8.6.1直线与直线垂直 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用．
类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质．
问题 空间两条直线有哪些位置关系？
共面直线
相交直线：
在同一平面内,有且只有一个公共点；
在同一平面内，没有公共点；
平行直线：
异面直线：
不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点.
在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.
本节我们主要研究异面直线.
③判别:
Ⅰ. （反证法）两条直线既不相交、又不平行.
Ⅱ.（定义法）两条直线不同在任何一个平面内.
Ⅲ.判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.
①定义:不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点.
异面直线：
α
β
a
b
②画法:
首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.
直线与直线垂直
学习目标
1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.
2.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.
观察
如图, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，
直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线
AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相
对于直线AB的位置相同吗
如果不同，如何表示这种差异呢
类似地，可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系.
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．
图中的角θ即为直线a与直线b的夹角．
不同.
a
b
1. 异面直线所成角
定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
b′
a′
空间直线所成角→平面直线所成角
（空间问题→平面问题）
O
O点选取的位置会影响直线a与b所成的角吗？
不会
注①异面直线a,b所成角，只与a,b的相互位置有关，而与点O位置无关.
O
②一般常把点O取在两异面直线中的a或b上.
③异面直线所成角的取值范围：0°<θ≤90°
异面直线所成角θ的取值范围是什么？
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
当两条直线a, b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.
所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤θ≤90°.
O

α
b
a
a′
区别：异面直线所成角的取值范围是____________.
(0°, 90°]
2. 异面直线垂直
空间两条直线垂直，它们一定相交吗？
相交垂直
异面垂直
1.如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.（ ）
√
3.垂直于同一条直线的两条直线平行.（ ）
判断下列命题是否正确.
×
√
2.如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. ( )
概念理解
4 .下列说法正确的有（ ）
A．异面直线a与b所成角可以是0°.
B．若a⊥c，b⊥c，则a ∥b.
C．若a ∥b，则a，b与c所成的角相等.
D．若a，b与c所成的角相等，则a ∥b.
E．若a ∥b，a⊥c，则b⊥c.
CE
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB, BC, CD, DA, A′B′, B′C′, C′D′, D′A′.
(2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′,
∴∠A′BB′（或其补角）为直线BA′与CC′所成的角.
而∠A′BB′=45°.
∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°.
求异面直线所成的角
1.作
2.证
3.计算
4.结论
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
连接A′C′,
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，
∴AA′ CC′,
∴四边形AA1C1C是平行四边形.
∴AC∥A′C′,
∴异面直线BA1与AC所成的角等于60°.
∴∠BA1C1（或其补角）为直线BA1与AC所成的角.
连接BC′,
则△A1BC1是等边三角形，
∴∠BA1C1=60°，
解：
（解三角形）
(1)作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），常用平移法作出异面直线所成的角(或其补角)；
(2)证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行）
(3)计算：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小；
(4) 结论：将求出的角转化为线线角
（注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；
若90°<α<180°,则180°－α即为所求）．
3. 求异面直线所成的角的一般步骤
一“作”二“证”三“计算”四“结论”
补例 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值.
法一（平移法）：
∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 .
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
M
1
2
2
解：如图①，连接AC，BD，相交于点O，
取DD1的中点M，连接OM，AM，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴AA1 BB1 CC1.
∴四边形AA1C1C是平行四边形.
∴A1C1∥AC
∴O是AC的中点.
∴∠AOM(或其补角)是异面直线A1C1与BD1所成角
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，
∴OM∥BD1，OM= BD1
在△AOM中，求得AO= cm，OM= cm， AM= cm，
由余弦定理得
解法二（补形法）：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
E1
F1
解：如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体BEFC-B1E1F1C1，连接C1E，A1E，
∴C1E∥BD1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴C1D1 A1B1 BE.
∴四边形BEC1D1是平行四边形.
∴∠A1C1E(或其补角)是异面直线A1C1与BD1所成角
在△A1C1E中，易求A1C1= cm，C1E= 3cm，A1E= cm
由余弦定理得
∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 .
异面直线所成角的方法：
借助中位线、平行四边形
找平移直线
平移法：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
G
解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD，知EG＝FG，从而可知∠GEF或其补角为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知，△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
跟踪训练1
例2 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，
求证：AO1⊥BD.
证明：如图，连接B1D1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴ BB1 DD1.
∴四边形BB1D1D是平行四边形.
∴B1D1//BD .
∴∠AO1D1(或其补角)为直线AO1与BD所成的角.
∴ AO1⊥BD.
连接AB1，AD1，则AB1=AD1.
又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴ O1是B1D1的中点，
∴ AO1⊥B1D1，
∴ AO1⊥BD.
B
D
C
A1
B1
C1
D1
A
O1

如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB=BB′=2.
求证：BD⊥AC′.
B
D
C
A′
B′
C′
A
E

F

证明：
如图，取AC′的中点E，连接DE，取B′B的中点F，连接AF，EF.
跟踪训练2
课堂
小结
1.知识清单：
(1)平面内两直线的夹角.
(2)异面直线所成的角.
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.
再见