5.4.2 第一课时 周期性与奇偶性-高一年级数学人教版（2019）必修一 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
新教材人教版·高中必修第一册
数学
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
5.4.2 第一课时　周期性与奇偶性
第五章 三角函数
要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的周期.
3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
利用y＝sin x，y＝cos x的图象，探索
y＝sin x，y＝cos x的周期性、奇偶性，重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入（1）
和以往一样来研究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值.除此之外，通过对三角函数的初步接触， 发现三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的.
函数性质的研究思路：
类比以往对函数性质的研究，思考本节课可研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？
问题1
复习引入（1）
回忆上一节正弦函数在R上的图像是怎么得到的？
问题2
将y=sinx x∈[0,2 ]上的图像分别平移2 的整数倍，就可以得到y=sinx x∈R的整个图像，即正弦函数整个定义域上的图像是由[0,2 ]上这一段图像，随自变量的变化无限循环出现构成的。这种现象就是我们今天要接触的周期性。
复习引入（1）
具体到三角函数的每一点上，横坐标每隔2 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律，实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sin(x+2k )=sinx(k∈Z)中得到反映，即自变量x的值增加2 整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等，数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
概念引入（1）
请阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题：什么是周期函数？什么叫做周期？
问题3
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x + T)= f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.
非零常数T叫做这个函数的周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期（minimal positive period）.
概念理解（1）
1、注意定义中的“对每一个x”例如:f(x)=x(x-1)(x-2) (x-3)
x=0,x=1,x=2时都有f(x+1)=f(x),但1不是f(x)的周期， f(x)
不是周期函数 ，
因为x=3时f(3)=0，f(3+1)＝f(4) ＝24≠f(3)
3、周期函数，不一定都有最小正周期。
如：f(x)＝a (a是常数)，因为f(x+T)＝a ＝ f(x) (T≠0)
所以它的周期是任意非零实数。
2、因f(x+T)=f(x),x∈D则x+T ∈D,所以D一定是无限集。
概念理解（1）
4、T是f(x)的周期，则-T 、k T (k∈Z且k≠0)都是它的周期。
①T是f(x)的周期则f(x+T)＝ f(x)
以x-T代x有f((x-T) + T)＝ f(x-T)＝ f(x)
则-T也是f(x)的周期
② k＞0时 f(x+k T )=f(x+(k-1) T + T)= f(x+(k-1) T)
= f(x+(k-2) T + T)= f(x+(k-2))=……＝ f(x)
k＜0时，再由①知k T (k∈Z且k≠0)都是它的周期
(以x+(-k+1)T代x，也能证明此结论，你会证吗？)
概念理解（1）
根据周期定义，我们有：
正弦函数是周期函数，2k （k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2 .
类似地，
余弦函数也是周期函数， 2k （k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2 .
概念理解（1）
因为sin(x+2k )=sinx (k∈Z)
所以sinx是周期函数，周期是2k (k∈Z且k≠0 )
当k＞0时2 ≤2k ，所以2 是它的最小正周期
余弦雷同
今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
同学们会证明上述结论吗？
问题3
巩固与练习
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x+T)=f(x)而求出相应的周期.
(x∈R，有3sin(x+2 )=3sinx.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2 .
巩固与练习
分析：对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x+T)=cos2x，x∈R；
(2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期为2 ，
即cos(z+2 )=cosz，
于是cos(2x+2 )=cos2x，
所以cos2(x + )=cos2x，x∈R.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
巩固与练习
分析：对于(3)应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin[x+T)]＝sin( x) ，x∈R.
(令z＝ x，由x∈R得z∈R，且y=2sinz的周期为2π，
即 2sin(z＋2π)=2sinz，
于是 2sin( x+2π)=2sin( x),
所以 2sin[( (x+4π)] =2sin( x),
由周期函数的定义知，原函数的周期是4π.
巩固与练习
回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
(1)中3sin(x+2 )=3sinx. 周期是2π
(2)中cos2(x + )=cos2x，x∈R. 周期是π
(3)中2sin[( (x+4π)] =2sin( x),周期是4π
三角函数的周期仅仅与解析式中自变量x的系数有关。
现在你能看出三角函数的周期与解析式中哪些量有关了吗？
巩固与练习
概念引入（2）
不难看出，y=sinx的图像关于原点对称，所以它是奇函数.
其实由诱导公式有sin(-x)＝-sinx (x∈R)，也能说明它是奇函数.
同学们认真观察三角函数的图像你还能发现什么性质？
问题4
概念引入（2）
不难看出，y=cosx的图像关于y轴对称，所以它是偶函数.
其实由诱导公式有cos(-x)＝cosx (x∈R)，也能说明它是偶函数.
同学们认真观察三角函数的图像你还能发现什么性质？
问题4
概念理解（2）
1.当函数具有周期性时，可以首先研究它在一个周期内的图像，只需考察这一个周期内的函数的性质(值域、单调性、最值等），由各周期内性质相同，即可得出整个定义域内的性质。
知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
2.当函数值具有奇偶性时，可以首先研究它在y轴一侧的图像，只需考察这一侧的函数的性质(值域、单调性、最值等），由关于原点对称性，即可得出整个定义域内的性质。
巩固与练习
温馨提示：判断函数奇偶性一般先化简再判断。
巩固与练习
温馨提示：当函数定义域不为R时，首先要判断定义域是否关于原点对称。若不对称则一定存在 f(-x)≠±f(x)
巩固与练习
规律方法
深化与思考
函数y=Asin( x+ )及函数y=Acos ( x+ )的周期
令z= x+ ，那么由x∈R得z∈R ，
且函数y=Asinz，的周期是2 .
函数y=Asin( x+ ) (其中A， ， 为常数，且A≠0， >0)
因为z+2 ＝ ( x+ ) +2 ＝ (x+) +
所以Asin(z+2 )＝Asin[ (x+) + ] ＝Asin ( x+ )
所以y=Asin( x+ )的周期是又2 是y=Asinz的最小正周期，则也是正的最小值。
故y=Asin( x+ )的周期是T=
＜选讲＞
深化与思考
函数y=Asin( x+ )及函数y=Acos ( x+ )的周期
同样也可得出函数y=Acos( x+ ) (其中A， ， 为常数，且A≠0， >0)的周期也是T=
当 ＜0时由诱导公式y=－Asin(－ x+－ )，
y=Acos (－ x－ )
T=
当 ≠0时 y=Asin( x+ )及函数y=Acos ( x+ )的周期T=
用同样的方法是也能推广到求一般周期函数的周期？即命题“如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y= y=f( x) （ >0）的周期是”也成立(请同学们课下自己证明)
深化与思考
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小结
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课堂作业
教科书P203 第2、3、4题
本节内容结束
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