这时图中就会出现截线I和相关的一些角。)
(2)如果I1与I 2相交,能求出它们的交角吗
(假设I1与I2的交点很远很远,以此否定直接测量交角的方法。如果学生提出先平移，再测量的方法，搡出光平秽,再澜量的方法,则予以肯定。但仍然要求他想出更简捷的方法。)
可以把图示意地画为(2),使问题明确为;
(3)已知∠1,∠2,如何求出∠Q,(事实上,这就是原教案4中的初始间题l了)
总之,教师要“逼”着学生去发现三角形内角和定理----当然,事实上我们已经为他们的发现活动提供了必要的帮助了。
说明:这里的初始同题可以看成对原教案中的问题l进行加工后得到的。由于问题(l)为(2)提供了总的知识背景,就突出了三角形内角和定理与平行线理论间的联系,并对学生的发现活动作了正确的引导(这种引导不同于掩盖思维过程的暗示),从而有效地改善了初始问题的结构性。
下面我们再从(梯形的中位线》的备课过程来看应该怎样去设计初始问题。
教案7 梯形的中位线
分析;设计的主导思想是想让学生自己发现“梯形中位线定理”。当然可以通过类比,由三角形的中位线定理提出结构型的初始问题,让学生发现梯形的中位线定理,但执教者不打算采用这种方案(当然这也能构成一节很好的课)。注意到梯形的中位线定理是在平行线等分线段定理后讲的,因此想通过“研究逆命题”的形式来提出初始问题(结构型),但觉得这样太干巴了,因此希望为它加上“应用形态”的“包装”。这样就产生了一个初始问题:
问题l 如图3,AD ∥BC，E为AB的中点，现在需要过E作BC的平行线,应该作？
(利用同位角作吗 太麻烦了,能不能简单些 )
最好能在DC上找到一点F，只要联结EF,就能保证EF∥BC。F点应在什么位置上呢
——F就是DC的中点!
为什么 你是如何想到的 （假设EF ∥BC,AE=EB，,就一定有DF=FC）
这是有道理的猜想,你能证明它吗？
(即由AD∥BC,AE=EB，DF=FC，证明EF ∥BC)
为了使问题1具有应用的背景,我们又对它作了进一步的包装。
问题l。,某城市的交通干道如图4所示,其中AD与BC是互相平行的。现计划从AB的中点E开始，构筑一条与BC平行的道路,问应当如何确定在DC上的施工点F
(问题l,解决以后,再提出计算施
工量即求EF的长度的问题)
问题1。,与问题l相比,增加了情景性和应用背景,这是一种改进。对教
学中的初始问题而言,具有情景性当然是好事,但也不
要弄巧成拙,不要为增加情景性而过多地牺牲问题的
简明性,从而使学生的思维活动受到过多的干扰。
基本概念
（定理、法则）
应 用
（例题或习题）
预备知识
（概念）
具体的问 题
法 则 或
定 理
概 念
EMBED Artfac.Document引例
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下：
X1 0 1 2 3
pk 0.7 0.1 0.1 0.1
X2 0 1 2 3
pk 0.5 0.3 0.2 0
● 如何比较甲、乙两个工人的技术？
●
通过计算，可以求得
E(X1) = 0 0.7 + 1 0.1 + 2 0.1 + 3 0.1 = 0.6，
E(X2) = 0 0.5 + 1 0.3 + 2 0.2 + 3 0 = 0.7．
由于E(X1) < E(X2)，即甲工人生产出次品的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙好．(共35张PPT)
2．1 合情推理与演绎推理(理4)
2．1．1 合情推理
2．1．2 演绎推理
2．1．3 推理案例赏析
2．2 直接证明与间接证明(理2)
2．2．1 直接证明
2．2．2 间接证明
2．3 数学归纳法(理2)
内容（理8/文10）
结构
推 理
合情推理
(归纳、类比)
演绎推理
（三段论）
证 明
直接证明
(分析法、综合法、数学归纳法)
间接证明
（反证法）
数学文化
（公理化思想、计算机证明）
关于数学（思维）方法的正面阐述；
对推理和证明方法的概括和总结；
对数学活动过程的考察和研究；
是数学文化教育的重要组成部分。
入口浅，寓意深；
为学生的活动提供足够大的空间，有利于学生主动参与；
结构上注重整体贯通；
突出数学本质，适度形式化；
突出数学文化价值，提高学生素养。
从最浅显的例子开始，从学生的熟悉的背景出发，寻找知识的增长点，探寻数学的本质，建构数学．
例子：
引言，从“摸球”到对探索活动的分析；
数学归纳法公理的发现。
入口浅，寓意深
引言
充分利用学生已有的生活经验和数学活动经验，提供适当的知识生长点；
设置问题串，为学生的建构活动提供了方向和框架；
提供了典型案例，唤起学生的经验，为学生的建构活动提供了素材；
教材对推理方法进行了适度形式化的概括，为学生的建构活动提供了依据。
给学生提供了足够的活动空间
把对推理方法和证明方法的研究放在数学探索活动的大背景下进行（引言、赏析）
重过程
重视方法被抽象出来的过程；
重视在数学（发现）活动中来理解和运用 数学方法。
结构上注重整体贯通（1）
结构上注重整体贯通（2）
问题串突出了建构活动的逻辑性，使学生的思维活动和知识的学习过程统一起来。
例子：
引言；
推理案例赏析。
从隐性到显性，从渗透到正面突破，教材对数学推理和证明方法进行了适度的概括；
不过分地追求形式化，更注重对数学方法的理解，如对诸如归纳、类比、演绎等都没有给出定义（例子：数学归纳法公理）；
重视案例分析，杜绝空洞说教．
突出数学本质适度形式化
注重数学推理、证明方法和生活（及其它学科）的联系；
提供了大量的阅读材料，可以帮助学生全面地认识数学，体会数学的价值．
教材注重对思维活动的分析，有助于学生形成反思的习惯，增进理性精神．
突出数学文化价值
1．了解合情推理和演绎推理 的含义．
2．能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理．
3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．
4．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的思考过程和特点．
5．了解间接证明的一种基本方法——反证法的思考过程和特点．
6．了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．教材展开的线索
2．合情推理
3．演绎推理
4．综合运用：推理案例赏析
5．教学建议
2.1 合情推理与演绎推理
1.展开线索
问题：我们怎样进行推理？
提供推理案例；●上述几个案例中的推理各有什么特点？
研究更多的案例
概括：归纳推理的形式(过程)、特点、作用
概括：类比推理的形式(过程)、特点、作用
概括：三段论的推理的形式、特点、作用
概括：演绎推理的特点、作用
概括：合情推理的特点、作用
对数学发现活动的考察：
● 合情推理和演绎推理之间具有怎么样的联系和差异？
● 合情推理和演绎推理是怎样推动数学发现活动的？
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
上述几个例子均是从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为归纳推理，简称归纳法．归纳推理的思维过程大致如下图所示：
2.合情推理（1）——归纳推理
归纳推理的一般模式
S1具有P，
S2具有P，
……
Sn具有P（S1，S2，…，Sn是A类事物的对象）
————————————————————
所以，A类事物具有P．
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间的某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．类比推理的思维过程大致如下图所示：
2.合情推理（2）——类比推理
类比推理的一般模式
A类事物具有性质a，b，c，d，
B类事物具有性质a'，b'，c'，
（a，b，c与a'，b'，c'相似或相同）
————————————————
所以，B类事物可能具有性质d'．
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
像这样的推理通常称为演绎推理，简称演绎法．三段论式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：
M — P（M是P）
S — M（S是M）
—————————
S — P（S是P）
3.演绎推理
其他演绎推理形式（不作要求）
（1）关系推理 （2）联言推理
（3）选言推理 （4）假言推理
运用三段论易犯的错误
在一个三段论中，只能有三个项
案例：数是可以比较大小的，虚数是数，所以虚数是可以比较大小的。（四项错误）
意图——
（1）对数学发现活动中思维过程的分析；
（2）推理方法的综合运用；
（3）对推理方法更深层次的考察。
4. 推理案例赏析
案例1——自然数平方和公式的推导；
案例2——棱台体积公式的推导。
结论——
结论
给学生提供足够的活动空间，充分发挥学生在数学活动中和生活中积累的经验；
对推理方法进行适度形式化的概括．
对类比、归纳等推理方法不必给出形式化的定义，但要概括出它们的思维过程；
三段论具有许多不同的格式，教学中不要补充，但课本中给出的格式应熟练掌握；
教学中要注意对真实的思维过程的分析，帮助学生形成反思的习惯．
5. 教学建议
1．教材展开的线索
2．直接证明
3．间接证明
4．教学建议
2.2 直接证明与间接证明
1.展开线索
问题：我们怎样进行证明？
● 直接证明和间接证明是如何进行的？
研究证明的案例
概括：直接证明的一般形式
概括：间接证明(反证法)的一般形式和步骤
更多的案例研究
分析法
综合法
回忆：提出问题
●直接证明和间接证明是如何进行的？
研究案例
直接证明
上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．直接证明的一般形式为：
本题条件
已知定义
已知公理
已知定理
A B C… 本题结论
2.直接证明
回忆，研究新案例
概括：综合法、分析法
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
Qn Q
…
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显成立的条件
…
反证法的证明过程：
从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定，（即肯定原命题）的过程．（否定—推理—肯定）
用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：
肯定条件p，
否定结论q
导致逻
辑矛盾
“既p又
q”为假
“若p又
q”为真
3.间接证明（反证法）
充分动用学生已有的数学活动和生活经验，在此基础上进行概括和总结；
在理解证明方法的基础上，对证明的规范要有严格的要求，要重视证明的表述；
作为重要的思维方法，综合法和分析法也是两种重要的探索方法，在教学中要注意解题思路的探索过程；
要重视方法的运用，并相信学生会在今后的运用过程中，会深化对方法的认识，并提高能力．
4.教学建议
1．数学归纳法公理的发现与理解
2．数学归纳法的运用
3．教学建议
2.3 数学归纳法
　怎样证明一个与自然数有关的命题呢？
摸球游戏
多米诺骨牌
小孩子的发现（阅读）
　数学归纳法公理
数学归纳法公理
最初的应用
初步理解
1．数学归纳法公理的发现与理解
资料
数学归纳法公理
用数学归纳法证明有关问题
理解数学归纳法公理，理解数学归纳法是直接证明的一种重要方法．
熟悉用数学归纳法证明问题的一般步骤。
2．数学归纳法的运用
例4 设n N*，f(n) = 5n + 2 3n 1 + 1．
（1）计算n = 1，2，3，4时，f(n)的值，你有什么猜想？
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
例5 在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点，问这n条直线将平面分成多少个部分？
对数学归纳法的进一步理解
数学归纳法是一种演绎的证明方法，如果从数学发现的全过程来看(即把由归纳提出猜想，也看成是数学归纳法的一个组成部分)，数学归纳法也可以看成是一种归纳的方法(所以它被称为“归纳法” )．
在数学活动中帮助学生理解数学归纳法公理；
在理解数学归纳法公理的基础上，运用数学归纳法；
帮助学生准确地掌握用数学归纳法的程式；
在例题教学中要把重点放在“递推步”上．其关键在于让学生弄清“归纳假设”是什么？（即当n = k时，命题是什么？）要证明的又是什么？（即当n = k + 1时，命题是什么？）
3．教学建议(共14张PPT)
苏州大学数学科学学院 徐稼红
uuxjh@public1.sz.
内容 （1）独立性检验；（2）回归分析。
结构
背 景
独立性检验
抽 取 样 本
提出统计假设
运 用 2 检 验
线性回归分析
抽 取 样 本
提出统计假设
运 用 r 检 验
作出统计推断
（1）用 2统计量判断两个分类变量之间是否存在一定的关系；
（2）两个数值型变量之间线性回归方程的建立及模型的可靠性。
难点
重点
（1） 2的意义及推导；
（2）相关系数r的意义。
教材按“问题(情境、剖析)→理论(提炼、一般化)→案例(分析、操作)”的方式展开。
特点
展开方式
（1）体现“具体→一般→具体”的研究过程；
（2）强调方法的直观性、合理性；
（3）理论推演的灵活处理（链接）。
分类变量(categorical variable)——取非数量值的变量（如性别、观点等）；
列联表(contingency table)——描述两个分类变量分布的频率表。
分类变量又称定性变量(qualitative variable)
二维列联表也称交叉表(cross table)
独立性检验
有无关系？——直观判断
独立性检验
患 病 未患病 合 计
吸 烟 37 183 220
不吸烟 21 274 295
合 计 58 457 515
患 病 未患病 合 计（n）
吸 烟 17% 83% 100%（220）
不吸烟 7% 93% 100%（295）
例子
关系的强度？—— 2检验
独立性检验
患 病 未患病 合 计
吸 烟 a b a + b
不吸烟 c d c + d
合 计 a + c b + d n(=a + b + c + d)
事件A——某人吸烟，事件B——某人患病．
假设(H0)：患病与吸烟没有关系，则
P(AB) = P(A)P(B)．
a
nP(AB)
推导
2检验的自由度——
为什么2×2列联表只有一个自由度？
独立性检验
患 病 未患病 合 计
吸 烟 220
不吸烟 295
合 计 58 457 515
对于丢失的四个数据，需要知道几个就可补齐这张表？
自由度 = (行数 - 1) (列数 - 1)
回归分析(regression analysis)——描述一个（或多个）自变量的变化是如何影响因变量的一种方法。
相关分析(correlation analysis)——描述两个数值变量间关系的强度。
回归分析
两个变量间的关系——了解散点图
2
1
0
-1
-2
-3 -2 -1 0 1 2
r = 0.035
（1）
2
1
0
-1
-2
-2 -1 0 1 2
r = 0.880
（2）
2
1
0
-1
-2
-2 -1 0 1 2
r = -0.906
（3）
8
6
4
2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
r = -0.265
（4）
线性回归分析
a,b的估计
线性回归模型 y a bx
确定性函数
随机误差
最小二乘
(最小平方)
(least squares)
回归直线 y a bx
^ ^ ^
回归截距
回归系数
回归值
使Q(a,b)最小的a
和b的值作为a和b
的估计，记作 a, b
^ ^
c2的计算：用Excel进行分析。
用计算器计算相关系数、回归系数；
用Excel建立回归直线方程并计算相关系数。
独立性检验
示例1
回归分析
示例2
示例3矩阵的乘法
1．生活实例
（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：
初赛 复赛
甲 80 90
乙 86 88
如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定，其中初赛占40%，决赛占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩阵的形式表示：
（2）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：
A B C D E
28英寸 1 3 0 1 2
30英寸 5 8 6 1 2
32英寸 2 3 5 6 0
34英寸 0 1 1 0 3
假设不同牌子的每条牛仔裤的平均利润分别为：A为30元，B为35元，C为40元，D为25元，E为40元，试问28英寸牛仔裤在该星期内获得的总利润是多少？
28英寸牛仔裤的销售量是
A B C D E
[ 1 3 0 1 2 ]
不同牌子的平均利润是
A 30
B 35
C 40
D 25
E 40
于是28英寸牛仔裤的总利润是
30
35
[ 1 3 0 1 2 ] 40
25
40
1 30 3 35 0 40 1 25 2 40 240（元）
如果要求各种规格大小的牛仔裤的总利润，就自然地得出下列的矩阵乘法
1 3 0 1 2 240 28英寸牛仔裤的利润
5 8 6 1 2 775 30英寸牛仔裤的利润
2 3 5 6 0 515 32英寸牛仔裤的利润
0 1 1 0 3 195 34英寸牛仔裤的利润
2．平面几何变换——二阶矩阵乘向量
（1）
矩阵平面上每个向量（点）变成了向量（点），因此它是平面到平面的一个变换．这个变换实际上是把平面上的图形在y轴方向拉伸了两倍．
eq \b\bc\[(\a\al\vs4(80 90 ,86 88 ))
30
35
40
25
40