专题18 胡不归、阿氏圆、费马点（含答案）- 2023年中考数学二轮专题复习

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专题18胡不归、阿氏圆、费马点
专题价值
在各地的模拟试卷中,有时会出现基于“胡不归”、“阿波罗尼斯圆”“费马点”等背景的最值问题.这类问题虽然在中考中不一定会出现,但常会运用其解题思想与方法,考查变式.因此对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.在中考复习中,应多以中考模拟或中考真题为例,从解法对比中寻求解决此类问题的通性做法,并对其进行改进与延伸,通过不同角度和深度的挖掘,理解此类问题的全貌,感悟解决此类问题的方法.
常用解题思路
一、胡不归
【模型背景】有一则古老的历史故事:一个身在他乡的小伙子,得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家.然而,当他气喘吁吁地来到父亲的面前时,老人刚刚咽气.人们告诉他,在弥留之际,老人在不断喃喃的叨念：“胡不归？胡不归？……”早期的科学家曾为这则古老传说中的小伙子设想了了一条路线:如图所示,是出发地,是目的地;是一条驿道,而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带.为了急切回家,小伙子选择了直线路程.但是,他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带上行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线(尽管这条路线长一些,但是速度却可以加快),是可以提前抵达家门的.
那么,他应该选择那条路线呢 显然,根据两种路面的状况和在其上行走的速度值,可以在上选定一点,小伙子从走到,然后从折往,有望最早到达目的地.
用现代的数学语言表达出来就是:
已知在驿道和砂地上行走的速度分别为和,在上找一定点,使从至、再从至的行走时间最短.
于是,问题在于如何去找出点.
【模型解决】不妨假设在与上行走的速度为每秒钟1个单位长度,在上行走的速度为每秒钟2个单位长度,整个运动时间,现在最大的难点在于如何表达
联想到,过点构建一条射线,使得,过点作,垂足为,不难得出.
于是整个运动时间,要使最小,就是要找点,使得最小.根据垂线段最呏,过作,垂足为交于,此时为用时最少的,显然要少于走所需的时间(注:走也可看成的特殊情况),因此与的交点即为所求.
【模型提炼】由此,我们不难得出“胡不归问题”的核心解题思想就是“折转直”,并得到基本解题步 :
第一步,在目的点关于速度快的线段相异的一侧，过出发点作一条射线,使之与该线段构成的角满足;第二步,过目的点作该射线的垂线;第三步,该垂线与线段的交点即为所求.
二、阿波罗尼斯圆一一求的最小值
【模型背景】已知平面上两点,则所有满足且不等于1的点的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿波罗尼斯圆,又称阿氏圆.
如图1,是定点,是上一动点,,求的最小值.
图1 图2
【模型解决】如图2,在上找一个定点,使得,构建出子母相似,即有,从而可得.
【模型提练】(1)是这个问题存在初等解的前提条件,也是构造出新的变式的一个基础;(2)这类问题的解决思路,与传统的“将军饮马”类问题在思想方法上是一致的,即:将中的转化为,这样,最小值的问题就转化为求的最小值,从而把此类问题转化到“两点之间,线段最短”这个模型.而与“将军饮马”不同之处就在于如何将转化为,“将军饮马”类问题是通过作已知点关于直线的对称点来完成这个目标,而这类问题必须构造相似三角形中“子母型”这个数学模型,从而完成转化.
三、费马点
【模型背景】“将军巡营”的问题如下:在一大片的开阔地上有三座军营,且三座军营不在同一直线上,将军经常要去巡视.他从自己的指挥所出发,到达第一座军营后回到指挥所;再到第二座军营后回到指挥所;最后到第三座军营再回到指挥所.将军把指挥所设在何处,使得所走的总路径和最短
其数学模型如下:如图1,在内找一点,使得有最小值.
图1 图2
其实,“将军巡营”问题就是数学界大名鼎鼎的“费马点”问题,满足条件的点被称为“费马点”.法国业余数学家费马因提出了数学界的三大猜想之一“费马猜想”而享誉数学界,而“费马点”则是费马对数学界的又一卓越贡献.
【模型解决】三个角都小于的三角形,到三个顶点的距离和最小的点,是三角形的“正等角中心”(即这个点和三角形的三个顶点连线的夹角均为).如图2,若,则最小;
图3 图4
如何证明 如图3,将绕点逆时针旋转到,则,且,显然,当四点共线时线段和最短.此时,易证,则.
如何找到费马点 如图4,分别以和为边在的外部作等边和等边,连接,则的交点即为费马点.易证,则,则四点共圆,,则点为费马点.
【模型提栋】由此,我们不难得出“费马点”的核心解题思想就是“三线段转共线”,并得到基本解题步骤；
若要找费马点,则选取任意两边向外作等边三角形,将构造的两个顶点分别与原三角形的第三个顶点相连,两连线的交点即为费马点.
若要求锐角三角形内一点到三角形三个顶点的距离和的最小值,则只要以三角形的一边向外构造等边三角形,将构造的顶点与原三角形的第三个顶点相连,求连线的长度即可.
曾经这么考！
例1如图,一条笔直的公路穿过草原,公路边有一消防站,距离公路5千米的地方有一居民点的直线距离是13千米.一天,居民点着火,消防员受命欲前往救火,若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点.(友情提醒:消防车可从公路的任意位置进人草地行驶.)
【剖析】
要求所用行车时间最短,就要计算好行驶的路线.设置好行驶的路线,并表示出所需的时间,观察两个速度的关系,结合“胡不归”问题的解法思路进行解答.
【解答】
作,过作,垂足为,则,
,
过作,则的最小值为,设交于,易证,,
则,则,
最短时间为.
例2问题提出:如图1,在Rt中,半径为为圆上一动点,连接,求的最小值.
(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:
如图2,连接,在上取点,使,则有,
请你完成余下的思考,并直接写出答案:的最小值为_______.
(2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下,的最小值为_______.
(3)拓展延伸:已知扇形中,,点是上一点,求的最小值.
图1 图2 图3
【剖析】
(1)利用勾股定理即可求出;(2)连接,在上取点,使,则有,可证,得到,即:,从而的最小值为延长到点,使,连接,可证,得到,得到,当三点共线时,得到最小值.
【解答】
(1)如图1,连接,
图1 图2 图3
,要使最小,
最小,当点在同一条直线时,最小,
即的最小值为,在Rt中,的最小值为.
(2)如图2,连接,在上取点,使,则,
同(1)的方法得出的最小值为.
(3)如图3,延长到点,使,则,连接,
当三点共线时,取得最小值为:.
例3如图,正的边长为是的内切圆,点是上的
一个动点,则的最小值为_________.
【剖析】
本题没有前面的铺垫,是比较难的,我们首先可以将式子中前面的系数2提出来,则,想办法构造的一半,常见想法还是构造母子相似,连接,在的边上,构造的一半,设交于点,取中点,连接为一半,则为一半,问题迎刃而解.
【解答】
,连接交于点,取中点,连接,过作,过作.则,则最小值为,易求Rt中,,则最小值为最小值为.
例4如图,为正方形对角线上一动点,若,则的最小值为_________.
【剖析】
本题如果连接,从表面来看,问题可以转化为内的费马点问题.但点又在正方形对角线上,并非形内任意一点,似乎不能用费马点求解.但我们仔细推敲,不难发现,是等腰直角三角形,若以为边向外作等边三角形构造费马点,费马点就在的平分线上,即上,所以本题可以用费马点的相关知识解决.
【解答】
如图,将绕点顺时针旋转得到,当共线时,
最小.
是等边三角形,
,
,当共线时,最小,
作交的延长线于的延长线交的延长线于,则四边形是矩形,在Rt中,,
还会这么考？
1.如图,在中,,若是边上的动点,则的最小值为_______.
2.如图,中,于点是线段上的一个动点,则的最小值是_______.
3.如图,已知,点在边上,,过点作于点,以为一边在内作等边三角形,点是围成的区域(包括各边)内的一点,过点作交于点,作交于点,设,则的取值范围是_______.
4.如图,在Rt中,的半径为2,点是上动点,则的最小值为_______.
5.如图,在Rt中,的半径为是上的动点,连接,则的最小值是_______.
6.如图,是边长为4的正方形的内切圆,是上动点,则的最小值为_______.
7.如图,正方形的边长为4,点为平面上任意一点,,则的最大值为_______.
8.如图,菱形的对角线上有一动点,则线段的最小值为_______.
9.如图,在中,,点是内一点,则点到二个顶点的距离和的最小值是_______.
10.如图,在Rt中,,点,点在轴正半轴上,以为一边作等腰直角,使得点在第一象限.
(1)求出所有符合题意的点的坐标;
(2)在内部存在一点,使得之和最小,请求出这个和的最小值.
11.如图,已知二次函数的图象交轴于两点(在的左侧),交轴于点.一次函数的图象经过点,与轴交于点,与这个二次函数的图象的另一个交点为,且.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若点为轴上一点,求的最小值.
12.如图1,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点,点为轴负半轴上一点,于点交轴于点,满足.已知抛物线经过点、
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)连接,点在线段上方的抛物线上,连接,若和面积满足,求点的坐标;
(3)如图为中点,设为线段上一点(不含端点),连接.一动点从出发,沿线段以每秒1个单位的速度运动到,再沿着线段以每秒个单位的速度运动到后停止.若点在整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点的坐标.
专题18胡不归、阿氏圆、费马点
1.如图,在下方作,过点作于,过点作,在中,,
,
中,,
即的最小值为6.
2.如图,作于于,
设,则中,,
,
,
,即的最小值为.
3.如图,过作交于点,反向延长交于,易证,
,
当在边上时,点与点重合,,
当与点重合时,作于,
.
4.如图,在上截取,连接,则,
,
5.如图,在上截取,连,则
,即,过点作,.
6.连接,取的中点,连接,由题意得,,,即当点为与的交点时,最小,.
7.如图1,在上取点,使得,则,又 ;如图2,点在以为圆心,2为半径的圆上,连接,当共线时,最大,为,即的最大值为5.
8.本题若连接,则是等腰三角形,若以为边向外作等边三角形构造费马点,费马点就在的平分线上,即上,所以本题可以用费马点的相关知识解决.将绕点逆时针旋转得到,连接交于,交于,连接,,又,又为等边三角形,,可证,根据两点之间线段最短,的最小值.
9.以为边,在右侧作等边三角形,以为边,在左侧作等边.连接交于点,在上截取,连接,作,交的延长线于.
和是等边三角形,,又
当四点共线时,值最小,,最小值为.
10.(1)在Rt中,,如图1,(1)当,过作轴于,则,;
(2)当,过作轴于,
同理可得,;
(3)当,易证是的中点,
.
综上,.
(2)如图2,任取内一点,连接,将绕点顺时针旋转得到,是等边三角形,,
当四点共线时,的最小值,
,过作轴于,即之和的最小值是.
11.(1)把点代入得,.如图,过点作,垂足为4,.把代入中,.把代入得,这个二次函数的表达式为.(2)如图,过点作,垂足为:.连接,当三点共线时,,当时,最短.过作的最小值为,易证的最小值为.
12.(1),又,又,又,设抛物线函数关系式为,把代入得,;
(2)如图1,作轴交于,设直线的解析式为,把,代入得,,设,则,
,解得或.
(3)如图2,设运动时间为,则,过作轴交抛物线于,过作,,过作交于,交于,则,.
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