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专题11 相交线与平行线
【考情预测】
该版块内容是初中几何的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2023年浙江各地中考还将出现，大部分地区在选填题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。.
【考点梳理】
1、直线、射线、线段
1）直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
2）线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．
3）线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．
4）两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．
5）垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
6）点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．
2、角的相关概念
1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
2）角平分线
（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
3）度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°．
4）余角和补角
1） 余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角．
3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
5）方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．
3、相交线
1）三线八角
（1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
（2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
2）垂直
（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．
（2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．
3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．
4．对顶角
（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
5、平行线
1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
2）平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
3）平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．
4）平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫这两条平行线的距离．
（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．
【重难点突破】
考点1. 直线、射线、线段的相关概念与计算
【解题技巧】
在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．
点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫点到直线的距离．
【典例精析】
例1.（2021·浙江台州市·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据线段的性质即可求解．
【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A．
【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
例2．（2022·河北邯郸·校联考二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释
【答案】C
【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．
【详解】解：现象1：测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，可用“垂线段最短”来解释；
现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，故选：C．
【点睛】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
例3.（2022·广西桂林·中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．
【答案】4
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．故选：B．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．
变式2．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
3．（2022·安徽宣城·校考一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点。(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长
【答案】(1)10cm；11cm；(2)．
【分析】（1）根据AC+BD=AB-CD列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM+BN的长度，再根据MN=AB-（AM+BN）代入数据进行计算即可求解；
（2）根据（1）的求解，把AB、CD的长度换成m、n即可
【详解】（1）∵AB=16cm，CD=6cm，∴AC+BD=AB-CD=10cm，
∴MN=AB-（AM+BN）=AB-（AC+BD）=16-5=11（cm）；
（2）∵AB=m，CD=n，∴AC+BD=AB-CD=m-n，
∴MN=AB-（AM+BN）=AB-（AC+BD）=m-（m-n）=．
【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．
考点2. 角的相关概念及计算
【解题技巧】
1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．
2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．
3.度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°．
4．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．
5．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．
6.性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
【典例精析】
例1.（2022·浙江南浔·二模）已知，则的补角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接将180°减去∠α即可．
【详解】解：∵∠α=，∴∠α的补角为，故选A．
【点睛】本题考查了补角的定义，即如果两个角的和是180°，那么其中一个角就是另一个角的补角，因此，已知一个角，那么它的补角就等于180°减去这个已知角，解题的关键是牢记概念和公式等．
例2.（2022·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【答案】B
【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．
【详解】解： EO⊥CD，，
，．故选：B ．
【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．
例3.（2022·安徽安庆·统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点 30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，如图①. 若此钟面显示3点45分 时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②. 则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（ ）厘米
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米得出AD=10厘米，进而得出厘米，从而得出FA″=4厘米，得出答案即可．
【详解】解：如图，
∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米．∴AD=10厘米，
∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为18厘米，∴A′C=18厘米，
∴AO=A′O=8厘米，则钟面显示3点50分时，则有∠A″OA′=30°，
∴FA″=4，∴A点距桌面的高度为：18+4=22厘米．故选：C．
【点睛】此题考查解直角三角形以及钟面角，得出∠A′OA=30°，进而得出FA″=3，是解决问题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【分析】利用对顶角相等求解．
【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，．故选A．
【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
变式2．（2023·河南开封·一模）如图，直线相交于点于点平分，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．与互为补角 D．的余角等于
【答案】D
【分析】根据垂线的性质，角平分线的定义及对顶角、邻补角的性质，逐一判断．
【详解】A、∵AB、CD相交于O点，∴正确，符合题意；
B、∵OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∴正确，符合题意；
C、∵OD过直线AB上一点O，∴与互为补角，正确，符合题意；
D、的余角等于，原说法错误，不合题意，故选：D．
【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，角平分线的定义，垂线的性质．是需要熟记内容．
变式3．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【分析】根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出．
【详解】解：由题可知，
，．故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．
变式4．（2022·江苏连云港·中考真题）已知∠A的补角是60°，则_________．
【答案】120
【分析】如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．由此定义即可求解．
【详解】解：∵∠A的补角是60°，∴∠A=180°-60°=120°，故答案为：120．
【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键．
考点3. 平行线的相关概念
【解题技巧】三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
【典例精析】
例1．（2022·青海·统考中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
例2．（2022·云南楚雄·校考模拟预测）在下列说法中，正确的有（ ）
①两点确定一条直线； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③垂直于同一条直线的两条直线垂直；④平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线和已知直线垂直．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据直线的性质，平行线公理，垂线的性质，以及平行线的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①两点确定一条直线，正确；
②应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；
③应为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本小题错误；
④平行于同一条直线的两条直线平行，正确；
⑤应为在同一个平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故本小题错误；
综上所述，说法正确的有①④共2个．故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，直线的性质，平行公理以及垂线的性质，熟记性质与概念是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据同旁内角的概念求解即可．
【详解】解由图可知，∠1与∠3是同旁内角，∠1与∠2是内错角，∠4与∠2是同位角，故选：B．
【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键．
变式2．（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角，解答即可．
【详解】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是 ．故选：C
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义．
变式3．（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角，据此作答即可．
【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；
∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；
∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
考点4. 平行线的性质
【解题技巧】平行线的性质：
1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．
【典例精析】
例1.（2022·浙江衢州·模拟预测）如图，，，，______．
【答案】##35度
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
例2．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．(1)求证：．(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可．
(1)证明：∵是的角平分线，∴．
∵，∴，∴．
(2)．理由如下：∵，∴．
∵，∴，
∴，∴，∴，即．
由（1）得，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·山东潍坊·中考真题）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由//可得∠6=∠5
【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，
∵∴∴
∵//∴ 故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
变式2．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】根据三角板的角度，可得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
ACEF，故选C
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
变式3．（2021·浙江金华市·中考真题）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线．若，则．请完成下面的说理过程．解：已知，根据（内错角相等，两直线平行），得．再根据（ ※ ），得．
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】C
【分析】首先准确分析题目，已知，结论是，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．
【详解】解：∵，∴（两直线平行，同位角相等）．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．
考点5. 平行线的判定
【解题技巧】平行线的判定：
1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．
4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
【典例精析】
例1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【详解】解：A、当时，；故A不符合题意；
B、当时，；故B不符合题意；
C、当时，；故C符合题意；
D、∵，则，∵，则，∴；故D不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
例2．（2022·河北·中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误
【详解】方案Ⅰ：如下图，即为所要测量的角
∵∴∴故方案Ⅰ可行
方案Ⅱ：如下图，即为所要测量的角
在中：则：
故方案Ⅱ可行故选：C
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明
【变式训练】
变式1．（2022·浙江台州·中考真题）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
变式2．（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得．
【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是，
所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
变式3．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明．
【详解】证明：∵，∴．
∵，∴．∴．∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
考点6. 平行线有关的辅助线问题
【典例精析】
例1．（2022·贵州黔东南·中考真题）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（ ）
A．28° B．56° C．36° D．62°
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得出EF∥GH，过点C作CA∥EF，利用平行线的性质得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，
∵四边形EGHF为矩形，∴EF∥GH，过点C作CA∥EF，
∴CA∥EF∥GH，∴∠2=∠MCA，∠1=CAN，
∵∠1=28°，∠MCN=90°，∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，故选：D．
【点睛】考查矩形的性质，平行线的性质，角度的计算等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
例2．（2022·江苏盐城·统考一模）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42° B．43° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，从而求出∠FDE＝22°，故可得到∠CDF的度数．
【详解】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB，
∵FDAB，CNAB，EMAB，∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质．
【变式训练】
变式1．（2021·山东东营市·中考真题）如图，，于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作EH∥CD，由此求出，得到，根据平行线的推论得到AB∥EH，利用平行线的性质求出答案．
【详解】解：过点E作EH∥CD，如图，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，
∵EH∥CD，，∴AB∥EH，∴，故选：D．
【点睛】此题考查平行线的推论，平行线的性质，正确引出辅助线、熟记定理是解题的关键．
变式2．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的交点为点，过点作平行于的线，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．
【详解】解：取的交点为点，过点作平行于的线，如下图：
根据题意：， ，，
，，，
相交于点，，，故选：C．
【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．
变式3.（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质求解，找出图中，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．
【详解】解：如图，作，
三角尺是含角的三角尺，，，，，
，，，，故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系．
考点7. 平行线与方位角
【典例精析】
例1．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
【答案】A
【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
【详解】解：如图：由题意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝40°，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，故选：A．
．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
例2．（2022·河北石家庄·二模）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东20° B．北偏东30° C．北偏东35° D．北偏东40°
【答案】C
【分析】连接BC，由锐角三角函数定义得AC=PA= km，则AC=AB，再由等腰
三角形的性质得∠ACB=∠ABC=35°，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=km，
∴∠BAC=180°—∠PAC—∠BAE=180°—30°—40°=110°，
∵cos∠PAC==cos30°= ，∴AC=PA=×10= km，∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=×（180°—∠BAC）=×（180°—110°）=35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC的长是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到达地，则、两地相距___________海里．
【答案】50
【分析】根据题意可得海里，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：连接，
由题意得：海里，
是等边三角形，海里，、两地相距海里．故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
变式2．（2022·河北·统考二模）如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇，若乙中途未改变方向，则乙的行走方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东40° C．北偏东70° D．无法确定
【答案】C
【分析】延长CB交AF于D，根据方位角得出∠DAB=50°，根据正东方向得出CD⊥AF，根据行走距离得出AB=BC，利用三角形外交性质得出∠ABC=∠DAB+∠ADB=50°+90°=140°，根据等腰三角形性质得出
∠BAC=∠BCA=即可．
【详解】解：延长CB交AF于D，
∵甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇，
∴∠DAB=50°，CD⊥AF，AB=BC，∴∠ABC=∠DAB+∠ADB=50°+90°=140°，
∴∠BAC=∠BCA=，∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=50°+20°=70°，
∴乙的行走方向为沿北偏东70°．故选：C．
【点睛】本题考查方位角的应用，方位角之间关系，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，中掌握方位角的应用，方位角之间关系，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质是解题关键．
变式3.（2021·广西玉林市·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．
【答案】北偏东50°（或东偏北40°）
【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，∴∠APB=90°，∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
考点8. 三角板的相关角度问题
【典例精析】
例1．（2022·山西·中考真题）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】解：，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例2．（2022·广东深圳·中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得：，，利用平行线的性质可求，进而可求解．
【详解】解：如图，，，
，，，故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．
【答案】105
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】，，，
∵∠E=60°，∴∠F=30°，故答案为：105
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
变式2．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______
【答案】135°##135度
【分析】根据三角板及其摆放位置可得，求解即可．
【详解】，
，故答案为：135°．
【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式3．（2022·四川绵阳·统考中考真题）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若， 则∠DMC的大小为_________．
【答案】110°##110度
【分析】延长ED交BC于点G，利用三角形内角和定理求出∠C＝30°，∠E＝40°，再利用平行的性质求出∠EGC＝∠E= 40°，再利用三角形内角和即可求出∠DMC＝110°．
【详解】解：延长ED交BC于点G，
∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，∴∠C＝30°，∠E＝40°，
∵，∴∠EGC＝∠E= 40°，∴∠DMC＝180°-∠EGC -∠C= 110°．故答案为：110°
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是求出∠C＝30°，∠E＝40°，证明∠EGC＝∠E= 40°．
考点9. 七巧板与割补问题
【典例精析】
例1.（2022·北京·校考模拟预测）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】过点作于点，过点作于点，由七巧板的特点可得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为1，由，得出，由平行线分线段成比例定理的推论求出的长度，进而即可得出答案．
【详解】解：如图2，过点作于点，过点作于点，
由题意得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为1，，，
，，，，
，，，，
，与之间的距离，故选：D．
【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，掌握七巧板的特点，正方形的性质，平行线分线段成比例定理的推论是解决问题的关键．
例2.（2021·浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．
【答案】
【分析】据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵地毯平均分成了3份，∴每一份的边长为，∴，
在中，根据勾股定理可得，
根据裁剪可知，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2023 浙江中考模拟）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是 ．
【分析】如图2中，过点E作EI⊥FK于I，过点M作MJ⊥FK于J．想办法求出BM，MJ，FK与CD之间的距离，可得结论．
【详解】解：如图2中，过点E作EI⊥FK于I，过点M作MJ⊥FK于J．
由题意，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB＝BM＝2，EK＝EF＝2，FK＝4，FK与CD之间的距离为1，∵EI⊥FK，∴KI＝IF，∴EIFK＝2，∵MJ∥EI，∴，∴MJ，
∵AB∥CD，∴AB与CD之间的距离＝21，故答案为：
变式2．（2021·四川乐山市·中考真题）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据由边长为4的正方形分割制作的七巧板，可得共5种图形，然后根据阴影部分的构成图形，计算阴影部分面积即可．
【详解】解：如下图所示，由边长为4的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：
腰长是的等腰直角三角形，②腰长是的等腰直角三角形，③腰长是的等腰直角三角形，
④边长是的正方形，⑤边长分别是2和，顶角分别是和的平行四边形，
根据图2可知，图中抬起的“腿”（即阴影部分）是由一个腰长是的等腰直角三角形，和一个边长分别是2和，顶角分别是和 的平行四边形组成，
如下图示，根据平行四边形的性质可知，顶角分别是和的平行四边形的高是，且 ，∴一个腰长是的等腰直角三角形的面积是：，
顶角分别是和的平行四边形的面积是：，
∴阴影部分的面积为：，故选：A．
【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键．
变式3．（2022·江西赣州·统考三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据7块薄板的边长间的关系，结合面积公式逐项分析即可．
【详解】解：由题图可知，2与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于2的直角边，∴，
∵5的边长等于2的直角边的一半，∴，，A正确；
∵3相邻的两边分别与4的直角边和斜边相等，且3中的锐角为∴3与4同底等高，，
∵4与6是两个全等的三角形，∴，∴，B正确；
∵1与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于1的直角边，∴，C错误；
∵6也是等腰直角三角形，且6的斜边等于7的直角边，∴，
∵，∴，D正确．故选C．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，认准分成的各块塑料板的形状与大小是解题的关键，另外本题渗透利用了七巧板的思想，熟练掌握七巧板也很关键．
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专题11 相交线与平行线
【考情预测】
该版块内容是初中几何的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2023年浙江各地中考还将出现，大部分地区在选填题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。.
【考点梳理】
1、直线、射线、线段
1）直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
2）线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．
3）线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．
4）两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．
5）垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
6）点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．
2、角的相关概念
1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
2）角平分线
（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
3）度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°．
4）余角和补角
1） 余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角．
3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
5）方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．
3、相交线
1）三线八角
（1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
（2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
2）垂直
（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．
（2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．
3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．
4．对顶角
（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
5、平行线
1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
2）平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
3）平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．
4）平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫这两条平行线的距离．
（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．
【重难点突破】
考点1. 直线、射线、线段的相关概念与计算
【解题技巧】
在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．
点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫点到直线的距离．
【典例精析】
例1.（2021·浙江台州市·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
例2．（2022·河北邯郸·校联考二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释
例3.（2022·广西桂林·中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．
【变式训练】
变式1．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
变式2．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
3．（2022·安徽宣城·校考一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点。(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长
考点2. 角的相关概念及计算
【解题技巧】
1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．
2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．
3.度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°．
4．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．
5．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．
6.性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
【典例精析】
例1.（2022·浙江南浔·二模）已知，则的补角是（ ）．
A． B． C． D．
例2.（2022·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
例3.（2022·安徽安庆·统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点 30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，如图①. 若此钟面显示3点45分 时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②. 则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（ ）厘米
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
变式2．（2023·河南开封·一模）如图，直线相交于点于点平分，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．与互为补角 D．的余角等于
变式3．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
变式4．（2022·江苏连云港·中考真题）已知∠A的补角是60°，则_________．
考点3. 平行线的相关概念
【解题技巧】三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
【典例精析】
例1．（2022·青海·统考中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
例2．（2022·云南楚雄·校考模拟预测）在下列说法中，正确的有（ ）
①两点确定一条直线； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③垂直于同一条直线的两条直线垂直；④平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线和已知直线垂直．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练】
变式1．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
变式2．（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
变式3．（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
考点4. 平行线的性质
【解题技巧】平行线的性质：
1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．
【典例精析】
例1.（2022·浙江衢州·模拟预测）如图，，，，______．
例2．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．(1)求证：．(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
【变式训练】
变式1．（2022·山东潍坊·中考真题）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
变式3．（2021·浙江金华市·中考真题）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线．若，则．请完成下面的说理过程．解：已知，根据（内错角相等，两直线平行），得．再根据（ ※ ），得．
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
考点5. 平行线的判定
【解题技巧】平行线的判定：
1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．
4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
【典例精析】
例1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·河北·中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【变式训练】
变式1．（2022·浙江台州·中考真题）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
变式3．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
考点6. 平行线有关的辅助线问题
【典例精析】
例1．（2022·贵州黔东南·中考真题）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（ ）
A．28° B．56° C．36° D．62°
例2．（2022·江苏盐城·统考一模）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42° B．43° C．44° D．45°
【变式训练】
变式1．（2021·山东东营市·中考真题）如图，，于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点7. 平行线与方位角
【典例精析】
例1．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
例2．（2022·河北石家庄·二模）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东20° B．北偏东30° C．北偏东35° D．北偏东40°
【变式训练】
变式1．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到达地，则、两地相距___________海里．
变式2．（2022·河北·统考二模）如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇，若乙中途未改变方向，则乙的行走方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东40° C．北偏东70° D．无法确定
变式3.（2021·广西玉林市·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．
考点8. 三角板的相关角度问题
【典例精析】
例1．（2022·山西·中考真题）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
例2．（2022·广东深圳·中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．
变式2．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______
变式3．（2022·四川绵阳·统考中考真题）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若， 则∠DMC的大小为_________．
考点9. 七巧板与割补问题
【典例精析】
例1.（2022·北京·校考模拟预测）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是（ ）
A． B． C．4 D．
例2.（2021·浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．
【变式训练】
变式1．（2023 浙江中考模拟）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是 ．
变式2．（2021·四川乐山市·中考真题）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）
A．3 B． C．2 D．
变式3．（2022·江西赣州·统考三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
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专题11 相交线与平行线
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
2.（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，∴∠OBC=35°，∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
3.（2022·湖南娄底·中考真题）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，由平行线的性质可得 从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得： ，
故选C
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题关键．
4．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，∴∠A＝∠D=30°，故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
5.（2022·山东滨州·中考真题）如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而计算即可．
【详解】，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．（2022·四川自贡·中考真题）如图，直线相交于点，若，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．150°
【答案】A
【分析】根据对顶角相等可得．
【详解】解：∵，与是对顶角，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．
7．（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27° B．53° C．57° D．63°
【答案】D
【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．
【详解】解：如图所示：
∵AE//BF，∴∠EAB=∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠ABC=90°，∴∠ABF+27°=90°，∴∠ABF=63°，∴∠EAB=63°，
∵AB//CD，∴∠AED=∠EAB=63°．故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
8．（2022·河北保定·校考二模）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．
【详解】∵王村沿北偏东方向到李村∴
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西方向到张村
∴
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为故选：B．
【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．
9．（2022春·福建福州·九年级校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线．
B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线．
C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等．
D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短．
【答案】C
【分析】根据对两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短即可判断．
【详解】解：A、应用了知识“两点确定一条直线”，故正确，不符合题意；
B、应用了知识“经过两点有且只有一条直线”，故正确，不符合题意；
C、应用了知识邻补角，而不是等角的余角相等，故错误，符合题意；
D、应用了知识“两点之间线段最短”，故正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】此题考查了两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短等知识，解题的关键是读懂实际情境，结合数学知识进行理解．
10．（2021·内蒙古中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．
【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1
如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,∴AD=AC=3故选C．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
11．（2022·贵州毕节·统考一模）从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】时针1小时走1大格，1大格为30°．
解答：解：从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（6-3）×30°=90°，故选C．
12．（2021·河北中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断．
【详解】解:设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，
连结AB、AC、AD、AE，根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，
利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，故选择A．
【点睛】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键．
13．（2021·北京中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意易得，，进而问题可求解．
【详解】解：∵点在直线上，，∴，，
∵，∴，∴；故选A．
【点睛】本题考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
14．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】过C点作CF∥AM，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：过C点作CF∥AM，
∵AM∥BN，∴AM∥CF∥BN，∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB，∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，
∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°，故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据题意构造平行线，并熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
15．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α．
【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，∠2=90°-∠3=180°-α．故选：C．
【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义．
16．（2022·陕西·中考真题）如图，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解．
【详解】解：设CD与EF交于G， ∵AB∥CD∴∠1=∠C=58°
∵BC∥FE，∴∠C+∠CGE=180°，∴∠CGE=180°-58°=122°，∴∠2=∠CGE=122°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键
17．（2022·湖南·中考真题）如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：在中，，，
则，∵，∴，故选C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键．
18．（2022·河北唐山·统考一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）C、D两站的距离为_____；（2）若a＝3，C为AD的中点，b=______．
【答案】 a+3b##3b+a 2
【分析】(1)利用即可求解；
（2）先利用求得，再利用C为AD的中点，代入 即可．
【详解】解：（1）∵，，∴；
（2）∵，，∴，
∵C为AD的中点，∴，即，
当时，则，解得，故答案为：（1）（2）
【点睛】本题考查了整式的加减，根据图形列出代数式是解题的关键．
19．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______．
【答案】##15度
【分析】根据题意可得：，，，然后利用平行线的性质可得，从而进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，，，
，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一副三角板如图放置，，，，则_________．
【答案】105
【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵，∴，
，，，，故答案为：105．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
21．（2022·山东枣庄·统考中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，则__°．
【答案】25
【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数．
【详解】解：∵，∴．
∵，∴．故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
22．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．
【答案】90
【分析】根据题意可得∠APC＝34，∠BPC＝56，然后进行计算即可解答．
【详解】解：如图：由题意得：∠APC＝34，∠BPC＝56，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90，故答案为：90．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
23．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得，根据等量等量代换得，进而根据邻补角性质即可求解．
【详解】解：如图
l1l2，l2l3，，，，
∠1＝，，故答案为：．
【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
24．（2021·湖南中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
【答案】60
【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得．
【详解】解：设，是的平分线，，
平分，，
又，，解得，即，
由对顶角相等得：，故答案为：60．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
25．（2021·江苏泰州市·中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
【答案】20
【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【详解】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，∴至少要旋转20°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
26.（2022·贵州遵义·中考真题）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．
【答案】33792
【分析】根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可．
【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，
根据题意，∵，∴，
∵在中， ，∴，
∵，∴由垂径定理可知：，
∴以为直径的圆的周长为，故答案为：33792．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形方法．
27．（2021·浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．
【答案】
【分析】据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵地毯平均分成了3份，∴每一份的边长为，∴，
在中，根据勾股定理可得，
根据裁剪可知，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．
28．（2023·浙江婺城·二模）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B在格点上，点C是线段AB与格线的交点．利用网格和无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，过点B作AB的垂线．（2）在图2中，过点C作AB的垂线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）直接利用网格作出所求垂线即可；
（2）结合（1）的作图，再利用平行线分线段成比例定理作图即可．
【详解】解：（1）BD即为所求；（2）CE即为所求．
【点睛】本题主要考查了过点作直线的垂线，灵活运用网格进行分析是解答本题的关键．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作的平分线
C．过点C作AB的平行线 D．过点C作DM的垂线
【答案】D
【分析】由作图痕迹可知作了的平分线并截取了，所以选项A，B可以体现，由，得，所以，所以选项C可以体现，故选D．
【详解】解：A．根据尺规作图作线段相等的方法可得，画弧就是在做“作一条线段等于已知线段”，故该选项不符合题意；
B．根据尺规作图作角平分线的方法可得，以为圆心，以恰当长度为半径画弧，再以弧和交点为圆心画弧交于一点，连接交点与形成的射线就是“作的平分线”，故该选项不符合题意；
C．根据尺规作图，在有“角平分线”与“等腰三角形”两个基本图形的基础上，一定会有“平行线”，因此，以为圆心画弧得到的等腰即可得出“过点C作AB的平行线”，故该选项不符合题意；
D．根据尺规作图作垂线的方法可知，要用作“中垂线”的方法才能做出垂线，而图中并没有作中垂线的相关痕迹，故该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查基本尺规作图，涉及到作线段相等、作角平分线、作平行线、作垂线等相关操作，熟练掌握五类基本尺规作图的操作方法，能通过痕迹识别五类基本尺规作图是解决问题的关键．
2．（2022·河北张家口·一模）如图，已知的边满足，关于三个角之间的关系错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，反向延长a2、b3，
∵a1a2，∴∠α+∠1=180°，∵b1b2，∴∠γ=∠2，
∵∠1=∠2，∴∠α+∠γ=180°，故B正确，此选不符合题意；
∵b3b2，∴∠γ=∠3，∵a3a2，∴∠3=∠4，
∵∠β+∠4=180°，∴∠β+∠γ=180°，故D正确，此选不符合题意；
∴∠α=∠β，故A正确，此选项不符合题意；故C错误，此选项符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2022·陕西西安·二模）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（ ）
A．14° B．16° C．18° D．25°
【答案】A
【分析】根据对顶角相等，计算角的差即可；
【详解】解：∵F点在CD延长线上，∴∠1=∠FDB=50°，∴∠EDF=∠FDB-∠2=14°，故选： A．
【点睛】本题考查了对顶角的概念：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
4．（2022·四川泸州·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得∠CAD=∠1=130°，再根据AB⊥AC，可得∠BAC=90°，即可求解．
【详解】解：因为a∥b，所以∠1=∠CAD=130°，
因为AB⊥AC，所以∠BAC=90°，所以∠2=∠CAD-∠BAC=130°-90°=40°．故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是平行线与垂线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．
5．（2021·湖北中考真题）如图，在中，，点D在上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平角的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得．
【详解】解：，，，，
在中，，，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
6．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）
A．95° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】由平行的性质可知，再结合即可求解．
【详解】解：
故答案是：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．
7．（2021·贵州铜仁市·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断．
【详解】解：∵，∴，故A选项正确；
∵，∴,∵,
∴,故B选项正确；，故C选项正确；
∵，∴EF=BE，故D选项错误，故选：D．
【点睛】此题考查平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质，熟记各定理是解题的关键．
8 ．（2021·山东中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，∴CD//EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，
∵∠AGCAGB60°＝30°，∴α＝30°．故选：B．
【详解】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
9．（2022·山东淄博·统考中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数．
【详解】解：∵，∠BAE＝50°， ∴∠BAE=∠DFE=50°，
∵CF＝EF，∴∠C=∠E，∵∠DFE=∠C+∠E=50°，∴∠E=25°．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2022·河北廊坊·统考一模）如图，洋洋一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质及方向角的概念、特殊角的三角函数值逐项判定即可．
【详解】解：如图所示：
由题意可知，∠BAD=60°，∠CBP=50°，
∴∠BCE=∠CBP=50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠ABP=60°，∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B错误；
∵∠ACB=90°-∠BCE=40°，故C错误．∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，∴sin∠BAC=，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形-方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
11．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【分析】由作图得为等腰三角形，可求出，由l1l2得，从而可得结论．
【详解】解：由作图得，，∴为等腰三角形，∴
∵∠BCA＝150°，∴
∵l1l2∴故选B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键．
12．（2022·四川德阳·中考真题）如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，根据平行的性质得到∠1=∠4=100°，再根据三角形的外角和定理 即可求解．
【详解】设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，如图，
∵，∠1=100°，∴∠1=∠4=100°，∵∠2=30°，∠2与∠5互为对顶角，∴∠5=∠2=30°，
∴∠3=∠4+∠5=100°+30°=130°，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
13．（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，∴∠A=60°，
∵∠1=140°，∴∠AEF=∠1-∠A=80°，∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，
∵，∴∠2=∠BEF=100°．故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．
14．（2022·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．
【答案】
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽．
15．（2022·安徽·二模）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在AD上，则________．
【答案】
【分析】设等腰直角三角形③的直角边长为a，求出斜边长为 ，进一步求出等腰直角三角形②、①和④的直角边和斜边，表示出AB和BC长，得出结果．
【详解】解：设等腰直角三角形③的直角边长为a 则斜边长为
故等腰直角三角形②和①的直角边为2a，斜边为 故GM=MH=
故等腰直角三角形④的斜边长为2a∴AD=DG+MH+EH=
AB= ∴ 故答案为： ．
【点睛】本题考查七巧板相关知识，解决问题的关键是掌握组成七巧板的各个图形之间的数量关系．
16．（2022·四川绵阳·统考三模）如图，一副三角板的一边重合，得到四边形ABCD，过点A作直线AE∥BC，∠1的度数为____．
【答案】15°##15度
【分析】延长、相交于点，根据和是一副三角板求出的度数，再根据即可求出的度数．
【详解】解：延长、相交于点，如图所示
∵和是一副三角板∴，，
∴∴∵∴故答案为：．
【点睛】本题考查了一副三角板的度数、平行线的性质等知识点，解答本题的关键是牢记三角板各个角的度数，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解．
17．（2022·江苏盐城·统考三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．
【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，
∵是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，
， ．故答案为：．
【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．
18．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．故答案为：190．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
19．（2021·山东菏泽市·中考真题）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于处的济南舰突然发现北偏西方向上的处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里处的西安舰，西安舰测得处位于其北偏西方向上，请问此时两舰距处的距离分别是多少？
【答案】A舰距离为200海里, B舰距离为200海里,
【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，根据题意，得∠CAD=60°，∠CBA=∠ACB=30°，解Rt△ADC和Rt△BDC即可.
【详解】如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，根据题意，得∠CAD=60°，∠CBA=30°，
∵∠CAD=∠CBA+∠ACB ∠CBA=∠ACB=30°，∴AB=AC=200（海里），
在Rt△ADC中，CD=ACsin60°=200×=100，
在Rt△BDC中，BC=CD÷sin30°=200（海里）.
【点睛】本题考查了方位角，解直角三角形的应用，正确理解方位角的意义，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
20．（2022·山西大同·统考二模）阅读与思考
下面是某数学兴趣小组探究过直线外一点作已知直线的平行线的方法，请仔细阅读，并完成相应的任务．
已知：直线l和直线l外一点P（如图1）求作：l的平行线，使它经过点P．作法1：如图2，①在直线l上任取一点B，作射线BP；②以B为圆心，BP长为半径画弧，交直线l于点C；③分别以点P，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于D，作射线BD；④以点P为圆心，PB长为半径画弧，交射线BD于点E；⑤作直线PE，直线PE即为所求．作法2：如图3，①在直线l上任取一点A，作直线PA；②分别以点A和点P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于B，C两点；③作直线BC，交AP于点O，交直线l于点D；④在射线OB上截取；⑤作直线PE，则直线PE就是所求作的平行线．
任务：
(1)下面是作法1的证明过程，请将空缺的依据补充完整．
证明：由作图可知，
∴∠PBE=∠PEB（依据1：___________________________________________________）
由作图知，BD是∠PBC的平分线，
∴
∴
∴PE//l（依据2：___________________________________________）
(2)根据作法2的作图过程，证明PE//l；(3)请你用与上述两种作法不同的方法，在图4中用尺规过点P作已知直线l的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)等边对等角；内错角相等，两直线平行(2)证明见解析(3)作图见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，等量代换可得，从而得证PE//l；
（2）连接PD，EA，证明四边形PDAE是平行四边形
（3）作过点的射线，根据同位角相等，两直线平行，作一个角等于已知角即可求解．
(1)证明：由作图可知，∴∠PBE=∠PEB（依据1：等边对等角）
由作图知，BD是∠PBC的平分线，∴∴
∴PE//l（依据2：内错角相等，两直线平行）
故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行
(2)连接PD，EA
由作图知：BC是线段AP的垂直平分线∴
又∵∴四边形PDAE是平行四边形∴PE//l
(3)作过点的射线，根据同位角相等，两直线平行，作一个角等于已知角即可求解．
如图所示，直线AP即为所求．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了作平行线，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
21．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，．
(1)求的度数；(2)平分交于点，．求证：．
【答案】(1)(2)详见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．
(1)解：∵，∴，
∵，∴．
(2)证明：∵平分，∴．
∵，∴．
∵，∴．∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键
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专题11 相交线与平行线
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2.（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·湖南娄底·中考真题）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5.（2022·山东滨州·中考真题）如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川自贡·中考真题）如图，直线相交于点，若，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．150°
7．（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27° B．53° C．57° D．63°
8．（2022·河北保定·校考二模）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2022春·福建福州·九年级校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线．
B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线．
C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等．
D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短．
10．（2021·内蒙古中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
11．（2022·贵州毕节·统考一模）从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·河北中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·北京中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
15．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·陕西·中考真题）如图，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·湖南·中考真题）如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·河北唐山·统考一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）C、D两站的距离为_____；（2）若a＝3，C为AD的中点，b=______．
19．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______．
20．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一副三角板如图放置，，，，则_________．
21．（2022·山东枣庄·统考中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，则__°．
22．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．
23．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．
24．（2021·湖南中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
25．（2021·江苏泰州市·中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
26.（2022·贵州遵义·中考真题）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．
27．（2021·浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．
28．（2023·浙江婺城·二模）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B在格点上，点C是线段AB与格线的交点．利用网格和无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，过点B作AB的垂线．（2）在图2中，过点C作AB的垂线．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作的平分线
C．过点C作AB的平行线 D．过点C作DM的垂线
2．（2022·河北张家口·一模）如图，已知的边满足，关于三个角之间的关系错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西西安·二模）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（ ）
A．14° B．16° C．18° D．25°
4．（2022·四川泸州·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖北中考真题）如图，在中，，点D在上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）
A．95° B．105° C．110° D．115°
7．（2021·贵州铜仁市·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8 ．（2021·山东中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．（2022·山东淄博·统考中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
10．（2022·河北廊坊·统考一模）如图，洋洋一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上
C． D．
11．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
12．（2022·四川德阳·中考真题）如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．
15．（2022·安徽·二模）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在AD上，则________．
16．（2022·四川绵阳·统考三模）如图，一副三角板的一边重合，得到四边形ABCD，过点A作直线AE∥BC，∠1的度数为____．
17．（2022·江苏盐城·统考三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
18．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
19．（2021·山东菏泽市·中考真题）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于处的济南舰突然发现北偏西方向上的处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里处的西安舰，西安舰测得处位于其北偏西方向上，请问此时两舰距处的距离分别是多少？
20．（2022·山西大同·统考二模）阅读与思考：下面是某数学兴趣小组探究过直线外一点作已知直线的平行线的方法，请仔细阅读，并完成相应的任务．
已知：直线l和直线l外一点P（如图1）求作：l的平行线，使它经过点P．作法1：如图2，①在直线l上任取一点B，作射线BP； ②以B为圆心，BP长为半径画弧，交直线l于点C；③分别以点P，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于D，作射线BD；④以点P为圆心，PB长为半径画弧，交射线BD于点E；⑤作直线PE，直线PE即为所求．作法2：如图3，①在直线l上任取一点A，作直线PA；②分别以点A和点P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于B，C两点；③作直线BC，交AP于点O，交直线l于点D；④在射线OB上截取；⑤作直线PE，则直线PE就是所求作的平行线．
任务：(1)下面是作法1的证明过程，请将空缺的依据补充完整．
证明：由作图可知，
∴∠PBE=∠PEB（依据1：___________________________________________________）
由作图知，BD是∠PBC的平分线，
∴ ∴
∴PE//l（依据2：___________________________________________）
(2)根据作法2的作图过程，证明PE//l；(3)请你用与上述两种作法不同的方法，在图4中用尺规过点P作已知直线l的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．
21．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，．
(1)求的度数；(2)平分交于点，．求证：．
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