5.4.2 第二课时 单调性与最值-高一年级数学人教版（2019）必修一 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
新教材人教版·高中必修第一册
数学
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
5.4.2 第二课时　单调性与最值
第五章 三角函数
要求
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间
借助y＝sin x与y＝cos x的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养．
复习引入
它们的周期都是T=
1、正余弦函数的周期是多少？
2、函数y=Asin( x+ )及函数y=Acos ( x+ )的周期是多少？
(其中A， ， 为常数，且A≠0， >0)
它们的周期都是T=2
3、正余弦函数的奇偶性是什么？
y=sinx是奇函数 图像关于原点对称；
y=cosx是偶函数 图像关于y轴对称；
性质引入
如何选择这个周期的区间而更为合适呢？看下图：
问题1
由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期区间上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
不难发现，一个周期的起点不同，这一个周期上图像的形状不同，单调区间也不同，选择[, ]这个周期上的图像研究更为合适。
性质引入
观察图5.4-8，分析函数的单调性.
问题2
当x由增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1；
当x由增大到时，曲线逐渐下降，
sinx的值由1减小到-1.
图5.4-8
sinx的值的变化情况如表5.4-2所示：
性质探究
这就是说，正弦函数y=sinx在区间[, ]，上单调递增，
在区间[, ] ，上单调递减。由正弦函数的周期性可得，
正弦函数在
每一个闭区间[+2k , +2k ](k∈Z) 上都单调递增，
其值从－1增大到1；
每一个闭区间[+2k , +2k ](k∈Z) 上都单调递减，
其值从1减小到－1 ；
1、正弦函数的单调性
性质探究
类似地，观察余弦函数在一个周期区间上函数值的变化规律，能否准确填充下表
问题3
-1
-1
1
0
0
↗
↗
↘
↘
这就是说，余弦函数y=cosx,x∈[- , ]在区间[, ]，上单调递增，在区间[, ] ，上单调递减。由余弦函数的周期性可得，
2、余弦函数的单调性
性质探究
余弦函数在
每一个闭区间[+2k , 2k ](k∈Z) 上都单调递增，
其值从－1增大到1；
每一个闭区间[2k , +2k ](k∈Z) 上都单调递减，
其值从1减小到－1 ；
性质探究
正弦函数当且仅当_______________时取得最大值1，
当且仅当________________时取得最小值-1；
由正余弦函数的单调性的讨论，你能总结它们何时取得最大值，何时取得最小值？
问题4
余弦函数当且仅当____________时取得最大值1，
当且仅当 _______________时取得最小值-1；
x=+2k ,k∈Z
x=+2k ,k∈Z
x=2k ,k∈Z
x=2(k+1) ,k∈Z
3、三角函数的最值
巩固与练习
(1)使函数y=cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx， x∈R取得最大值的x的集合
函数y=cosx+1， x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
{x | x =2k ，k ∈Z}；
使函数y=cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y=cosx， x∈R取得最小值的x的集合
{x | x =(2k+1) ，k ∈Z}；
巩固与练习
(2)令z=2x，使函数y=-3sinz，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y=sinz，z∈R取得最小值的z的集合
{x | x =－+2k ，k ∈Z}；
由2x=z －+2k ， 得x =－+k .
所以，使函数y=-3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是
{x | x =+k ，k ∈Z}.
巩固与练习
函数y=-3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是-3.
同理，使函数y=-3sin 2x， x∈R取得最小值的x的集合是
{x | x =+k ，k ∈Z}.
巩固与练习
此类函数，求单调区间，当自变量的系数为负时，尽量根据诱导公式将系数变为正。
巩固与练习
巩固与练习
规律方法
巩固与练习
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
巩固与练习
巩固与练习
规律方法
巩固与练习
巩固与练习
深化与思考
×
×
×
√
小结
小结
限时小练
简解答：
课堂作业
1、教科书P207 第2、4、5题
2、认真阅读208页“探索与发现”
本节内容结束
THANKS