6.3.2二项式系数的性质 课件（共32张PPT）

(共23张PPT)
数学
第六章　计数原理
§6.3.2 二项式系数的性质
二项式定理
(a+b)n= Cn0an +Cn1an-1b+Cn2an-2b2 +…+Cnkan-kbk….+Cnnbn
（n∈N*）
通项公式:
说明：它可表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随即确定；
二项式系数：
(1) 展开式共有（ ）项
(2)各项指数按a的（ ）排列，按b的（ ）排列.
(3) an－rbr是第（ ）项。
n+1
降幂
r+1
升幂
定理的特征：
探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.
n (a＋b)n的展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
(a＋b)1
(a＋b)2
(a＋b)3
(a＋b)4
(a＋b)5
(a＋b)6
此表是一张二项式系数表，第一行数字对应(a+b)1展开式，第二行数字对应(a+b)2展开式，以此类推，通过计算，填表，你发现了什么规律？
二 新知引入
将(a+b)n中n从1取至6，观察二项式系数变化：
(a+b)1 ………………… 1 1
(a+b)2 …………… 1 2 1
(a+b)3 ………… 1 3 3 1
(a+b)4 …… 1 4 6 4 1
(a+b)5 … 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 … 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角
上表中蕴含着许多规律：
①每行两端的数都是1,与两端等距离的项的系数相等；
②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。
设表中任一不为1的数为，那么它肩上的两个数分别为和 ，即
对于 展开式的二项式系数
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是
从函数角度分析二项式系数：
例如，当n=6时，函数 的图象是右图中的7个孤立点．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
函数y=f(r)，r∈{0,1,2，┈，n}的图像是什么？
n＋1个孤立的点
n=6
1. 对称性
二项式系数的性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴为
n=6
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 和 相等，且同时取得最大值；
2. 增减性与最大值
二项式系数的性质：
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
由此可看出二项式系数有怎样的增减性？
二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的.
在中间项取得最大值.
n=6
n=7
当n为偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值；
练习：在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．第6项 B．第5项
C．第5，6项 D．第6，7项
解析　由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，
A
例题1：已知二项式，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最小的项.
导学案P85
解：(1) 因为 的展开式中共有9项，
所以中间一项（第5项）的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
(2) 二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.
由题意知第4项和第6项系数相等且最小，
，，
所以展开式中系数最小的项是和.
例题2：设.
（1）求的值;
(2）求的值;
（3）求的值;
（4）求<的值;
导学案P84
解:(1) 令,得①.
(2) 令 ,得 ②.
由①-②得 ,
.
各项系数之和
求各项系数的和常设x=1，-1,0----
赋值法
例题2：设.
（1）求的值;
(2）求的值;
（3）求的值;
（4）求<的值;
导学案P84
(3) 由①+②得 ,
.
令 ,得 , .
例题2：设.
（1）求的值;
(2）求的值;
（3）求的值;
（4）求<的值;
导学案P84
(4) 的展开式的通项为 , , ,且 ，
.
求各项系数的绝对值之和，先通过通项判断系数的符号，再进行赋值
性质1：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于.
解：（1）令a＝b＝1，则
思考：(a+b)n= an +an-1b+an-2b2 +…+an-kbk….+bn
（1）
（2）（n为偶数）
（3）奇数项二项式系数的和；
（4）偶数项二项式系数的和；
（2）令a＝1，b＝-1，则
0
┈┈┈┈┈┈┈①
┈┈┈┈┈┈┈②
①+②得：
=
①-②得：
=
性质2：(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于。
3. 各二项式系数的和
二项式系数性质：
性质1：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于
(a+b)n= an +an-1b+an-2b2 +…+an-kbk….+bn
赋值法
性质2：(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于。
= =
解：
课本34页
解：
课本34页
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
性质2：增减性与最值
当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.
性质3：二项式系数之和
课堂小结
1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好;
2.注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项;
3.理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.
课堂小结
一
一 一
一 二 一
一 三 三 一
一 四 六 四 一
一 五 十 十 五 一
一 六 十五 二十 十五 六 一
杨辉三角
早在我国南宋数学家杨辉1261年所 著的详解九章算法》二项式系数表，在书中 说明了表里 “一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和;指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪. 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角. 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.
数学文化
补充例题： 求二项式的展开式中系数最大的项。
导学案P85
[答案] 由于通项为 ，
设展开式中第项的系数最大，
则即：
解得.
又 ，所以，
所以展开式中系数最大的项为，且.
补充练习：1.（多选题）已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
导学案P84
ABD
[解] 令 ，则 ,B正确； ， ，则有 ， ，A正确，C错误；由题知 ，D正确.故选ABD.
补充练习：2. 已知，求：
（1）；
（2）
导学案P84
解：令 ，得 ①，令 ，得 ②，令 ，得 ③.
[1] 由②-①得 .
[2] 由②-③得 ，所以 .