2022-2023学年河北省承德市九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

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2022-2023学年河北省承德市九年级（下）第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若上升米记作米，则米表示( )
A. 上升米 B. 下降米 C. 下降米 D. 上升米
2. 点是直线外一点，点、是直线上两点，，，则点到直线的距离有可能为( )
A. B. C. D.
3. 若为正整数，则表示的是( )
A. 的相反数 B. 与的积 C. 的倒数 D. 与的积
4. 如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，将几何体向后翻滚，与原几何体比较，三视图没有发生改变的是( )
A. 主视图
B. 俯视图
C. 左视图
D. 俯视图与左视图
5. 把数轴上的点向右移动个单位长度得到点，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
6. 被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜是目前全球最大目最灵敏的射电望远镜，其反射总面积相当于个标准篮球场的总面积已知每个标准篮球场的面积为、则的反射总面积约为( )
A. B. C. D.
7. 如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中线段与直尺垂直，线段与数轴垂直，则点表示的数是( )
A.
B.
C.
D.
8. 以方程组的解为坐标的点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打人木桩底下，使木桩向上运动已知楔子斜面的倾斜角为，若木桩上升了，则楔子沿水平方向前进了如箭头所示( )
A. B. C. D.
10. 学校准备购买一些足球，原计划购买个，每个元，商家表示：如果多购，可以优惠，结果校方实际购买了个，而商家获得了同样多的利润，已知每个足球的成本价为元设每个足球减价元，则可得到( )
A.
B.
C.
D. 校方实际支出的钱和原计划一样
11. 设，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 如图，平行四边形中，点、在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有甲、乙、丙三种方案：
甲：只需要满足；
乙：只需要满足；
丙：只需要满足．
则正确的方案是( )
A. 甲、乙、丙 B. 甲、丙 C. 甲、乙 D. 乙、丙
13. 小高有三件运动上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条运动裤，分别是黑色和红色，一天他准备去运动场锻炼，随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为( )
A. B. C. D.
14. 如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的称为第一次裁剪；剪去剩下的矩形阴影部分边长的，长的称为第二次裁剪；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为( )
A. B. C. D.
15. 已知二次函数，其中，为常数，则下列说法正确的( )
A. 若，，则二次函数的最小值小于
B. 若，，则二次函数的最大值小于
C. 若，，则二次函数的最大值大于
D. 若，，则二次函数的最小值小于
16. 为了测量圆形工件的直径．
甲：如图，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离和小木块的边长即可；
乙：如图，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径和两个圆心之间的距离即可．
下面的说法正确的是( )
A. 甲对乙不对 B. 甲不对乙对 C. 两人都不对 D. 两人都对
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 非零实数，满足，，则 ．
18. 已知实数，满足．
比较大小： 选填“”“”或“”；
多项式的最小值为 ．
19. 如图，矩形中，，，点是的中点．
将矩形绕点顺时针旋转在旋转过程中，当时，四边形是一个特殊的平行四边形，它的形状是 ；
连接在旋转过程中，的值始终是一个定值，它是 ；当时，边，与边交于点，线段 ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
已知．
若，，，求的值；
若，，，且，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出解集．
21. 本小题分
为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶次，为了比较两人的成绩，教练制作了如图和表统计图表成绩均为正整数．
乙运动员的成绩统计表：
成绩环
次数
将如表单位：环补充完整；
平均数 众数 中位数
甲
乙
其中一名选手有一次的成绩低于平均数，却排在他的所有成绩的中上游，这名选手有可能是 选填“甲”或“乙”；
经计算，甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，综合考虑，如果要选择一人参加射击比赛，则有可能选派谁去？并说明理由．
22. 本小题分
如图，在中，，，为边的中点，以为边作等边，连接，．
求证：为等边三角形；
若，在边上找一点，使得最小，并求出这个最小值．
23. 本小题分
填空：
将整数分成两个正数之和 分成的两个正数差的绝对值 分成的两个正数之积
，
，
，
，
，
，
，
观察此表发现，当分成的两个正数差的绝对值 ，它们的积 ；
给定一个正数，如何将它分成两个正数之和，使它们的积最大？请说明理由．
24. 本小题分
如图，点，在反比例函数图象上，作直线，分别交轴、轴于、两点，连接、．
求反比例函数的表达式和的值；
求的面积；
如图，过点作轴于点，过点作轴，交于点，点是直线上一点，若，求出点的坐标．
25. 本小题分
如图，在菱形中，，，在直线上有一点，，，以为直径的半圆与直线相切于点，点为半圆弧上一动点．
当点与点重合时，为半圆上一点，则线段的最小值为 ；
半圆从点出发沿做平移运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点开始绕圆心顺时针旋转，速度为每秒，设运动时间为秒，解决下列问题：
当时，求此时点到的距离及扇形的面积；
当半圆与菱形有交点时，直接写出运动时间的取值范围．
26. 本小题分
段公路宽米，在公路两旁有两根相距米的废弃电线杆、垂直于水平面上，距公路各米，，两点距地面均为米，在点、间有一根电线，其形状近似看作抛物线，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系如图．
有一辆货车装载货物后宽米，高米，路经此处司机发现货车不能从该电线下通过，请说明原因；
发现不能通过后，车上下来一人拿一把木叉准备挑高电线让货车通过，他站在与相距米的地方，如图所示，人和叉的总高度为米，这时左边的抛物线的形状与抛物线的形状相同，但发现还是不能通过，请你运用所学知识帮他找出原因；
这个人将向右挪动米，的高度不变，这样通过调整的位置使抛物线形状改变，从而使货车安全通过，请求出调整后的抛物线：中的取值范围．
取，取
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：上升米记作米，
米表示下降米，故B正确．
故选：．
根据具有相反意义的量求解即可．
本题考查了具有相反意义的量，掌握相反数的意义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据垂线段最短，那么到直线的距离一定不大于，，那么符合题意．
B.根据垂线段最短，那么到直线的距离一定不大于，，那么不符合题意．
C.根据垂线段最短，那么到直线的距离一定不大于，，那么不符合题意．
D.根据垂线段最短，那么到直线的距离一定不大于，，那么不符合题意．
故选：．
根据垂线段最短解决此题．
本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握“垂线段最短”是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
表示的是的倒数，
故选：．
根据负整数指数的意义，将化简，即可进行解答．
本题主要考查了负整数指数的意义，解题的关键是掌握．
4.【答案】
【解析】解：将几何体向后翻滚，与原几何体比较，三视图没有发生改变的是主视图．
故选：．
根据三视图的定义判断即可．
本题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5.【答案】
【解析】解：设数轴上的点对应的点为，
由题意可得：点对应的数是：，
点和点表示的数恰好互为相反数，
，
解得：．
点表示的数是，
故选：．
根据题意表示出点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案．
本题主要考查了数轴、相反数以及解一元一次方程，正确表示出点对应的数是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：的反射总面积为：，
万，
的反射总面积约为：．
故选：．
先计算出的反射总面积，再保留到万位，用科学记数法表示即可．
本题考查了近似数和科学记数法，掌握求一个数近似数的方法以及用科学记数法表示绝对值大于的数的方法和步骤是关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，，，，
，，
，
，
∽，
，即，
解得，
点表示的数是．
故选：．
如图，，，，证明∽，利用相似比求出，然后利用数轴表示数的方法可得到点表示的数．
本题考查了作图复杂作图：利用作图痕迹得到垂直关系，灵活利用相似三角形的知识求出的长．
8.【答案】
【解析】解：，
把代入得：
，
解得，
把代入得：
，
则在第一象限，
故选：．
方程组利用代入消元法求出解，即可确定出所在的象限．
此题考查了二元一次方程组的解以及根据坐标判断点坐在的象限，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．掌握代入消元法是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
则楔子沿水平方向前进了．
故选：．
运用三角函数定义求解．
本题考查解直角三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：原计划商家可获取利润为：
设每个足球减价元，则商家可获利润为
根据“商家获得了同样多的利润”可得：．
故选：．
根据“总利润单个利润数量”和“商家获得了同样多的利润”的等量关系即可解答．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，正确找到等量关系是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，即，
故选：．
把的分子、分母分别因式分解，约分后得到，再根据即可确定的取值．
本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，正确约分化简是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
甲，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
平行四边形是菱形，甲符合要求；
乙：平行四边形中存在，
根据乙而无法确定平行四边形是菱形，乙不符合要求；
丙平行四边形中，，
平行四边形是菱形，丙符合要求．
故选：．
先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相垂直证明即可作答．
本题考查了菱形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据题意画图如下：
共有种等可能的结果，恰好恰好都是红色的有种情况，
随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为．
故选：．
先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是红色的结果数，再利用概率公式即可求得答案．
本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、概率公式等知识点．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设原矩形的宽为，长为，
则第一次裁剪所得矩形的宽为，长为，
第二次裁剪所得矩形的宽为，长为，
第三次裁剪所得矩形的宽为，长为，
第四次裁剪所得矩形的宽为，长为，
第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，
，
．
故选：．
设原矩形的宽为，长为，则第一次裁剪所得矩形的宽为，长为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．
本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：，当时，函数最小值为，
则当时，有，则二次函数的最小值小于．
故选：．
将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可．
本题考查二次函数最值的求法，解题的关键是需要通常将二次函数的解析式化为顶点式，来求顶点坐标及函数最值为常用的方法．
16.【答案】
【解析】解：如图，设圆的半径是，圆形工件与工作台相切于，连接，，连接交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
甲说的对；
如图，设圆的半径是，圆形工件与工作台相切于，连接交于，连接，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
乙说的对，
甲，乙都对．
故选：．
甲，设圆的半径是，圆形工件与工作台相切于，连接，，连接交于，由勾股定理，垂径定理，切线的性质，列出关于的方程，即可求出；
乙，设圆的半径是，圆形工件与工作台相切于，连接交于，连接，，由勾股定理，垂径定理，切线的性质，列出关于的方程，即可求出．
本题考查两圆相切的性质，切线的性质，垂径定理的应用，关键是通过作辅助线，应用垂径定理，勾股定理，列出关于圆半径的方程．
17.【答案】
【解析】解：实数，满足等式，，
，是方程的两实数根，
，，
，
故答案为：．
根据已知判断出，是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
本题考查一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到，是方程的两实数根是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
，
；
，
，
当时，有最小值．
故答案为，．
先根据两个非负数的和为求得、的值，然后再比较大小即可；
用配方法和二次函数的性质求最值即可．
本题主要考查了绝对值的非负性、二次函数的性质求最值等知识点，正确确定、的值和配方法是解答本题的关键．
19.【答案】矩形
【解析】解：四边形是矩形，理由如下：
如图：
点是和的中点，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
故答案为：矩形；
连接，，，如图，
点是的中点．且，
，
在中，
，，
，
由旋转的性质得，
矩形与矩形能完全重合，
，，
∽，
；
过点作于点，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；．
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形；
连接，，，由勾股定理求出，再证明∽，由相似三角形的性质列比例式求解即可得出；
过点作于点，延长交于点，得到，，再根据角对的直角边等于斜边的一半可得结论
本题主要考查了旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
20.【答案】解：，，，
，，，
；
，，，
，
，
，
，
，
数轴表示如下所示：

【解析】先计算负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可；
先求出，再根据建立不等式求出的取值范围，再在数轴上表示对应的解集即可．
本题主要考查了实数的混合计算，化简二次根式，负整数指数幂，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
21.【答案】 甲
【解析】解：，
环，
环，
甲的中位数：环，乙的中位数：环，
平均数 众数 中位数
甲
乙
故答案为：，，，；
由可得：
甲的平均成绩为环，中位数为，只要成绩超过环，就排在他的所有成绩的中上游；低于环的同时，可以满足大于环；
乙甲的平均成绩为环，中位数为，只要成绩超过环，就排在他的所有成绩的中上游；不能即低于环，又大于环；
这名选手有可能是甲，
故答案为：甲．
甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，
乙的成绩更稳定，
且，甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数，
有可能选派乙去，乙的成绩更稳定，且平均成绩更高，在比赛时更有可能拿到高分．
先计算出的值，再根据平均数的定义，即可求出甲乙的成绩的平均数；分别求出甲乙两人第十次和第十一次成绩的平均数，即可求出甲乙成绩的中位数；
根据甲乙两人的平均成绩和中位数，进行分析即可；
根据甲乙两人的方差，进行分析即可．
本题主要考查了平均数、中位数的求法，根据方差和中位数作决策，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数的定义和计算方法，方差的定义．
22.【答案】证明：在中，，为边的中点，
，，，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
又，
为等边三角形；
解：作点关于直线对称点，连接交于点，则点即为符合条件的点，连接、，
如图，
由作图可知：最小值为，，，
，
为等边三角形，
，
，
在中，，，
，，
，
的最小值为．
【解析】根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明≌，即有，，接着有，问题随之得解；
作点关于直线对称点，连接交于点，则点即为符合条件的点，连接、，由作图可知：最小值为，问题随之得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键．
23.【答案】 越小 越大
【解析】解：根据观察此表发现，当分成的两个正数差的绝对值越小时，它们的积越大，
故答案为：越小，越大；
将正数平均分为两个数，此时它们的积最大，理由：
设将正数分为和两个正数，
即它们的积为：，
当且仅当时，有最大值，最大值为：，
即将正数分为和两个正数时，它们的积最大．
根据表格的数据，寻找规律即可作答；
设将正数分为和两个正数，即可得到，问题随之得解．
本题考查了数字规律的探索，二次函数的最值的知识，明确题意列出二次函数是解答本题的关键．
24.【答案】解：设反比例函数的解析式为，
将代入，得，
，
将点代入，得；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
当时，当时，
，，
，
过点作，垂足为，交于点，
，，
，
，
轴，轴，
轴，轴，
，，
，
，
设，则，
，
，，
，
解得，
点的坐标为．
【解析】设反比例函数的解析式为，将代入解析式求出，再将点代入，得；
求出直线的解析式，得到，，根据得到结果；
过点作，垂足为，交于点，求出，，推出，设，则，根据，求出，得到，求出，得到的长度，即可得到点的纵坐标．
此题考查了一次函数与反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，求图形的面积，直角三角形度角的性质，综合掌握一次函数与反比例函数的知识是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：连接交半圆于点，此时线段有最小值，
，，，
，
，
故答案为：；
过点作于，
在菱形中，，，
，
，
，
当时，，则，
点与点重合，
过点作于点，
，，
，
当时，，
扇形的面积；
点到的距离为，扇形的面积为；
当半圆与相切时，，
连接，
，
，
；
，
当点与点重合时，，此时，
当半圆与菱形有交点时，运动时间的取值范围为．
连接交半圆于点，此时线段有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的长度；
过点作于，求出，得到当时，点与点重合，过点作于点，求出，得到，即可求出；根据扇形面积公式求出扇形的面积即可；
当半圆与相切时，，连接，利用三角函数求出，得到，当点与点重合时，，即可得到当半圆与菱形有交点时，运动时间的取值范围．
此题考查了菱形的性质，切线的性质定理，直角三角形度角的性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出图形是解题的关键．
26.【答案】解：根据题意得：，，
把，代入得：
，
解得，
，
抛物线顶点坐标为，
根据已知，公路宽米，而米米，
宽米，高米的货车不能通过；
站在与相距米的地方，人和叉的总高度为米，
，
设抛物线的解析式为，
将，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为，
米米，
宽米，高米的货车不能通过；
向右挪动米，的高度不变，
挪动后，
把，代入得：
，
，，
抛物线：，
货车安全通过，
，
解得，
的取值范围是．
【解析】用待定系数法可得，知抛物线顶点坐标为，而米米，故宽米，高米的货车不能通过；
站在与相距米的地方，人和叉的总高度为米，得，设抛物线的解析式为，用待定系数法得抛物线的解析式为，即可得宽米，高米的货车不能通过；
挪动后，可得抛物线：，根据货车安全通过，有，即可解得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出二次函数解析式．
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