8.6.2直线和平面垂直 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
线 面
位置关系
垂直
斜交
a
b
直线在平面内
直线与平面平行
问题1 空间中直线与平面有几种位置关系？
直线在平面外
a∥α
直线与平面相交
a α
a∩α=A
a
a
α
α
α
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们直观的认识到直线与平面垂直.
正因为日常生活中有许多线面垂直的关系，所以，今天我们有必要对线面垂直做进一步的研究.
直线与平面垂直
学习目标
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直；会求直线与平面所成角
3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.
观察
如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化.
旗杆所在的直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直
旗杆AB所在直线始终与影子所在直线垂直.
追问：地面上不过点B的任意直线B′C′，AB与B′C′垂直吗？
对于地面上不过点B的任意一条直线B′C'，总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线B′C'也垂直．
因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直．
怎么理解“任意”
可以用“无数”代替“任意”吗
不可以
b
α
a
由此我们得到直线与平面垂直的定义.
1.直线与平面垂直的定义：
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作：l ⊥α.
直线l 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
l
P
α
直线l
的垂面
垂足
平面α
的垂线
定义就是性质
线面垂直直观图的画法：
m
n

通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。
2.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。
3.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
概念引申
1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条
直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。
线面垂直
线线垂直
过一点作垂直于已知平面得垂线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
(多选)下列命题中，不正确的是
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
例1
√
√
√
(多选)下列说法，正确的是
A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可
能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
跟踪训练1
√
√
l
能否利用在平面内找有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？
一条？
问题 怎么来判定直线与平面垂直？由定义判定直线与平面垂直简便吗？
l
l
两条？
下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件.
有没有可行的方法？
无法验证所有直线
探究：准备一块三角形纸片，设纸片的三个顶角分别为A,B,C，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( 使BD、DC与桌面都接触）
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直
当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直．
？思考
为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？你能从向量的角度解释原因吗？
由基本事实的推论2可知，两条相交直线可以确定一个平面；
由平面向量基本定理可知，这两条相交直线可以“表示” 这个平面内的所有直线．
两条平行直线也可以确定一个平面，“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？如果改为“无数条直线”呢？？
l
m
α
n
P
n
m
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.
线不在多,重在相交
2、直线和平面垂直的判定定理：
符号语言
图形语言
线线垂直 　　 　 线面垂直
判定
定义
A
m
n
g
A1
Ｅ
Ｃ
D
Ｂ
m
n
·
·
·
直线和平面垂直的判定定理的证明
例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α.
证明：
如图，在平面α内取两条相交直线m,n.
∵a⊥α，
∴a⊥m， a⊥n.
又∵a//b，
∴b⊥m， b⊥n.
又m α，n α，且m,n是两条相交直线.
∴b⊥α.
结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法)
直线与平面垂直的判定定理应用
　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
补例2
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD.
还有其他方法证明线线垂直吗？
证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
反思感悟
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的
平面，M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
跟踪训练2
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)
证明：(2)
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
跟踪训练2
(3)若PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA则O为△ABC的 心。
(4)若∠PAB=∠ PAC,∠PBA=∠PBC ,则O为△ABC的 心。
折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.
折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化。
直线与平面
垂直的判定
定义法
间接法
直接法
如果两条
平行直线中的
一条垂直于一
个平面，那么
另一条也垂直
于同一个平面。
如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线
此直线垂直于这个平面
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
【总一总★成竹在胸】
万丈高楼平地起
线面垂直最重要
再见
我们知道，当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。它们唯一的公共点P叫做垂足.
问题 如果直线和平面不垂直,如何给它命名？
此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢
平面的斜线
平面的斜线：一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线, 斜线和平面的交点A叫做斜足。
P
O
斜线
垂线
垂足
斜足
A
射影
斜线的射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影.
练习1 已知直线 l1、l2 和平面 a 所成的角相等, 能否判断 l1∥l2
反之, 如果 l1∥l2, l1, l2 与平面a 所成的角是否相等
如图,
a
A
B
C
D
O
AB⊥a, CD⊥a,
∠AOB =∠COD.
而 AO 与 CO 不平行.
a
A
B
C
D
O1
O2
如图,
AB∥CD,
AO1⊥a, CO2⊥a,
则 AO1∥CO2,
于是得∠BAO1=∠DCO2,
则在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2.
结论:
和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.
两条平行线和同一个平面所成的角
一定相等.
一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；
规定:
直线与平面所成的角θ的取值范围是什么
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角，如图中∠PAO.
斜线
垂线
垂足
斜足
射影
直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角.
一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是0°的角.
3. 直线和平面所成角
例4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成角.
解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a.
正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，
B
D
C
A1
B1
C1
D1
A
O
∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1, A1B1 ∩ B1C ＝B1
∴BC1⊥平面A1DCB1.
∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影.
∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
∴BO= A1B ∴ ∠BA1O=30°.
在Rt△A1BO中， A1B= a，BO= a.
1.作
2. 证
3.计算
4.结论
求斜线和平面所成的角的一般步骤：
(1)．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角；
(2)．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；
（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）
(3)．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．
(4)．结论：将求出的角转化为线面角
一“作”二“证”三“计算”四“结论”
　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解：（1）∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
跟踪训练3
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，
BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
下面我们研究直线与平面α垂直的性质，
即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论.
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢
（1）如图①，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系
①
（2）如图②，已知直线a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗
b
α
a
②
互相平行平行
平行
你能举出一些生活中类似的实例吗？
证明：假设a与b不平行，记b∩α＝O．
过O作直线b′∥a，则b与b′是交于点O的两条不同的直线．
记b与b′确定的平面为β．
设α∩β＝c，则有a⊥c，b⊥c．
∵ b′∥a，∴ b′⊥c．
这与“平面β内，过一点O有且仅有一条直线与c垂直”相矛盾．
β
已知a⊥α，b⊥α，求证：a∥b.
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
4.直线和平面垂直的性质定理：
a
b
符号语言：
图形语言：
目前为止，我们都学习了哪些证明直线与直线平行的方法？
a⊥α
b⊥α
a//b
线面垂直 线线平行
证明线线平行常用的方法
（1）线线平行定义：证共面且无公共点．
（2）基本事实4（平行的传递性）：证两线同时平行于第三条直线.
（3）线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
（4）线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
（5）面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
则直线a与平面β有怎样的位置关系？
则直线a与平面β有怎样的位置关系？
则直线b与平面α有怎样的位置关系？
则a⊥β．
则b//α 或b α．
则a//β或a β．
若a⊥α，b⊥a，
若a⊥α，β⊥α，
若a⊥α，β // α，
直线与平面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”之间的内在联系．你能将该性质定理中的平面换成直线，或者将垂直关系变为平行关系，得出一些新的结论吗？
5. 直线与平面垂直的性质
性质1：若a⊥α，m α，则a⊥m.
性质2：(直线与平面垂直的性质定理)
性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α.
垂直于同一平面的两条直线平行.
性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.
α
β
“串串”
a⊥α
b⊥α
a//b
性质5：若l⊥α，l⊥β，则 α//β .
例5 如图，直线l平行于平面α求，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
证明：
α
A
A1
β
B
B1
l
过直线l上任意两点A, B分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1//BB1.
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1.
∵l // α， l在β内
∴l//A1B1
∴四边形AA 1B1B是矩形
∴AA1=BB1.
∵A，B是直线l上任意两点，∴直线l上各点到平面α的距离相等.
通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行,那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平面间的距离.
　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
例4
证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，
∴AE∥MN.
直线与平面垂直的性质定理应用
　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
跟踪训练4
证明：∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，
∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的判定定理.
(3)直线与平面所成的角.
(4)直线与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化思想，数形结合.
3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.
再见