5.1.2弧度制-高一年级数学人教版（2019）必修一 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
新教材人教版·高中必修第一册
数学
5.1　任意角和弧度制
5.1.1 任意角
第五章 三角函数
要求
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算、逻辑推理素养．
前言
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，
且 1 米=3.28083989501 英尺=1.0936133 码
度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，
且 1 千克=2.2046226 磅
不同的单位制能给解决问题带来方便，
角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
复习引入
在初中学过角度制,单位：度(°)、分(′) 、秒(″)
且1°=60′，1′=60″ ，它反映了度分秒之间是60进制。
问题1
初中学过哪些度量角的单位？
周角的为1度的角，记作1°，即圆周的的圆弧所对的圆心角为1°的角。
在钟表中，一周60个小格，秒针走一格为1秒，
那么此时分针转了多少度？
情景引入
公元六世纪，印度数学家阿耶波多在创新制作正弦表时，就发现了有一个问题不好解释，比如sin30°=0.5，他发现了什么问题呢？
他发现等式右侧是10进制数，而等式左边是60进制数，两个不同单位的量，分布在了等式的两端，带来很尴尬的局面，阿耶波多就想能不能将角的度量也变成10进制的数？这样后来角出现了新的度量单位，就是我们今天要学习的——弧度制。
阿耶波多
印度伟大的著名数学家及天文学家
概念引入（1）
新知引入
根据任意角的定义，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α.在旋转过程中，射线OA上点P（不同于端点0）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.记α =n°，OP=r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.
寻找度量角的10进制度量单位
由初中所学知识可知l =
于是
概念引入（1）
问题2
可以发现，圆心角 所对的弧长与半径的比值，只与 的大小有关，也就是说，这个比值随 的确定而唯一确定.
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
概念引入（1）
概念引入（1）
1弧度角的定义
概念引入（1）
任意角都可以用表示吗？正角、负角和零角的弧度数如何规定呢？
规定：如果半径为r的圆的圆心角 所对弧长为l，那么角 的弧度数的绝对值是
|α| =
这里， 的正负由角 的终边的旋转方向决定.
问题3
逆时针转为正，顺时针旋转为负，当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2 或小于－2 的角，这样就可以得到弧度为任意大小的角.
概念的理解
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
即角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的-个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图5.1-12）.
概念的理解
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2 弧度，1弧度等于周角的这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.
欧拉
概念引入(2)
当角是零角时，以度和弧度为单位数值相等，都是0；
角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算.如何换算呢？
探究
用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同，
当角的终边旋转一周，角所对的弧长即周长=2 r，角的弧度数==2 rad ，而在角度制下为360°，即360° = 2 rad，180° = rad，
概念引入（2）
巩固与练习
巩固与练习
温馨提示：
用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数，例如，角 =2就表示 是2 rad的角.
巩固与练习
规律方法
巩固与练习
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
问题4
温馨提示：要想熟记这些特殊角度与弧度之间的转换，
归根结底还是熟记180°=
因为90°= 180°= 30° = 90°=
45° = 90°= , 120° = 60°= ……
巩固与练习
巩固与练习
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的．
2、做一做　(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案　ABC
小结
限时小练
简解答：
课堂作业
P175-176，习题5.1 第5、6、7、8题
本节内容结束
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