5.1.1任意角-高一年级数学人教版（2019）必修一 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
新教材人教版·高中必修第一册
数学
5.1　任意角和弧度制
5.1.1 任意角
第五章 三角函数
要求
1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.
2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示．
在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养．
前言
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性，例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等，这些现象都可以用三角函数刻画.
复习引入
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；
问题1
初中所学的角是如何定义的 角的取值范围如何
范围
情景引入
有右面的现象，从中发现，虽然我们过去学习了”内的角，但在这些问题中我们发现了仅有范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广，这就是我们本节课要学习的内容——任意角.
追问
观察下面的实例，思考角的现象
不同方向的齿轮旋转
三周半的翻转
概念引入（1）
一、任意角的概念
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果α是零角，那么α =0°.
为了简单起见，在不引起混淆的前提下，
“角α”或“ ∠α”可以简记成“α”
温馨提示
时钟
正角
负角
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角.
图5.1-3
概念理解（1）
任意角的概念：
一条射线绕其端点旋转形成的图形.
始边：射线的起始位置.
终边：射线的终止位置.
顶点：绕其旋转的端点.
和实数类似：正角＞零角＞负角
如果一个角α的旋转量和旋转方向与另一个角β的旋转量和旋转方向都一样，我们就称这两个角相等，称α=β
概念的理解（1）
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
问题2
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
概念的理解（1）
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，
我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以转化为角的加法.
和实数同样：α＞β α-β＞0
α＜β α-β＜0
问题2
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
概念引入(2)
为了更好的研究角，我们需要有一个统一的标准，也为了更好地表现角的“周而复始”的变化规律，所以我们通常把角放进直角坐标系中进行研究.
为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
例如，图5.1-5中的30°角、-120°角分别是第一
象限角和第三象限角.
图5.1-5
概念的理解（2）
1、 画出下列各角：-50°，405°，210°，-200°，450°并指出分别是第几象限的角？
第四象限角
第一象限角
405°=360°+45°
第三象限角
210°=180°+30°
理解深化
概念的理解(2)
2、下列说法正确的是(　　)
A．小于90°的角是锐角 B．钝角是第二象限角
C．－30°是第四象限角 D．第一象限角是锐角
第二象限角
-200°=-180°-20°=-360°+160°
轴线角
450°=360°+90°
答案　BC
解析　小于90°的角有负角或0°角，A错，390°是第一象限角，不是锐角，D不正确，只有B、C正确．
概念的理解(2)
3、第二象限的角一定比第一象限的角大吗
不一定，象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小
概念引入(3)
将角放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB（图5.1-6），以它为终边的角是否唯一？
如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
探究
图5.1-6
①终边同一位置的角有无穷多个；
②这些角相差360°的整倍数。
追问：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合吗？
如果能，你会用描述法写出来吗？
概念引入(3)
图5.1-6
328°=-32°+k×360°(k∈ Z)(这里k=？)
-392°=-32°+k×360°(k∈ Z)(这里k=？)
设S={ | =-32°+k 360°，k∈Z}，
则328°，-392°角都是S的元素，
-32角也是S的元素（此时k=_）.
k=1
k=-1
因此，所有与-32°角终边相同的角，连同-32角在内，都是集合S的元素；
反过来，集合S的任一元素显然与-32°角的终边相同.
k=0
概念引入(3)
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合.
S={β| β= -k 360°，k∈Z}.
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
温馨提醒　利用终边相同的角的一般形式可以求出符合某些条件的终边相同的角，注意“k∈Z”这一条件．
所有与角终边相同的角，连同角在内所构成的集合可以怎样表示
问题3
概念的理解(3)
所有终边落在y轴上的角的集合怎样表示
问题4
概念的理解(3)
所有终边落在y轴上的角的集合怎样表示
问题4
概念的理解(3)
终边 落在x轴的正半轴 S={α| α = k 360°，k∈Z}
终边 落在x轴的负半轴 S={α| α = 180°+k 360°,k∈Z}
追问：所有终边落在x轴上的角的集合怎样表示
终边 落在x轴所有角的集合
α = k 360°=2 k 180°
α = 180°+k 360°=(2 k+1) 180°
n为偶数时终边 落在x轴的正半轴
n为奇数时终边 落在x轴的负半轴
S={α| α = n 180°,n∈Z}
巩固与练习
套用终边相同角的表示形式，关键确定k值。
追问：如果将0°~360°改为-360°~0°结果如何？
巩固与练习
巩固与练习
终边 落在x轴的正半轴 S={α| α = k 360°，k∈Z}
终边 落在x轴的负半轴 S={α| α = 180°+k 360°,k∈Z}
所有终边落在x轴上的角的集合怎样表示
问题4
终边 落在x轴所有角的集合
α = k 360°=2 k 180°
α = 180°+k 360°=(2 k+1) 180°
n为偶数时终边 落在x轴的正半轴
n为奇数时终边 落在x轴的负半轴
S={α| α = n 180°,n∈Z}
巩固与练习
巩固与练习
深化与思考
四个象限角的集合分别怎样表示
问题5
思 考
第三象限角的集合这样表示可以吗？
(180°+k 360°，-90+k 360°)(k∈Z)
深化与思考
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
－360°～360°范围内的角α和β，所以{x|α第三步：起始、终止边界对应有α，β，再加上360°的整数倍，
即得区域角的集合．
思维升华
深化与思考
小结
课堂作业
p171练习 4、5
本节内容结束
THANKS