5.4.1正弦函数、余弦函数的图象-高一年级数学人教版（2019）必修一 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
新教材人教版·高中必修第一册
数学
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
第五章 三角函数
要求
1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象.
2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系．
通过利用定义和“五点法”作y＝sin x与
y＝cos x的图象，重点提升学生的数学抽象、
逻辑推理和直观想象素养．
复习引入
三角函数的定义我们已经学习掌握，那么我们下一步来研究三角函数的图像和性质。
之前研究指数函数、对数函数的图象和性质的思路是怎样的？
问题1
我们学习了三角函数的定义，当然不是目的，而更重要的是研究它们的性质和应用。
复习引入
绘制新函数图象的基本方法是什么？
问题2
绘制一个新函数图象的基本方式是描点法.
我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式sin(x +2k )=sinx，cos(x +2k )=cosx (k∈Z)来表示，这说明，自变量每增加（减少）2 ，正弦函数值、余弦函数值将重复出现，利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.
即先画函数y=sinx，x∈[0，2 ]的图象，再画出正弦函数y=sinx，x∈R的图象.
新知引入
作y=sinx的[0 , 2 ]上的图像，用列表描点法可以吗？
问题3
当然可以，但是我们知道，对于x的不同取值，sinx大部分是无理数，所以只能近似的作出它的草图，是不是有更好的方法，能作出比较精确的图像呢？
我们先从准确的画一个点起：
在[0，2 ]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0 ,sinx0)？
新知引入
如图5.4-1，在直角坐标系中画出以原点o为圆心的单位圆，⊙o与x轴正半轴的交点为A(1 , 0).在单位圆上，将点A绕着点o旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0 , sinx0)
图5.4-1
新知引入
若把x轴上从0到2 这一段分成12等份，使x0的值分别为0,, , ,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(x0，sinx0）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4-2）.
图5.4-2
新知引入
使x0在区间[0，2 ]上取到足够多的值而画出足够多的点T(x0，sinx0），将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx0，x∈[0，2 ]的图象（图5.4-3）.
图5.4-3
新知引入
由诱导公式一可知，函数y=sinx，x∈[2k ， 2(k+1) ]，k∈Z且k≠0的图象与y=sinx ，x∈[0，2 ]的图象形状完全一致，因此将函数y= y=sinx ，x∈[0，2 ]的图象不断向左、向右平移（每次移动2 个单位长度），就可以得到正弦函数y=sin x，x∈R的图象（图5.4-4）.
根据函数y=sinx，x∈[0，2 ]的图象，你能想象函数y=sinx， x∈R的图象吗？
新知引入
观察下图，在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
问题4
正弦函数的图像叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
图5.4-3
新知引入
在函数y=sinx，x∈[0，2 ]上作出以下五个点：
(0，0)，(, 1) , (π，0) , (，-1）(2π，0)，然后用光滑的曲线连接起来。
在精度要求不高的情况下作函数y=sinx，x∈[0，2 ]的图象，只要先作出这五个点，然后用光滑的曲线连接起来即可，这种作图法叫“五点画图法”即“五点法”
新知引入
对于函数y=cosx，由诱导公式cosx=sin(x＋)得，
y= cosx=sin(x＋) ，x∈R.
而函数y=sin(x＋) ，x∈R的图象和正弦函数y=sinx，x ∈R
的图像又有怎么的关系？
余弦函数的图像又是怎样的呢？如何作出来？
问题5
回忆正弦函数和余弦函数的哪些关系，能否通过图形变换，将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
新知引入
y=sin(x＋) ，x∈R ①
y=sinx， x ∈R ②
1、①与②两函数的图像形状相同；
2、x1＋＝x2 x1＝x2 即图像②每一点横坐标减 后的函数值和①相同
所以，将正弦函数y=sinx， x ∈R的图象向左平移个单位长度，就得到正弦函数y=sin(x＋) ，x∈R的图象，即y=cosx, x∈R的图像
如图5.4-5所示.
新知引入
余弦函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线（cosine curve）.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
你会用五点法作出余弦函数的图像吗？
选哪个区间上的五点？观察下图，探索分析。
问题6
不难发现,自变量在[－ , ]这一周内的图像，更靠近原点，且在对称性、增减性等方面，更具有特点，所以图像更具有代表性。
新知引入
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间[－ ， ]上相应的五个关键点，将它们的坐标填入下表，然后画出y=cosx，x∈[- ， ]的简图.
我们仍然用以下三步完成作图
新知引入
2、描点
x － 0
cosx －1 0 1 0 －1
表5.4-1
1、列表
3、连线
新知理解
1、对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同(相差，可以通过相互平移得到．
2、①y=sin(x+a),y=cos(x+b)的图像 y=sinx,y=cosx的图像
②y=-sinx,y=-cosx的图像 y=sinx,y=cosx的图像
3、y=sinx,y=cosx [0,2 ]上的图像五个关键点：分别是最高点，最低点，与x轴的交点。
左右
平移
作关于x轴
对称变换
巩固与练习
(1)按五个关键点列表：
x 0 2
sinx 0 1 0 －1 0
1＋sinx 1 2 1 0 1
y=sinx ,x∈[0,2 ]
①描点
②连线:用光滑曲线把两组点连接起来。
y=1+sinx,x∈[0,2 ]
图5.4-6
巩固与练习
先认真观察右图变化
你能利用函数y=sinx，x∈[0，2 ]的图象，通过图象变换得到y=1+sinx，x∈[0，2 ]的图象吗？
对于任意一个x0∈[0 ,2 ]
设y1=sinx0， y2=1+sinx0
y2－y1＝1
即函数y=sinx，x∈[0，2 ]的图象的每一点向上平移一个单位就得到y=1+sinx，x∈[0，2 ]的图象
图5.4-6
巩固与练习
(2)按五个关键点列表：
x 0 2
cosx 1 0 -1 0 1
－cosx -1 0 1 0 -1
①描点
②连线:用光滑曲线把两组点连接起来。
y=cosx, x∈[0,2 ]
y=－cosx, x∈[0,2 ]
巩固与练习
先认真观察右图变化
你能利用函数y=cosx，x∈[0，2 ]的图象，通过图象变换得到y=－cosx，x∈[0，2 ]的图象吗？
对于任意一个x0∈[0 ,2 ]
设y1=cosx0， y2=－cosx0
y2＝ - y1
即函数y=cosx，x∈[0，2 ]的图象的每一点关于x轴的对称点就得到y=-cosx，x∈[0，2 ]的图象
巩固与练习
规律方法
深化与思考
×
×
√
√
小结
1．正弦函数、余弦函数的图象
(1)描点法作函数图象，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
(3)正弦曲线与余弦曲线的形状相同，只是位置不同．
2．作函数y＝asin x＋b，x∈[0，2π]的图象的步骤
限时小练
简解答：
课堂作业
教科书P200 第2、4题
本节内容结束
THANKS