(共32张PPT)
你到过孔子六艺城吗?
在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的,那就是“数厅”。
如图,以圆柱体为基座,巨型球体悬其之上,形成了国内少有的圆形建筑物,甚为壮观!
你知道其中隐含的数学知识吗?今天我们就一起来研究吧!
圆柱、圆锥、圆台、
球、简单组合体
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.了解简单组合体的概念及结构特征.
世博轴的曲面是如何构成的?
思考
四、 圆柱的结构特征:
矩形
O1
O
A’
B’
A
O
B
O’
1、定义:以矩形的一边 所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱。
(4)无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。
(3)平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。
(2)垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。
(1)旋转轴叫做圆柱的轴。
底面
轴
母线
侧面
轴
母线
底面
侧面
2、圆柱的表示法:用表示它的轴的字母表示,如圆柱OO1。
O
O1
A
A’
B’
B
圆柱和棱柱统称为柱体
五、 圆锥的结构特征:
直角三角形
S
A
O
S
A
B
O
(4)无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
(3)不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
(2) 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面。
(1)旋转轴叫做圆锥的轴。
1、定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
底面
轴
母线
侧面
O
S
B
A
轴
底面
侧面
母线
2、圆锥的表示法:用表示它的轴的字母表示,如圆锥SO。
圆锥和棱锥统称为锥体
六、圆台的结构特征:
1、定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分,这样的几何体叫做圆台。
O
O'
想一想:圆台能否用旋转的方法得到
若能,请指出用什么图形 怎样旋转
侧面
母线
上底面
下底面
O
O'
轴
2、圆台的表示法:用表示它的轴的字母表示,如圆台OO′。
圆台和棱台统称为台体
思考:圆柱、圆锥和圆台都是旋转体,当底面发生变化时,它们能否互相转化?
上底扩大
上底缩小
七、球的结构特征:
1、定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体,叫做球体。
O
A
B
半径
球心
2、球的表示法:用表示球心的字母表示,如球O
半圆的圆心叫做球的球心
连接球心和球面任意一点的线段叫做半径
连接球面任意两点并经过球心的线段叫做直径
直径
思考:用一个平面去截一个球,截面是什么
O
用一个截面去截一个球,截面是圆面。
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。
球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆。
d
R
A
O’
r
O
B
球的性质
球心和截面圆心的连线垂直于截面.
球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 有下面的关系:
用一个截面去截一个球,截面是圆面。
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。
球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆。
(多选)下列选项中,正确的是
A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一
周形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D.用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面
例1
√
√
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
反思感悟
(多选)下列说法,正确的是
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线
都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
跟踪训练1
√
√
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
反思感悟
日常生活中常用到的日用品,比如:消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么?
圆柱
圆台
圆柱
八、简单组合体的结构特征:
八、简单组合体的结构特征:
1、现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外,还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体称作
简单组合体。
2、简单几何体的构成有两种形式
(2)简单几何体截去或挖去一部分而成的.
(1)由简单几何体拼接而成的;
例2 如下图,以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体. 说出这个几何体的结构特征.
B
A
C
D
A
B
C
D
E
这个几何体是由圆柱BE和圆锥AE组合而成的. 其中圆柱BE的底面分别是圆B和圆E,侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的;
圆锥AE的底面是圆E,侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的.
解:
由平面图形构成旋转体的误区
坑
如图所示,四边形ABCD为直角梯形,试着作出绕其各条边所在直线旋转所得到的几何体.
【解析】四边形ABCD有四条边,分四种情况考虑:
(1)以AD所在直线为旋转轴,形成的几何体是圆台,如图①所示;
(2)以AB所在直线为旋转轴,形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体,如图②;
(3)以CD所在直线为旋转轴,形成的几何体是圆柱中挖去一个圆锥的组合体,如图③;
(4)以BC所在直线为旋转轴,形成的几何体是圆台上边内部挖去一个倒立的小圆锥,下面叠加一个倒立的大圆锥,如图④
①
②
③
④
易错分析
请描述如图所示的几何体是如何形成的.
例2
①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;
②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体;
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时,首先要熟练掌握简单几何体的结构特征;其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成,结合柱、锥、台、球的结构特征,先分割,后验证.
反思感悟
(1)如图所示的简单组合体的组成是
A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱
跟踪训练2
√
(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
√
旋转体的有关计算
已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
例3
如图,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,
即(d1-d2)(d1+d2)=3,又d1-d2=1,
反思感悟
(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构设相关几何变量的方程(组)而得解.
(2)利用球的截面,将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长.
跟踪训练3
设圆台的母线长为l cm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA′=3 cm.
解得l=9,即圆台的母线长为9 cm.
课堂
小结
1.知识清单:
(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
(2)球的结构特征.
(3)简单组合体的结构特征.
2.方法归纳:分类讨论、转化与化归.
3.常见误区:同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.