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专题12 三角形及其全等
【考情预测】
三角形及其全等重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10~15 分，预计2023年浙江各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查三角形中位线、内外角性质、三角形三边关系等知识点，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现三角形全等的判定和性质,这部分知识主要考查基础。
【考点梳理】
1、三角形的基础知识
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．
2、全等三角形
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
3、线段垂直平分线与角平分线
1）线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2）定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
4）、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
5）、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图，已知平分，，，则．
【重难点突破】
考点1. 三角形的三边关系
【解题技巧】在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．
【典例精析】
例1．（2022·湖南邵阳·中考真题）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
例2．（2022·四川德阳·中考真题）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．
【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a，
则根据题意有：，即，
当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者，
综上a的取值范围为：，据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km，故选：A．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．
【变式训练】
变式1．（2022·四川凉山·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不能组成三角形，此项不符题意；
B、，不能组成三角形，此项不符题意；
C、，能组成三角形，此项符合题意；
D、，不能组成三角形，此项不符题意；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
变式2．（2022·浙江金华·中考真题）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．
【详解】设第三边的长为x，∵ 角形的两边长分别为和，∴3cm＜x＜13cm,故选C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键．
变式3.（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．
【答案】4
【分析】用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣1＜a＜4＋1，即3＜a＜5，
又∵第三边的长是偶数，∴a为4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已知两边的和是解决问题的关键．
考点2. 三角形的内角和外角
【解题技巧】在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．
【典例精析】
例1．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图，,求证：
方法一
证明：如图，过点A作
方法二
证明：如图，过点C作
【答案】答案见解析
【分析】选择方法一，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为．
【详解】证明：过点作，
则，． 两直线平行，内错角相等）
点，，在同一条直线上，．（平角的定义）
． 即三角形的内角和为．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
例2．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．
【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：
【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．
【变式训练】
变式1．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．
【答案】减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
变式2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】（1），，．
在中，，，，
，．．
（2），的关系：．
理由如下：设，．在中，，
，．，
在中，，．
．．．
【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
变式3.（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】由三角形的内角和可求∠ABC，据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．
【详解】解：∵∠A+∠C=100°∴∠ABC=80°，∵BD平分∠BAC，∴∠ABD=40°，
∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD=40°，故答案为B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
考点3. 三角形中的重要线段
【解题技巧】三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.
【典例精析】
例1．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，∴AD是的角平分线，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
例2．（2022·广西玉林·中考真题）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AO⊥BC，用刻度尺直接量得AO更接近2cm，故选：D．
【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线
【答案】B
【分析】根据高线的定义注意判断即可．
【详解】∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，∴A错误，不符合题意；
∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，∴B正确，符合题意；
∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线，∴C错误，不符合题意；
∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴D错误，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．
变式2．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
【答案】
【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．
【详解】解：连接ED 是的中线，，
设，
与是等高三角形，
，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中线、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
【答案】C
【分析】根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；故选C．
【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．
考点4.垂直平分线与角平分线的性质
【解题技巧】垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
【典例精析】
例1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】∵，，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知，平分，∴，故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴，
∵，∴，故选项B正确，不符合题意；
C．∵，，∴，
∵，∴，故选项C正确，不符合题意；
D．∵，，∴；故选项D错误，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
例2．（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．
【答案】1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，∴，
∴．故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，
∵，，∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
变式2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
【详解】解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，
∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
变式3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.
【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．
考点5. 全等三角形的判定
【解题技巧】
1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：
（1）已知两边
（2）已知一边、一角
（3）已知两角
2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．
【典例精析】
例1．（2022·四川成都·中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
例2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．
【详解】A. ．根据SSS一定符合要求；B. ．根据SAS一定符合要求；
C. ．不一定符合要求；D. ．根据ASA一定符合要求．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理．
【变式训练】
变式1．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
【答案】D
【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．
【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS）∴D答案正确．故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．
变式2．（2022·浙江金华·中考真题）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
变式3.（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点C在上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】直接根据一线三垂直模型利用AAS证明即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键．
考点6. 全等三角形的性质与判定综合
【典例精析】
例1．（2020·湖北·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；
∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴
∵BD=CE∴AM=AN∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；
∵平分∠BFE，∴故④正确．故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
例2．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2
(2)DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析 (3)
【分析】（1）先根据得出，根据，得出，，再根据，求出，，
即可得出，最后根据三角函数得出，，
即可求出；
（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出，根据，得出，代入数据求出AF，根据AC=5，算出CF，即可求出三角形的面积．
(1)解：∵，，∴，
∵，∴，，
∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，
∴，，
∴，
∴，
，∴．
(2)DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；
②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．
(3)根据解析（2）可知，AD=CE=3，∴，
在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，
解得：，∴，
∵AB=AC=5，∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明，是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·四川自贡·中考真题）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．
【答案】详见解析
【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得．
【详解】证明：∵△是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．
变式2．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图1 图2
【答案】(1)见解析(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【解析】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，∴．
在和中，，∴，∴．
(2)解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∴．∵，，∴．
∵，∴，∴．∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
变式3．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结．（1）如图1，若，求的长．
（2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：．（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）先解直角三角形ABC得出，从而得出是等边三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的长，进而得出BC的长；（2）连结，先利用AAS证出，得出AE=2PE，AC=DE，再得出是等边三角形，然后由SAS得出，得出AE=BC即可得出结论；
（3）过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再证明，从而得出得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．
【详解】（1）解 ，，
，，是等边三角形，
是的中点，，
在中，，，．
（2）证明：连结，，，
，， ，
，，又，，
是等边三角形，，，
又，， ，．
（3）存在这样的． 过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，则，
，由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN，
∵，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，， ∴∠EAN=∠CBG
∵AE=BC，AB=BA，∴ ∴AC=BE，∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴，∵∴
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．
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专题12 三角形及其全等
【考情预测】
三角形及其全等重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10~15 分，预计2023年浙江各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查三角形中位线、内外角性质、三角形三边关系等知识点，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现三角形全等的判定和性质,这部分知识主要考查基础。
【考点梳理】
1、三角形的基础知识
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．
2、全等三角形
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
3、线段垂直平分线与角平分线
1）线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2）定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
4）、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
5）、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图，已知平分，，，则．
【重难点突破】
考点1. 三角形的三边关系
【解题技巧】在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．
【典例精析】
例1．（2022·湖南邵阳·中考真题）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例2．（2022·四川德阳·中考真题）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·四川凉山·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
变式2．（2022·浙江金华·中考真题）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．
考点2. 三角形的内角和外角
【解题技巧】在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．
【典例精析】
例1．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图，,求证：
方法一
证明：如图，过点A作
方法二
证明：如图，过点C作
例2．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【变式训练】
变式1．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．
变式2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．
变式3.（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
考点3. 三角形中的重要线段
【解题技巧】三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.
【典例精析】
例1．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
例2．（2022·广西玉林·中考真题）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是( )
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线
变式2．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
变式3．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
考点4.垂直平分线与角平分线的性质
【解题技巧】垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
【典例精析】
例1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
变式2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
考点5. 全等三角形的判定
【解题技巧】
1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：
（1）已知两边
（2）已知一边、一角
（3）已知两角
2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．
【典例精析】
例1．（2022·四川成都·中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
变式2．（2022·浙江金华·中考真题）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点C在上，．求证：．
考点6. 全等三角形的性质与判定综合
【典例精析】
例1．（2020·湖北·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
【变式训练】
变式1．（2022·四川自贡·中考真题）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．
变式2．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图1 图2
变式3．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结．（1）如图1，若，求的长．
（2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：．（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
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专题12 三角形及其全等
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．
【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．
【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．
2．（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案．
【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，
所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．
∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD与Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B选项正确，不符合题意；
C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，故C选项正确，不符合题意；
D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力．
3．（2022·广西·中考真题）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD
【答案】A
【分析】根据中点的作图，可知CD垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质进行作答即可．
【详解】由题意得，CD垂直平分AB，
，则B、C、D选项均成立，故选：A．
【点睛】本题考查了线段中点作图及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B ∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
5．（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可．
【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A．
【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的中心是三角形中线的交点．
6．（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
【答案】A
【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S△BCD=BC DE=×5×3=7.5．故选A．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
7．（2021·湖北黄石市·中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，∴DC=DH，，
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键．
8．（2021·陕西中考真题）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
【答案】B
【分析】由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵，，∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得，
∵，∴；故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
9．（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】5（答案不唯一）
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，整数a可取2、3、4、5、6中的一个，
故答案为：5（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答关键．
10．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______
【答案】
【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可．
【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，∴，解得，
∵这三个数为边长能构成三角形，∴，解得，
综上所述，的取值范围为，故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
11．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等．
【答案】2或
【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．
【详解】解：①当，时，，
，，，，解得：，
，，解得：；
②当，时，，，，，解得：，
，，解得：，
综上所述，当或时，与全等，故答案为：2或．
【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
12．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，已知，，请你添加一个条件________，使．
【答案】或或
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法（一般三角形全等的判定有：、、、共四种；直角三角形全等的判定有：、、、、共五种）是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
13．（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
【答案】##50度
【分析】根据作图可知，，根据直角三角形两个锐角互余，可得
，根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，，∴，
由作图可知是的垂直平分线，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出是的垂直平分线，是解题的关键．
14．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．
【答案】23
【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再用三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
，， 故答案为：23
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．
15．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC．
【答案】见解析
【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC．
【详解】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B．
又∵CD=AB，∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)．∴DE=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
16．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．
【详解】证明：∵，∴，在和中，
，∴，∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
17．（2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE
【答案】证明见解析
【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论．
【详解】证明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）
【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
(1)求证：△ABC≌△CDA ；(2)求草坪造型的面积．
【答案】(1)见解析(2)草坪造型的面积为
【分析】（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，利用含30°的直角三角形的性质求出的长度，继而求出的面积，再由全等三角形面积相等得出，即可求出草坪造型的面积．
(1)在和中，，；
(2)
过点A作AE⊥BC于点E，，，，
，，，，
草坪造型的面积，所以，草坪造型的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．（2022·四川乐山·中考真题）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
【答案】证明过程见详解
【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】证明∵B是AC中点，∴AB=BC，
∵，∴∠A=∠EBC，∵，∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答
本题的关键．
20．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．
(1)求证：；(2)若，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析(2)12
【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；（2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形ABCD的面积求解即可．
(1) AC平分，，
，；
(2)，，，
，，
四边形ABCD的面积．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．
21．（2022·江西·中考真题）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的角平分线；(2)在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
【答案】(1)作图见解析部分(2)作图见解析部分
【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可；
（2）取格点，过点和点作直线即可．
(1)解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段和是矩形的两条对角线且交于点，∴，
又∵，，
∴，∴平分，∴射线即为所作；
(2)如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，
∴，，，，
∴，∴四边形是菱形，
又∵，，，
在和中，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴四边形是正方形，∴，，且，∴直线即为所作．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
22．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【答案】(1)①，SSS(2)见解析
【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌ DEF，即可解决问题；
(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
(1)解：在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
故答案为：①，SSS；
(2)证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
23．（2021·贵州·统考一模）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．
德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．
请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形，写出已知、求证和证明．
【答案】见解析
【分析】过点作，由两直线平行，内错角相等得到，，再根据平角的定义解题．
【详解】已知：如图，．
求证：．
证明：过点作，∴，，
∵，∴．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，涉及平行线性质、平角定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)cm
【分析】（1）利用ASA证明即可；（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=x，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；
(2)如图，过点E作EG⊥BC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴,设AE=x，∴EP=x，
由知，EP=CF=x，∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,即，解得，，
∴BC=BG+GC= cm．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换
的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·山东济南·校考三模）如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】如图，过点P作于T，过点C作于R，利用面积法求出，再证明，即可求出长度的最小值．
【详解】解：如图，过点P作于T，过点C作于R，
在中，，，，，
，，，
由作图可知，平分， ，，
，，，，
的最小值为，故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．（2022·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，是的角平分线，垂直平分，且交于点D，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C．是的平分线 D．四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据角平分线，可以的∠MAP=∠NAP，根据垂直平分线，可以证AN=PN，MA=PM，再证明出四边形AMPN为菱形即可得出结果．
【详解】解：∵垂直平分，∴，，
∵平分，∴，∵，∴，
∴，∴，同理可知，∴四边形是平行四边形，
又∵，∴平行四边形是菱形，∴，是的平分线．
综上所述，选项A、B、C结论正确，不符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查角平分线、垂直平分线的性质、矩形的判断等，灵活运用角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．
3．（2022·贵州遵义·三模）已知：如图中，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：其中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确．
【详解】解：①为的角平分线，，
在和中，，故①正确；
②为的角平分线，，，，
，，，故②正确；
③，，，，
，为等腰三角形，，
，，，故③正确；
④过作，交延长线于点，
是的角平分线上的点，且，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在和中，，，，
在和中，，，，
，故④正确．
综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
4．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【答案】C
【分析】由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，证明 再证明 可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，
∴ ∵， ∴ ∴
故选C
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，证明是解本题关键．
5．（2022·湖南郴州·中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
【答案】8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
【详解】解：根据题意，在中，，，由角平分线的性质，得，
∴的周长为：；故答案为：8
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
6．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______．
【答案】2
【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积．
【详解】解：是边上的中线，为的中点，
根据等底同高可知，的面积的面积，
的面积的面积的面积，故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
7．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，为边上的高，，，则是___________度．
【答案】40或80
【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知，，故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：在中，为边上的高，，
，
，；
综上所述：或，故答案为：或．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．
8．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度．
【答案】15
【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解．
【详解】解：由题意，，，，
即点O到BC、AB的距离相等，∴ OB是的角平分线，
∵ ，∴．故答案为：15．
【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．
9．（2022·四川宜宾·模拟预测）如图，中，，，，点P为边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为的内心则：
（1）的最小值=___________；（2）的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据垂线段最短可知：当时，的值最小．首先证明，由三角形外角的性质与三角形内角和定理可得，据此可得结论．
【详解】解：根据垂线段最短可知：当时，的值最小，
此时，，故答案为：；
(2)为的内心，，
，
，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内心，垂线段最短，直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是求得．
10．（2022·河北·一模）如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在的内心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路，并分别与的两边AB、AC相交于点D、E，，小路c与d之间相距，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为_________m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为_________m．
【答案】 180 300
【分析】（1）在的内心I处修建了一个凉亭，从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小就是过向三边作垂线，垂线段的和就是结论；
（2）根据图形求出长度，再求即可．
【详解】（1）解：过作于，如图所示：
过凉亭的小路，小路c与d之间相距，m，
是的内心，到的三边垂线段都相等，均等于m，
从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为m，故答案为：180；
（2）连接，如图所示：
是的内心，为的三个内角的角平分线的交点，，
，，
，，
，，
游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为300m，
故答案为：300．
【点睛】本题考查三角形内心的性质，熟练掌握三角形内心是三角形三个内角的角平分线的交点是解决问题的关键．
11．（2023·福建福州·统考一模）已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是_____．
【答案】或
【分析】当是锐角三角形时，得出，得出，求解即可；当是钝角三角形时， ，得出，求解即可；当是直角三角形时，不符合题意．
【详解】解：当是锐角三角形时，如图所示：
∵I是的内心，∴、平分、，∴，，
∴
，∵，，
∴，∴；当是钝角三角形时，如图所示：
∵I是的内心，∴、平分、，
∴，，∴
∵，，∴，∴；
当是直角三角形时，不符合题意；故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形的内心，角平分的定义，分情况讨论是解题的关键．
12．（2022·宁夏银川·校考一模）材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数．
材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G．
问题：
(1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值．
(2) （填）
(3)是的黄金分割线吗？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据黄金数的定义，即可求解；
（2）根据平行线间的距离处处相等，可得，即可求解；
（3）根据，可得，，从而得到，再由线段所在的直线是的黄金分割线，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵a为0，1的黄金数，且实数，
∴，即，
解得： （舍确），；
（2）解：设点F到的距离为h，
∵，
∴，
即，
∴；
故答案为：
（3）解：是 理由如下：
∵，
∴，，
∴，
又∵线段所在的直线是的黄金分割线，
∴，
∴，
∴是的黄金分割线．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的性质，黄金分割点，黄金分割线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2022·江苏盐城·校考一模）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在与中，，，，，．
(1)【探索发现】将两个三角形顶点与顶点重合，如图2，将绕点旋转，他发现与的数量关系一直不变，则线段与具有怎样的数量关系，请说明理由；
(2)【深入思考】将两个三角形的顶点与顶点重合，如图3所示将绕点旋转．
①当、、三点共线时，连接、，线段、、之间的数量关系为 ；
②如图4所示，连接、，若线段、交于点，试探究四边形能否为平行四边形？如果能，求出、之间的数量关系，如果不能，试说明理由．
(3)【拓展延伸】如图5，将绕点旋转，连接，取的中点，连接，则的取值范围为 （用含、的不等式表示）．
【答案】(1)，理由见解析(2)①；②能，(3)
【分析】（1）证明，进一步得出结果；
（2）①在上截取，可得是等腰直角三角形，根据探究发现可得出结论；②四边形可以为平行四边形，根据勾股定理可得，进一步得出结果；
（3）延长至，是，连接，，可求得，从而点在以为圆心，的圆上运动，进一步得出结果．
【详解】（1），理由如下：
，，即，
在和中，，，；
（2）①，理由如下：如图2，在上截取，
，∴是等腰直角三角形，∴也为等腰直角三角形．
∴由（1）同理可证，．故答案为：；
②四边形可以为平行四边形，此时，．
，，，；
（3）如图3，延长至，使，连接，
．在中，，，
，点在以为圆心，的圆上运动，
当点在的延长线上时，最大，最大值为：，
当点在射线上时，最小，最小值为，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，综合性强，为压轴题．熟练掌握上述知识，并利用数形结合的思想是解题关键．
14．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）
【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．
【答案】(1)四点共线， (2)的值最小时，此时
(3)
【分析】(1)证明得到进而得到B，E，F，D四个点满足四点共线时，的值最小为，再由等边△及求出的长；
(2)同(1)中思路证明得到，当B，P，D，E四点共线时，的值最小为；进一步得到，即可求出，再过点C作于点F，利用即可求出的值；(3)同(2)中思路即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质，可知，
，，
∴，∴，∴，且，
∴，
∴当B，E，F，D四点共线时，的值最小为，如图所示：
连接AC，设AC与BD交于点O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB=60°，
∴，此时．
（2）解：由旋转的性质，可知，
，，
∴，∴，∴，
且均为等边三角形，,∴，
∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，如图1所示．
∵均为等边三角形，∴，
∵，∴．∴，∴，
∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时；
过点C作于点F，如图1所示．
∵，∴是线段的中垂线，∴C，P，F三点共线，
∴，设，则．
∴，∴．
（3）解：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接，
过点E作，交BC的延长线于点F，如图2所示：
由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时，
由(2)知：，∴，
∵，∴，∴．∴，
∴在中由勾股定理得到，
过点C作，垂足为G，如图2所示．
∵，∴，
∴，∴，
∴在中由勾股定理得到，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．
15．（2020·重庆·重庆市育才中学校考二模）（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
【答案】（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
（2）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
（3）在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，证明和，在通过角的和差即可得到结论．
【详解】解：（1）．理由：
如图1，延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
在和中， ，
∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：如图2，延长到点G，使，连接，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，，∴，
∴
（3）．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴．故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
16．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图1，在中，，平分，连接，，．
(1)求的度数；(2)如图2，连接，交于E，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G为的中点，连接交于点F，若，求线段的长．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）设．则，，由平分，得到，由三角形内角和定理，求得，进一步即可得到答案；
（2）先证明，则，则，又由得，即可得到结论；
（3）由O是的中点及得到，再证明，得到，则，又由，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1中，设．
∵，，∴，，
∵平分，∴，
∵，，∴，∴，
∴，，∴．
（2）证明：∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
（3）解：如图3中，连接，取O是的中点，
∵，∴或（舍去），由（1）、（2）及根据G是的中点可知：
，，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，又，∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角直角三角形的性质，熟练掌握三角形的全等和相似是解题的关键．
17．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析(2)；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
(1)证明：在和中，，∴ ，
∴ ，∴ ，∵，∴．
(2)解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，∴ 垂直平分BM，∴，
在和中，，∴ ，∴ ，，
∵，∴ ，∴ ，
∵，∴ ，∴ ，即，
∵，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
18．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
【答案】(1)不存在，理由见详解(2)(3)1
【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．
(1)不存在，理由如下：假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∴，
∵O点在BC上，∴DO与BC交于点O，∴假设不成立，故正方形不存在“等形点”；
(2)如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，
∵O点是四边形ABCD的“等形点”，∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵，OA=5，BC=12，∴AB=CD=，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，∵AM⊥BC，∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，，
∴，即，
解得：，即，
∴MC=MO+OC=，
∴在Rt△AMC中，，
即AC的长为；
(3)如图，∵O点是四边形EFGH的“等形点”，∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵，∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，∴OF=OG，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．
19．（2022·重庆·中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图 迹）．
在和中，
∵，
∴．
又，
∴__________________①
∵，
∴__________________②
又__________________③
∴．
同理可得__________________④
∴．
【答案】、、、
【分析】过点作的垂线，垂足为，分别利用AAS证得，，利用全等三角形的面积相等即可求解．
【详解】证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图 迹）．
如图所示，
在和中，
∵，
∴．
又，
∴①
∵，
∴②
又③
∴．
同理可得④
∴．
故答案为：、、、
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键．
20．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
【答案】(1)(2)；(3)
【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
(1)解：如图，过点A作AE⊥BC，
则，
∵AE=AE，∴．
(2)解：∵和是等高三角形，
∴，∴；
∵和是等高三角形，
∴，∴．
(3)解：∵和是等高三角形，
∴，∴；
∵和是等高三角形，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
21．（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
（简单应用）如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
【答案】【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC cos（180°﹣），理由见解析
【分析】简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m cos（180°﹣）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案为：AE＝AD．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．
理由：
如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，
∵AM＝AN，∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m cos（180°﹣）．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，
∵AT＝AC cos（180°﹣）＝m cos（180°﹣），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m cos（180°﹣）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.
22．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
23．（2023·山东济南市·中考模拟）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究:在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是 ，与的数量关系是 ；（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用:如图3，在中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．
【答案】（一）（1）结论：，．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）的最小值为．
【分析】（一）①结论：，．根据证明≌即可．
②①中结论仍然成立．证明方法类似．（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于．理由全等三角形的性质证明，推出当的值最小时，的值最小，求出的值即可解决问题．
【详解】（一）（1）结论：，．
理由：如图1中，
∵，∴，∴，
∵，，∴≌（），∴．
故答案为，．
（2）如图2中，①中结论仍然成立．
理由：∵，∴，∴，
∵，，∴≌（），∴．
（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于．
∵，∴，∵，，∴≌（），
∴，∴当的值最小时，的值最小，
在中，∵，，∴，
∵，∴，∴，
在，∵，∴，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，∴的最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
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专题12 三角形及其全等
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
3．（2022·广西·中考真题）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD
4．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
7．（2021·湖北黄石市·中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2021·陕西中考真题）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
9．（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可）
10．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______
11．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等．
12．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，已知，，请你添加一个条件________，使．
13．（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
14．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．
15．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC．
16．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
17．（2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE
18．（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
(1)求证：△ABC≌△CDA ；(2)求草坪造型的面积．
19．（2022·四川乐山·中考真题）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
20．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．
(1)求证：；(2)若，求四边形ABCD的面积．
21．（2022·江西·中考真题）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的角平分线；(2)在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
22．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
23．（2021·贵州·统考一模）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．
德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．
请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形，写出已知、求证和证明．
24．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．(1)求证：；(2)若，求的长．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·山东济南·校考三模）如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2022·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，是的角平分线，垂直平分，且交于点D，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C．是的平分线 D．四边形是矩形
3．（2022·贵州遵义·三模）已知：如图中，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：其中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
4．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
5．（2022·湖南郴州·中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
6．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______．
7．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，为边上的高，，，则是___________度．
8．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度．
9．（2022·四川宜宾·模拟预测）如图，中，，，，点P为边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为的内心则：
（1）的最小值=___________；（2）的取值范围是___________．
10．（2022·河北·一模）如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在的内心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路，并分别与的两边AB、AC相交于点D、E，，小路c与d之间相距，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为_________m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为_________m．
11．（2023·福建福州·统考一模）已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是_____．
12．（2022·宁夏银川·校考一模）材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数．
材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G．问题：(1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值．(2) （填）
(3)是的黄金分割线吗？为什么？
13．（2022·江苏盐城·校考一模）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在与中，，，，，．
(1)【探索发现】将两个三角形顶点与顶点重合，如图2，将绕点旋转，他发现与的数量关系一直不变，则线段与具有怎样的数量关系，请说明理由；
(2)【深入思考】将两个三角形的顶点与顶点重合，如图3所示将绕点旋转．
①当、、三点共线时，连接、，线段、、之间的数量关系为 ；
②如图4所示，连接、，若线段、交于点，试探究四边形能否为平行四边形？如果能，求出、之间的数量关系，如果不能，试说明理由．
(3)【拓展延伸】如图5，将绕点旋转，连接，取的中点，连接，则的取值范围为 （用含、的不等式表示）．
14．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）
【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．
15．（2020·重庆·重庆市育才中学校考二模）（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
16．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图1，在中，，平分，连接，，．(1)求的度数；(2)如图2，连接，交于E，连接，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点G为的中点，连接交于点F，若，求线段的长．
17．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
18．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
19．（2022·重庆·中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图 迹）．
在和中，
∵，∴．
又，
∴__________________①
∵，
∴__________________②
又__________________③
∴．
同理可得__________________④
∴．
20．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵ ∴．
【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
21．（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
（简单应用）如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
22．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
23．（2023·山东济南市·中考模拟）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究:在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是 ，与的数量关系是 ；（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用:如图3，在中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．
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