8.4.1平面 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素.
我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征.
为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.
本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上,研究空间点、直线、平面之间的位置关系.
平面
学习目标
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的.
生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，
春江潮水连海平 海上明月共潮生
在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的.
生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.
黑板面
课桌面
平静的水面
所以平面无厚薄，大小之分.
无限延展性
平展性
平面的特征
不计厚薄
几何里所说的“平面（plane）”，就是从这样的一些物体中抽象出来的。
类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的。
常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的局部现象。
1、平面的描述与特征
　　(多选)下列说法正确的是
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
例1
√
√
　　　下列说法正确的是
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
跟踪训练1
√
2、平面的画法
转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌
与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．
①水平放置的平面
②垂直放置的平面
在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍.
平面也可用其他平面图形,如用三角形、梯形等来表示平面.
图形语言：
β
D
C
A
B
平面ABCD
平面AC或平面BD
A
D
C
B
E
F
平面
记作：
平面
记作：
平面
今后一般用A、B、C…表示点，a、b、c…表示直线， α、β、γ…表示平面。
转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌
3、平面的表示方法
把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。
？思考：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？
在日常生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实：
基本事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
简记为：不共线的三点确定一个平面.
直线上有无数个点, 平面内有无数个点, 直线、平面都可以看成是点的集合. 因此, 点A在直线l上, 记作A∈l; 点B在直线l外, 记作B l. 点A在平面α内,记作A∈α;点P在平面α外,记作P α.
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
存在性
唯一性
基本事实1的符号表示：
A 直线BC, 过点A、B、C有且只有一个平面α.
作用：确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面.
4、平面的基本性质:
？思考如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
α
B

α
A

B

平面内有无数条直线, 平面可以看成是直线的集合. 如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l α.
l
l
基本事实2的符号表示：
P

作用：判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内.
l α
A∈l，B∈l
A∈α，B∈α
基本事实2表面，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”。
如图，由基本事实1，给定不共线三点A，B，C，它们可以确定一个平面ABC；连接AB，BC，CA。
由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC．
组成这个“直线网”的
直线的“直”和向各个
方向无限延伸，说明了
平面的“平”和“无限延展”．
？思考 如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线。教室里相邻的墙面处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线，由此我们得到又一个基本事实。
如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
基本事实3的符号表示：
我们在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮挡，通常把被遮挡的部分化成虚线或不画，以此增强图形的立体感.
若平面α与β相交于直线l，则把l叫做α与β的交线，记作α∩β=l .
α
l
P
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
两相交平面的画法
作用：①判断两个平面相交的依据,②判断点在直线上．
相交平面画法：
α
β
α
β
画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画
α
β
β
α
上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体几何的基础。
利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到三个推论：
推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
a
【证明】如图，设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B、C，
则由基本事实1，经过A、B、C三点确定一个平面α．
再由基本事实2，直线a也在平面α内，
因此平面α经过直线a和点A．
即一条直线和这条直线外一点确定一个平面．
利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到三个推论：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
【证明】如图，设点A、B分别是直线a、b上异于P的点，
则由基本事实1，经过A、B、P三点确定一个平面α．
再由基本事实2，直线a和直线b也在平面α内，
因此平面α经过直线a和直线b．即两条相交直线确定一个平面．
利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到三个推论：
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
【证明】因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，
所以两条平行直线a和b必在某个平面α内，就是说过两条平行直线有一个平面α.
如果过a和b还有一个平面β，那么在a上的任意一点A一定在β内，这样过点A和直线b有两个平面α和β，这和推论1矛盾，
所以过平行直线a和b的平面只有一个．即两平行线确定一个平面．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
α
a
A
α
α
b
a
b
a
P
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
5、 平面的基本性质的推论
作用：确定一个平面．
用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内.
这些结论在后续研究直线与平面之间平行、垂直关系时，也会经常用到。
基本事实应用
课堂练习
教材128页
1. 判断:
(1) 书桌面是平面．(　　)
(2) 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．(　　)
(3) 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合．(　　)
√
×
×
(4) 两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)
(5)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　)
(6) 空间不同三点确定一个平面.(　　)
(7) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
×
×
×
√
2. 下列命题正确的是( ).
(A) 三点确定一个平面． (B) 一条直线和一个点确定一个平面．
(C) 圆心和圆上两点可确定一个平面． (D) 梯形可确定一个平面．
D
3.如图所示，正方体的三个面所在平面 分别记作 　 　 ，试用适当的符号填空．
(6)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=_____
OO1
(1)A1___α，A___α
(2)B1___γ，D___γ
(3)α∩β=_____
(4)β∩γ=_____
(5)A1B1____α，A1B1_____γ
∈

∈

A1B1
BB1


A1
C1
D1
O1
A
B
C
D
O
α
γ
β
解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.
文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
　　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
例2
角度1　点、线共面问题
如图所示，∵a∥b，
∴过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l α，即过a，b，l有且只有一个平面.
反思感悟
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
跟踪训练1
α
证法1：
∵l1∩l2＝A， ∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B， ∴B∈l2.
又∵l2 α， ∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3 ∴l3 α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
(纳入平面法)
[思路点拨]先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面上．
证明共面问题常用的思路
α
证法2：
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
(同一法)
　　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
例3
角度2　共线、共点问题
P
反思感悟
(1)证明三点共线的方法
跟踪训练3
如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.
求证：AB，CD，l共点.
证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，∴AB，CD，l共点.
反思感悟
(2)证明三线共点的步骤
课堂
小结
1.知识清单：
(1)平面的概念.
(2)基本事实.
(3)共面、共线、共点问题.
2.方法归纳：同一法、纳入法.
3.常见误区：三种语言的相互转换.