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《矩形的判定》同步练习
一、选择题
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90°
C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
4、平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ）
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形
5、给出下列判断：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
②对角线相等的四边形是矩形．
③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
其中，不正确的有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A、AB∥DC B、AC=BD C、AC⊥BD D、AB=DC
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC，AC，AB边的中点分别是点D，E，F，则下列说法可能不正确的为（ ）
A、四边形CDFE是矩形 B、DE=CF=AB C、S△ABC=4S△AEF D、∠B=30°
二、填空题
8. 已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD， ④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）______(3个)，能使四边形ABCD是矩形．
9．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：AC=______．
10．如图所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E，OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______．
11. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
三、解答题
12. 已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
13. 如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？
14．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．
15. 如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
参考答案：
1、C.
2、C.
3、D.
4、B.
5. C
6.C
7. D
8. （答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥．
9. 矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=AC．
10．8cm；4cm
11.
12. 证明：∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC．∴EB=FC，∠ABE=∠ACF．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠EBC=∠FCB．
∵EB=FC，EF=BC，∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC+∠FCB=180°．
∴∠EBC=∠FCB=90°，∴EBCF是矩形
13. 解：四边形ADCE是矩形；理由：由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形．
所以∠B=∠ACB．由等腰三角形的三线合一性，可得BD=CD，AE是∠CAF的平分线，
所以∠CAE=∠CAF．由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得出∠CAF=∠B+∠ACB=2∠ACB，所以∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．
又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE=BD，所以AE=DC．
又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．
又因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．
14. 解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，
又因为∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠CBA．
所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．
同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°，
所以四边形EFGH是矩形．
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《矩形的性质》同步练习
一、选择题
1. 下列命题中，错误的是（ ）．
A、平行四边形的对角线互相平分 B、菱形的对角线互相垂直平分
C、矩形的对角线相等且互相垂直平分 D、角平分线上的点到角两边的距离相等
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ， 以下说法错误的是（ ）
A、∠ABC=90° B、AC=BD C、OA=AD D、OA=OB
3、如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，则△BEF的面积为( )
A.8 B.6 C.4 D.5
4、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（ ）
A、5 B、4 C、3.5 D、3
5、如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
7. 如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1=40°，那么∠AFE=（ ）
A、50° B、40° C、20° D、10°
二、填空题
8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是 。
9. 如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，则∠COE= °
10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
11. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为 ．
三、解答题
12. 在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°.
（1）△AOB为等边三角形，说明理由；
（2）求∠AOE的度数.
13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，求∠COD与∠COE的度数．
14．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
15. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
参考答案：
1、C.
2、C.
3、A. 因为E、F是AC的三等分点，根据同底等高面积相等可得△BEF的面积为△ABC的三分之一.
4、B.
5. C
分析：首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．
解：过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，
∴∠2=90°﹣30°=60°．
故选C．
6. A
分析：首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF求得答案．
解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，
∴OA=OD=5，
∴S△ACD=S矩形ABCD=24，
∴S△AOD=S△ACD=12，
∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，
解得：PE+PF=4.8．
故选：A．
7. D
8. 3.4
9. 4
解：因为在矩形ABCD中，所以AO=AC=BD=BO，
又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO=AB=2，
所以AC=2AO=4．
10.75
11. 3
12.
证明：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，又∵∠CAE=15°，∴∠BAC=60°，
又∵AO=BO，∴△AOB为等边三角形.
（2）∵△AOB为等边三角形，∴BO=AB，又∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO,
又∵∠OBE=90°-60°=30°, ∴∠BOE=∠BEO=75°,
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=135°.
13. 解：在矩形ABCD中，∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE=45°, ∴∠ODC=∠CDE+∠BDE=45°+15°=60°,
又CD=CD，∴△COD为等边三角形，∴∠COD=60°，在Rt△ECD中，∠EDC=45°，
∴CE=CD=CO又∠OCE=90°-60°=30°，∴∠COE=(180°-∠OCE)=75°．
14. 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF=CD．
15. 【答案】分析：（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；
（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．
解：（1）证明：∵折叠，
∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，
∴∠ANF=90°，∠CME=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴AM=CN，
∴AM﹣MN=CN﹣MN，
即AN=CM，
在△ANF和△CME中，
，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
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《菱形的判定》同步练习
一、选择题
1. 能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分
2. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B、当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C、当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 D、当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形
4.如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED的大小是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
5、如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，做AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断( )
A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
6. 将一张矩形纸片对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ( )
A、三角形 B、矩形 C、菱形 D、梯形
7. 在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是( )
A、四边形AEDF是平行四边形；
B、如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
C、如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形；
D、如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
二、填空题
8. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
9. 在 ABCD中，AB=5，AC=6，当BD= 时，四边形ABCD是菱形．
10. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）．
11. 如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm，则∠1= 度．
三、解答题
12. 如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．
13. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．
14．如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF.
(1)求证BE=CD；
(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.
15. 菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖，E，F，G，H分别是边BC，CD，DA，AB的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴这种瓷砖，试问：
（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？其中有花纹的菱形有多少个？
参考答案：
1、D. 2、C. 3、D. 4、B. 5. C 6. C 7.A
8. AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD
9. 8
10.②
11.120
12.
解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．
13. 解：四边形CDEF是菱形．
理由：如图所示，因为△CBD≌△EBD，所以CD=DE，
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CFDE．所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．
14.
(2)四边形BDFE是菱形.
∵AB＝AC，AD⊥BC,∴BD＝CD.
∵BE＝CD,∴BE＝BD.
∵△EAB≌△DAC，
∴∠EBF＝∠C.
∵∠ABC＝∠C,
∴∠EBF＝∠ABC.
∵BF＝BF,
∴△EBF≌△DBF.
∴EF＝DF.
∵EF∥BC,∴∠EFB＝∠FBD.
∴∠EFB＝∠EBF.
∴EF＝EB.
∴BD＝BE＝EF＝FD.
∴四边形BDFE是菱形.
15.
解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．
（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），
在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，
可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（行）．
因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．
同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．
从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．
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《菱形的性质》同步练习
一、选择题
1、菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A .对角线互相平分 B .四条边都相等 C .对角相等 D .邻角互补
2、已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（ ）.
A .6cm B . cm C .3cm D . cm
3. 如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
4．如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A .48 B .96 C .80 D .192
5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
6. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
A.4 B. C. D.5
7. 如图，两个连续在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )
A.点F B.点E C.点A D.点C
二、填空题
8. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为 cm．
9. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x-4=0 的解，则菱形ABCD的周长为 ．
10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．
SHAPE \* MERGEFORMAT
11. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
12. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.
13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
SHAPE \* MERGEFORMAT
14．如图，已知菱形ABCD，AB=5，对角线BD=8，作AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，连接EF，求EF的长．
15. 已知如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，若点B、E、F在同一直线上，求∠EAB的度数．
参考答案：
1、B.
2、A.
3、A.
4、B.
5. D
6. C
7.A
8. 5
9. 16
10.
11.12
12.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE=OC，
∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，
∴BC= =OE= ，
∴BC=OE．
13. 解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO= SHAPE \* MERGEFORMAT AB，OF= SHAPE \* MERGEFORMAT AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =12，
∴BD=24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT BD，
∴EF=12．
14.
15.
解：如图，连接BD与AC相交于O，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形ACFE是菱形，
∴AC⊥BD，AC∥BF，
∴四边形OBEH是矩形，
∴EH=OB=AC=BD，
∵四边形ACFE是菱形，
∴AC=AE，
∴EH=AE，
∴∠HAE=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∴∠EAB=∠CAB-∠HAE=15°．
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《正方形》同步练习
一、选择题
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.内角和为360° B.对角线相等
C.对角线平分内角 D.对角线互相垂直平分
2、四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A. AO = BO = CO = DO，AC⊥BD B. AB∥CD，AC = BD
C. AD∥BC，∠A =∠C D. AO = CO，BO = CO，AB = BC
3、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4、如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ( )
A.14 B.15 C.16 D.17
5、已知四边形ABCD,对角线AC与BD互相垂直.顺次连接其四条边的中点,得到新四边形的形状一定是 ( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
6. 一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm，则这个正方形的面积为( )
A.24 B.36 C.48 D.64
7. 如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（ ）
A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
二、填空题
8. 如图，已知正方形ABCD中，E为对角线AC上的一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
9. 如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为 .
10. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.
11. 如图，P是正方形ABCD内一点，如果△ABP为等边三角形，DP的延长线交BC于C，
那么∠PCD= .
三、解答题
12.如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
13. 如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
14．如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F
(1)求证:四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形 并说明理由.
15. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,连接AE,交边BC于点G.
(1)求证:四边形ABGD是平行四边形.
(2)如果AD=AB,求证:四边形DGEC是正方形.
参考答案：
1、B. 2、A. 3、D. 4、B. 5. B 6. D 7.C
8. 22.5°
10. 45
11. 15°
12.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，
∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.
又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形．
13. 证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，
∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.
又∵DH＝CE，BK＝CE，
∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，
∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，
∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.
∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，
∴四边形AKFH为正方形．
14.
(1)∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴2∠COD+2∠COF=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,
∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质),
∴∠CDO=90°,
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,
∴四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC,
∴OD=DC.
又由(1)知四边形CDOF是矩形,则
四边形CDOF是正方形.
因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
15.
(1)如图,连接AC,BE.
∵DE⊥BC,且F是DE的中点,∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,∴∠ABC=∠DCF,AB=EC,
∴∠ABC=∠ECF,∴AB∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BG=CG=BC,
∵BC=2AD,∴AD=BG,
又∵AD∥BG,∴四边形ABGD是平行四边形.
(2)∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=AB,即得CG=DC=DG,
∴DG2+DC2=CG2,∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形.
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