8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节进一步认识简单几何体的表面积和体积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小.
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？今天就让我们来学习一下吧！
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
学习目标
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.
在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图,正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
一、棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积的求法：
把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。
（1）直棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱柱的侧面展开图是一个长方形
底面是正六边形
底面是正六边形
h
（2）斜棱柱的侧面积为多少？如何计算它的表面积？
（3）棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的侧面展开图是多个三角形底面是多边形
底面
底面
（4）正棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱锥的侧面展开图
侧面展开图是全等的三角形
（5）正棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图是多个等腰梯形
S表=2S底+S侧
例1 如图示，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积.
解：∵ ABC是正三角形，其边长为a.
因此，四面体P-ABC的表面积为
又∵四面体P-ABC各棱长均为a，
∴四面体四个都是正三角形，
A
C
B
S
　　　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
跟踪训练1
∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE(图略)，
则SE⊥AB，
二、棱柱、棱椎、棱台的体积
我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式。
它们分别是(是正方体的棱长)，(，分别是长方体的长、宽、高).
一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积
.
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系 它们与三棱柱的体积有什么关系
1
2
3
1
2
3
(其中S为底面面积，h为高)
经过探究得知，棱锥是同底等高的棱柱体积的 ．
即棱锥的体积：
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
A
D
B
C
A′
B′
C′
D′
O
O′
P
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式．
根据台体的特征，如何求台体的体积？
棱台的体积公式:
其中 ， 分别为上、下底面面积
h为圆台（棱台）的高．
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
思考：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式
，，，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
S为底面面积，h为柱体高
S分别为上、下底面面积，h 为台体高
S为底面面积，h为锥体高
上底扩大
上底缩小
例2 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
P
解：
如图示，由题意知
∴这个漏斗的容积为
　　　（1）已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
跟踪训练2
√
（2）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.
（3）. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？
解：
如图示，由题意知正方体的棱长为0.5m，则有
B
C
A'
B'
C'
D'
A
D
E
F
G
∴这个石凳的体积为
追问：当x取多少时V有最大值吗？
课堂
小结
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
(3)组合体的表面积与体积.
(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.
2.方法归纳：等体积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
再见