广东省东莞市南开实验学校2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题

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南开实验学校2013-2014学年高二下学期期中学业水平考试
数学（文）试题
一、选择题
1、设为虚数单位，则复数=( )
A. B. C. D.
2、已知集合A={1, }，B=,若，则实数a所以可能取值的集合为（ ）
A.{} B.{1} C.{} D.{}
3、下列函数为偶函数的是( )
A. B. C. D.
4、函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)
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5.已知函数f(x)=若f(a)=2,则实数a=( )
A.4或1 B.4 C.2 D.1
6、已知a,b都是实数，那么“a>”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2·1·c·n·j·y
7.
A.3 B.0 C.1 D.2
8、如图所示的程序框图运行的结果是
A． B．
C． D．
9、等比数列中，，前三项和，则公比的值
为（ ）
A．1 　 B．
C．1或　　　 D．－1或
10、如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式恒成立，那么就称函数f(x)为“有界泛函”。给出下列三个函数：；其中属于“有界泛函”的是（ ）
A. B. C. D.
第二部分 非选择题
二、填空题：(本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.)．
(一)必做题（11~13题）
11、函数的定义域是 。
12、已知则= 。
13、下列四个结论：线性回归方程已知命题p:"”,则命题
是“”；函数在R上是增函数；④函数。其中正确的是 （把正确的序号都填上）
（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，以C为圆心的圆的参数方程是，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标【来源：21·世纪·教育·网】
是 。
15、（几何证明选讲选做题）如图所示，直线与圆相切于点，是弦上的点，，若，则_______。www-2-1-cnjy-com
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三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16、（本题满分12分）已知函数.
(1)求的值。(2)设的值。
17、（本题满分13分）通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表：【来源：21cnj*y.co*m】
性别与看营养说明列联表 单位: 名
男 女 总计
看营养说明 50 30 80
不看营养说明 10 20 30
总计 60 50 110
（1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名 21·世纪*教育网
(2) 从（1）中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；【版权所有：21教育】
（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？
参考公式： 统计量，其中．
参考数据：
18．（本题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，，PD=CD=2．21教育名师原创作品
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(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；
(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；
(3)求四棱锥P－ABCD的体积．
19.（本题满分14分）已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差不为0的等差数列，且b,成等比数列。21世纪教育网版权所有
（1）求的值；
（2）求数列和的通项公式；
（3）求证：.
20．（本题满分13分）已知椭圆a＞b＞0)，点P(，)在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．21教育网
21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；
(3)当a＝1时，设函数f(x)在区间［ ( http: / / www.21cnjy.com )t，t＋3］上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间［－3，－1］上的最小值．21cnjy.com
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17.解：（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有名，样本中不看营养说明的女生有名；…………………………2分　　21*cnjy*com
（2）记样本中看营养说明的名女生为，不看营养说明的名女生为，从这5名女生中随机选取两名，共有个等可能的基本事件为：；；；；；； ( http: / / www.21cnjy.com )【出处：21教育名师】
(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD=D，因此AD⊥平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．
(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB．
由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线．
故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．
在△PDC中，由于PD＝CD＝2，，可得∠PCD＝30°．
在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝．
19.解：（1）因为所以
当n=1时，解得
当n=2时，解得
当n=3时，解得
（2）当n2时，，得
又所以数列是首项为2，公比为2的等比数列
所以数列的通项公式为
又设公差为d，则由成等比数列，得
解得d=0(舍去)或d=3.
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21．解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．
(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT 解得0＜a＜．21·cn·jy·com
所以，a的取值范围是(0，)．
(3)a＝1时，f(x)＝x3－x－1．由(1)知f(x)在［－3，－1］上单调递增，在［－1,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增．www.21-cn-jy.com
①当t∈［－3，－2］时，t＋3∈［0,1］，－1∈［t，t＋3］，f(x)在［t，－1］上单调递增，在［－1， ( http: / / www.21cnjy.com )2-1-c-n-j-y
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