专题15 瓜豆原理（含答案）- 2023年中考数学二轮专题复习

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专题15瓜豆原理
专题价值
“瓜豆原理”是近几年初中数学界的一个热词,大量经典好题在各级各类期中期末卷,中考模拟卷,中考真题中出现,让人大呼过瘾,其实这类题是有迹可循的,一般都是给出一个动点的轨迹,探究另一个动点的轨迹.当然,随着时间的推移,一些早期的试题经过改编后,难度有所增加,本专题就精选一些好题,帮助同学们有所突破.
常用解题用路
何为瓜豆原理 其实是网络上各位老师在仔细研究了一类涉及轨迹的问题后,根据成语“种瓜得瓜,种豆得豆”,给相关问题起了一个约定俗成的名字而已,轨迹的类型有很多种,直线,双曲线,圆弧,都有可能,甚至有抛物线.但一定涉及到两个动点,我们可以称之为主动点,从动点.以最简单的直线型轨迹为例,一般分为以下几大类:
(1)放缩型.
如图1,线段长为,点是上的动点,点是线段外一个定点,连接为中点,当点从点运动到点时,求点运动的轨迹及路径长.
图1 图2
如图2,我们可以把点看作主动点,点看作从动点,且始终满足,即出现了“共顶点,定比值”的型相似结构,则点的路径一定由点的路径经过相应的放缩变化而来,根据两点确定一条直线,我们可以确定点的起始位置和结束位置,连接,取各自中点,则的运动轨迹为的中位线,路径长为,即所谓放缩型.
(2)旋转型.
如图3,线段长为,点是上的动点,点是线段外一个定点,连接,作,且,当点从点运动到点时,求点运动的轨迹及路径长.
图3 图4
如图4,我们可以把点看作主动点,点看作从动点,且始终满足,即出现了“共顶点,等线段”的手拉手全等结构,则点的路径一定由点的路径经过相应的旋转变化而来,根据两点确定一条直线,我们可以确定点的起始位置和结束位置,连接,将点绕点送时针旋转到点,将点绕点逆时针旋转到点,连接,连接,则的运动轨迹为线段,路径长为,即所谓旋转型.不难发现,,.
(3)旋转放缩型.
如图5,线段长为,点是上的动点,点是线段外一个定点,连接,作,且,当点从点运动到点时,求点运动的轨迹及路径长.
图5 图6
如图6,我们可以把点看作主动点,点看作从动点,且始终满足,即出现了“共顶点,等线段”的手拉手相似结构,则点的路径一定由点的路径经过相应的旋转放缩变化而来,根据两点确定一条直线,我们可以确定点的起始位置和结束位置,连接,将点绕点逆时针旋转到点,将点-绕点逆时针旋转到点,连接,连接,取各自中点,则的运动轨迹为线段,路径长为,即所谓旋转放缩型.不难发现,.
【总结】
上面各种模型中,点是定点,点是主动点,点是从动点,放缩型中的点由点以点为位似中心缩放而得,旋转型中的点可看成由点绕点逆时针旋转而得,旋转放缩型中的点可以看成是由点绕点旋转90度再缩放而得,因此,它们的运动路径也是由点的运动路径进行相应的变化,即所谓“种瓜得瓜,种豆得豆”.
而要看某一个题是否属于“瓜豆原理”,要注意两个方面:
从动点和定点的连线与主动点和定点的连线形成定角,涉及旋转.
从动点和定点的连线长度与主动点和定点的连线长度之比为定值,涉及放缩.
符合“瓜豆原理”的问题中,从动点的路径一定与主动点路径的形状是相同的,长度上,从主动点点路路径长定比;位置上,从动点路径由主动点路径绕定点旋转定角,或按定比缩放得来,还可能两者兼而有之.
曾经这么考!
例1如图,矩形中,为的中点,为上一动点,为中点,连接,则的最小值是 .
【剖析】
由于点在线段上运动,点又是中点,则我们可以把点作为定点,点为主动点,点为从动点,,点可由点以定点为位似中心,以位似比缩小而来,基于“瓜豆原理”分析,点的轨迹可由点的轨迹(即线段)以定点为位似中心,以位似比缩小而来,属于放缩直线型轨迹.
【解答】
连接,取中点中点,连接,则点的轨迹为的中位线,即,连接,易证当时,最小,此时点与点重合,且点与点重合,的最小值是.
例2如图,点是双曲线在第一象限上的一动点,连接并延长交另一分支于点,以为斜边作等腰Rt,点在第二象限,随着点的运动,点的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 .
【剖析】
显然,点是主动点,点是从动点.由“瓜豆原理”,点的轨迹必然与点一致,但问题是,哪个是定,点呢 显然点不合适,因为点也是动点,但我们易知点与点关于原点对称,点是中点,马想到连接,则绕点逆时针旋转到,点的轨迹由点的轨迹绕点逆时针旋转得到,属于旋转双曲线型轨迹.具体求解时,我们可以构造一线三直角全等解决.
【解答】
连接,作轴于轴于,点与点关于原点对称,,
为等腰直角三角形,,易证，点在第二象限,这个函数的解析式为.
例3如图,在平面直角坐标系中,半径为2的与轴的正半轴交于点,点是上一动点,点为弦的中点,直线-3与轴、轴分别交于点,则面积的最小值为 .
【剖析】
由于点在上运动,点又是中点,则我们可以把点作为定点,点为主动点,点为从动点,,点可由点以定点为位似中心,以位似比缩小而来,基于“瓜豆原理”分析,点的轨迹可由点的轨迹(即)以定点为位似中心,以位似比缩小而来,属于放缩圆弧型轨迹.
【解答】
如图,连接,取的中点,连接,过点作于.
点的运动轨迹是以为圆心,1为半径的,设交于直线与轴、轴分别交于点,即,当与重合时,.
例4如图,为的中点,点是平面内一动点,且满足,连接,将绕点逆时针旋转到,连接,则的最大值为 .
【剖析】
首先,是边的中点,,想到点的轨迹是以为圆心,2为半径的圆.则点是主动点,点是从动点,我们可以把点看作是由点绕点逆时针旋转呢 显然不能！点是定点,根据“瓜豆原理”,,点的轨迹必然与点相同,是圆,此时应该想到绕点顺时针旋转后,再扩大倍得到,则点在由点的轨迹(圆)绕点顺时针旋转,并将半径扩大为原来的倍的圆上,属于旋转放缩圆弧型轨迹.这个大圆的圆心怎么找 应将绕点顺时针旋转,并将半径扩大为原来的倍,得到,显然,点在点正上方.
【解答】
在上方,过点作,令,连接.则,易证,则,以为圆心,为半径作圆,连接,当共线,且点在线段延长线上时,最大,设此时点所在位置的点为,
.
还会怎么考
1,如图,已知是线段上的动点,分别以为边在线段的同侧作等边和,连接,设的中点为,当点从点运动到点时,点移动的路径长是 .
第1题图
2.如图,在平面直角坐标系中,直线与坐标轴分别交于两点,点在正半轴上,且.点为线段(不含端点)上一动点,将线段绕点顺时针旋转得线段,连接,则线段的最小值为 .
第2题图
3.如图,在矩形中,,点是对角线上的一个动点,连接,以为斜边作的直角三角形,使点和点位于两侧,点从点到点的运动过程中,点的运动路径长是 .
第3题图
4.如图,正方形的边长为为上一点,且为边上的一个动点,连接,以为边向右侧作等边,连接,则的最小值为 .
第4题图
5.如图,菱形的边长为是边的中点,是边上的一个动点,将线段绕着点逆时针旋转60得到,连接,则的最小值为 .
第5题图
6.如图,在平面直角坐标系中,为平面上一动点,且,连接,将线段绕点逆时针旋转得到线段,当线段的长取最大值时,求点的坐标.
第6题图
7.如图,四边形是边长为4的正方形,点是平面内一点,且满足.现将点绕点顺时针旋转90度到点,则的最大值为 .
第7题图
8.如图,在矩形中,,点是边上的一个动点,连接,作点关于直线的对称点,连接,设的中点为,当点从点出发,沿边运动到点时停止运动,点的运动路径长为 .
第8题图
9.如图,已知半径为4,点在上,,则线段的最大值为 .
第9题图
10.如图,在四边形中,,若于点,则对角线的最大值为
第10题图
11.如图,中,为外一点,且,连接,则的最大值为
第11题图
12.如图1,矩形的顶点的坐标为为坐标原点,点在第一象限,连接,是的中点.
(1)求点的坐标;
(2)如图是线段上的点,,点是线段上的一个动点,经过三点的抛物线交轴的正半轴于点,连接交于点.
①将沿所在的直线翻折,若点恰好落在上,求此时点的坐标;
②以线段为边,在所在直线的右上方作等边,当动点从点运动到点时,点也随之运动,请求出点运动路径的长.
图1 图2
第12题图
专题15瓜豆原理
1.如图,延长交于点,同理,四边形是平行四边形,连接,则互相平分,点为的中点,,点是的中点,则我们可以把点作为定点,点为主动点,点为从动点,点可由点以定点为位似中心,以位似比缩小而来,基于“瓜豆原理”分析,点的轨迹可由点的轨迹(即线段)以定点为位似中心,以位似比缩小而来,属于放缩直线型轨迹,即路径长为的中位线.
第1题图
2.显然,点为定点,点是主动点,点是从动点.由“瓜豆原理”,点的轨迹必然与点一致,绕点逆时针旋转到,点的轨迹由点的轨迹绕点逆时针旋转得到,属于旋转直线型轨迹.在线段上,则在线段绕点逆时针旋转的线段上,易知,当时,最短,易证.
第2题图
3.显然,点是定点,点是主动点,点是从动点.根据“瓜豆原理”,点在线段上运动,点的轨迹必然与点相同,是线段.Rt中,,则,此时应该想到绕点逆时针旋转后,再缩小一半得到,则点在由点的轨迹(线段)绕点逆时针旋转后,再缩小一半的线段上,属于旋转放缩直线型轨迹.,易证,则,,即点的运动路径长是.
第3题图
4.显然,点是定点,点是主动点,点是从动点.点可由点绕定点顺时针旋转而来,根据“瓜豆原理”,点的轨迹可由点的轨迹(即线段)绕定点顾时针旋转而来,故点的轨迹仍是一条线段,即将线段绕定点顺时针旋转所得到的线段.如图1,将点绕定点顺时针旋转得到点,将点绕定点顺时针旋转得到点(注:点在正方形内部,不在上),连接,则点在线段上运动,属于旋转直线型轨迹.易证,则,当时,取得最小值.如图2,作于点,则,,易证四边形为矩形,则,
第4题图1 第4题图2
5.显然,点是定点,点是主动点,点是从动点.点可由点绕定点逆时针旋转而来,根据“瓜豆原理”,点的轨迹可由点的轨迹(即线段)绕定点逆时针旋转而来,故点的轨迹仍是一条线段,即将线段绕定点逆时针旋转所得到的线段.如图1,将点绕定点逆时针旋转得到点,将点绕定点逆时针旋转得到点,连接,则点在线段上运动.属于旋转直线型轨迹.菱形的边长为为中点,可知是边的中点,,四边形为平行四边形,则为中点.易证,则,当三点共线时,最小值即为长.如图2,作延长线于点,则,中,的最小值为.
第5题图1 第5题图2
6.显然,,且点坐标确定,那么点的轨迹必然是以点为圆心,4为半径的一个圆,而点是定点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,可将点看作主动点,点是定点,则点是从动点,连接,则可由绕点顺时针旋转45度并扩大倍而来,点的轨迹在由点的轨迹绕点顺时针旋转45度并扩大倍的圆上.这个圆的圆心在点绕点顺时针旋转45度,并将扩大倍得到时,点的位置,即点的正上方.连接,显然,当三点共线时,最大,即点在点的正上方!易证,则当线段的长取最大值时,.
第6题图
7.显然,点是定点,点是主动点,点是从动点,由,联想到,可以为直径,中点为圆心,构造一个圆,则点在这个圆上运动(即点的轨迹是除两点以外的一个圆),从动点必然也在圆上运动.
而点是点绕定点顺时针旋转90度而来,我们可以先确定点所在轨迹的圆的圆心,只需要把圆心绕点顺时针旋转90度到点即可.不难可证得,三点共线.则当三点共线,且点在延长线上时,最大,.
第7题图
8.显然,点是定点,点是主动点,点是从动点,点可看作点以定点为位似中心,以为位似比缩小而来,根据“瓜豆原理”,点的轨迹可看作点的轨迹以定点为位似中心,以为位似比缩小而来,故点的路径长等于点路径长的一半,属于旋转放缩圆弧型轨迹。如图，当P运动到点B时，点A的对称点落在处，由对称知，BA,则点在以为圆心,为半径的上的一段弧上运动,即在上运动.易得,则的长度为,即点的路径长为,连接交于点,连接,取其中点,则点在以中点为圆心,为半径的上的一段弧上运动,即在上运动,因此点的路径长为.
第8题图
9.本题中,点、点、点都为动点,我们不妨把直角顶点看作定点,,设,则,把点看作主动点,点是从动点,点可看作点绕定点顺时针旋转，再缩小而来,根据“瓜豆原理”,点的轨迹可看作点的轨迹绕定点顺时针旋转,再缩小而来,也是一个圆,属于旋转放缩圆弧型轨迹.设点所在圆的圆心为,连接,将绕定点顺时针旋转,再缩小得到,则,则当点、点、点三点共线时,最长,的最大值为.
第9题图
10.易证为等腰直角三角形,点是定点,点是主动点,点是从动点,由可得,可以为直径,中点为圆心,构造一个圆,则点在这个圆上运动(即点的轨迹是除两点以外的一个圆),从动点必然也在圆上运动.点由点绕定点逆时针旋转90度而来,那么,点所在轨迹(圆)的圆心在把点绕点逆时针旋转90度得到的点,连接,则当、三点共线,且点在延长线上时,最大,
第10题图
11.本题中,我们可以把点、点看作定点,,则点在以点为圆心,半径为1的圆上运动,,则为直角边之比为的直角三角形,设,则,则点可由点绕着定点顺时针旋转的度数后,再放大倍得到,则点轨迹也由点轨迹(以点为圆心,半径为1的圆)绕着定点顺时针旋转的度数后,再放大倍的上.过点作,且令,连接,则,连接,则,当三点共线时,且在延长线上时,最大,
第11题图
12.(1)是的中点,.(2)(1)如图1,设将沿所在的直线翻折后,点恰好落在上的处,连接,则,即.又,四边形为平行四边形,、点的坐标为.由关于抛物线对称轴对称可知,抛物线对称轴为直线,则抛物线与轴的另一个交点坐标为,即抛物线交轴于.
第12题图1 第12题图2
(2)本题中,点实际上是由点绕点逆时针旋转得到,我们可以把点看作主动点,点是从动点,点的轨迹和点一致,点的路径是在线段上的一部分线段,则点的路径是点的路径绕点逆时针旋转所得,同样是线段,且路径长度相等.由(2)(1)知,若点坐标为,设抛物线解析式,把代入得,,易证.,若点坐标为,设抛物线解析式,
把代入得,,易证点运动路径的长为.
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