5.2.1 第一课时 三角函数的定义-高一年级数学人教版（2019）必修一 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
新教材人教版·高中必修第一册
数学
5．2　三角函数的概念
5.2.1第一课时　三角函数的定义
第五章 三角函数
要求
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.
2.能利用定义解决相关问题．
通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养．
复习引入
定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？
问题1
同学们回忆一下初中三角函数的概念.
提示　不变．
复习引入
在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题.不失一般性，先研究单位圆上点的运动，现在的任务是：如图5.2-1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况.
图5.2-1
概念引入
根据研究函数的经验，
我们利用直角坐标系来研究.
问题2
同学们回忆一下用什么方法来研究上述问题.
如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系xOy，点A的坐标是（1，0），点P的坐标是（x，y）.
点P从点A（1，0）开始在单位圆上的运动.
动态演示，角、所对弧长、终边和单位圆交点坐标之间的变化关系
概念引入
追问：这个运动过程中的有哪些变量？判断它们之间是否具有函数关系，如果有，能否写出函数解析式？
点P的横坐标x、纵坐标y，弧长l，旋转角度 ；
当 =时，点P的坐标是什么？当 =或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？一般地，任意给定一个角 ，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
概念引入
当 =时，作PM⊥OA与M,
在Rt△OMP中，可得OM=,PM=
x=cos =cos=, x=sin =s=
即P( , );
问题2
同学们思考当 =，时它们的正余弦和P点坐标的关系是？
s=y，cos=，s=y，cos=
同理，当 =或时,P点的坐标分别是
(0 , 1) , (- , ) ,它们都是唯一确定的。
概念引入
一般地，任意给定一个角 ∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角 的函数.下面给出这些函数的定义.
设 是一个任意角， ∈R ，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y).
(1)把点P的纵坐标y叫做 的正弦函数（sine function），
记作sin ，即y=sin ；
(2)把点P的横坐标x叫做 的余弦函数（cosine function）,
记作cos ，即x= cos ；
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值一叫做 的正切，
记作tan ，即=tan (x≠0).
注意：P(x,y)必须是 的终边与单位圆的交点。
概念引入
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（trigonometric function），通常将它们记为：
正弦函数y=sinx，x∈R；
余弦函数y=cosx，x∈R；
正切函数y=tanx，x≠+k （k∈Z）.
温馨提醒　(1)在任意角的三角函数的定义中，α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．
概念理解
问题3
这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢？
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数.
概念理解
巩固与练习
巩固与练习
规律方法
单位圆法求三角函数值方法：
首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解．
优点是交点到原点的距离是1，因此书写运算简洁。
巩固与练习
图5.2-4
图5.2-5
巩固与练习
图5.2-5
图5.2-4
巩固与练习
问题4
请观察右图r与x,y的关系是什么？
图5.2-4
M
r
|x|
|y|
巩固与练习
巩固与练习
巩固与练习
规律方法
深化与思考
小结
限时小练
简解答：
课堂作业
教科书P179练习第2，3题
本节内容结束
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