专题14 最值问题（2)一一利用基本事实（含答案）- 2023年中考数学二轮专题复习

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专题14 最值问题（2)一一利用基本事实
专题价值
“几何最值问题”是中考数学中极具挑战性的内容,经常作为填空和选择的压轴题,千变万化,精彩纷呈,令无数数学爱好者着迷.而且,在历年的中考模拟卷中,也不乏一些让人眼前一亮的试题,解决此类题目,万变不离其宗,多是利用我们熟知的几何基本事实.
常用解题思路
【模型篇】
一般分为以下几大类:
(1)定点和定线上动点间的距离最值问题,一般是利用“垂线段最短”求解.
(2)点和点间的最值问题常利用“两点之间,线段最短”求解,若是将军饮马型,则要通过作对称点,做平移等方法来解决.
(3)定点和定圆上动点的最值问题,通常考虑定点和圆心和动点三点一线时解决.
如图1,在定直线外有一定点,请在上找一动点,使得最短.
如图2,在定直线外有两定点,请在上找一动点,使得最短.
如图3,在定直线外有两定点,请在上找两动点,且定长,使得最短.
如图4,过点作直线于点,点即为所求.
如图5,作点关于直线的对称点,连接,与直线的交点即为点.
如图6,作点关于直线的对称点,将点向左平移的长度到点,连接,与直线的交点即为点,点向右平移的长度到点,点即为所求.
如图7,在内有一动点,请在上找点,点,使得最短,最长.
如图8,在外有一动点,请在上找点,点,使得最短,最长.
如图9,连接,并向两端延长,与交点即为点,点.
如图10,连接,并向到的方向延长,与交点即为点,点.
【方法篇】
一、斜大于直
如图11,点、点在直线的两侧,,当与直线满足什么条件时,两点到直线的距离之和最大
如图12,设交于点,作,则Rt中,,即斜边大于直角边,“斜大于直”,同理,则,当时,最大值即为.
二、动定转换
如图13,点在直线上运动,且满足,在直线外有一个定点,已知点到的距离为2,求的最小值.
动定转换,即把原先的动点看作不动的定点,让原先的定点动起来,使其作“相对运动”.
点是动点,点是定点,我们可以把点看作定点,点看作动点,而点的“相对运动”路线应该平行于原来点的运动路线,即的平行线,这样,问题就由“两动一定”转化为“两定一动”的常规型“将军饮马”问题.如图14,作点关于的对称点,连接,交于点,即的最小值为5.
三、拼接构造
如图15,在等腰中,分别是上两动点,且,连接的最小值为__________.
对于有些线段和的最值问题,我们要想办法将两条线段重新拼接,借助等腰三角形两个底角相等,我们可以构造,将转化为,且与有公共顶点.
如图16,过点作,并截取,连接,则当点三点共线时,取最小值,作,则,过点作延长线于,则,连接,在Rt中,,即的最小值为.
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一、斜大于直
例1如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心的圆过点,直线与交于两点,则弦的长的最小值为________.
【剖析】
根据直线解析式,可知其必过定点,要使弦最短,则点到直线的距离,即弦心距要最长,则只有当时,弦心距即为的长,此时最长,问题得解.
【解答】
由题意得,,无论取何值,当时,直线必过点,连接,当不垂直于时,设此时直线为,作,则,过点作,此时最短,,连接,则,由垂径定理得,,即长的最小值为24.
例2如图,在Rt中,,点在边上,并且,点为边上的动点,将沿直线翻折,点落在点处,则点到边距离的最小值是________.
【剖析】
由折叠知,,其中是定点,故点始终在以点为圆心,2为半径的圆弧上运动,问题转化为直线外一点到圆上一点的距离最小值问题,当圆心与点连线的延长线垂直边时,到的距离最小.
【解答】
如图,当时,延长交于,点到的距离最小.
,
,点到边距离的最小值是1.2.
例3已知,在平面直角坐标系中,点,点,点为线段上一点(点为原点),则的最小值为________.
【剖析】
由题意,易知点在直线上,是动点,点也为动点,点为定,点,则问题是一个一定两动型的将军饮马,最后还要结合垂线段最短的基本事实解决.
【解答】
如图,作点关于直线的对称点,过作于,交直线于,则为的最小值,连接,易证为等边三角形,则,即的最小值为.
例4在平面直角坐标系中,已知,直线绕着的顶点旋转,与轴相交于点,探究解决下列问题:
(1)如图,当直线旋转到与边相交时,试用无刻度的直尺和圆规确定点的位置,使顶点到直线的距离之和最大;(保留作图痕迹)
(2)当直线旋转到与轴的负半轴相交时,使顶点到直线的距离之和最大,请直接写出点的坐标________.
【剖析】
(1)首先,我们可以先画出草图,如图1,假如直线与交于点,过点作,过点作,则顶点到直线的距离之和为与的长度之和,根据“斜大于直”,可知,即,则顶点到直线的距离之和最大值就是的长,只需过点作的垂线段即可.
(2)我们也不妨先画个草图,如图2,结合第1问不难发现,若与是在直线的两侧,当与共线时,此时的点即符合题意,而所画的草图中,和在的同侧,很难处理,这时,要想到通过几何变换,将转换到的另一侧,可将绕着点旋转到,此时,问题转化为的最大值,由第1问可知,当时,最大.
【解答】
(1)如图3,作,交轴于点,即为所求.
(2)如图4,取,连接,过点作交轴于点,交于.
过作于,过作于,易证,
,则共点,即.
过点作于,
则,
则.
二、动定转换
例5如图,正方形的边长为是对角线上的两个动点,且,连接,,则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【剖析】
本题看似将军饮马问题,但却又有区别,两定一动,变成了一定两动,但最终肯定要转化为“两点之间,线段最短”的模型,因此,先考虑将转化,连接,则,问题转化为求的最小值.
【解答】
如图1,将沿着的方向平移个单位长度到.连接,过作,过点作,
过点作,
Rt中,的最小值为.
【再剖析】
我们还可以尝试用“动定转换”的思路去分析.点是动点,点是定点,可以把点看作定点,点看作动点,而点的“相对运动”路线应该平行于的运动路线,即的平行线,由于是上的任意两点,我们在把它们看作定点时,不妨选定在特殊位置,如使点和点重合,这样,问题就由“两动一定”转化为“两定一动”的常规型“将军饮马”问题.
【解答】
如图2,过点作,以为边,在左侧构造正方形,
令点与点重合,则,作点关于的对称点,
连接,连接交于,则.
.
即的最小值为.
三、拼接构造
例6如图,是等边三角形,边长为交于,点分别在线段上,且,则的最小值为________.
【剖析】
本题中,点为定点,为动点,但并非在同一直线上,无法用“动定转换”的思路,因此,要想办法将两条线段重新拼接,借助等腰三角形两个底角相等,我们可以构造,将转化为,且与有公共顶点.
【解答】
如图,过点作,且使得,连接是等边三角形,,在和中,,的最小值转化为的最小值,当点、点、点共线时,最小值为为等腰直角三角形,,即的最小值为.
还会怎么考
1.如图,在中,,经过点且与边相切的动圆与分别相交于点,则线段的最小值为________.
2.如图,在平面直角坐标系中,已知正方形,点为轴上一动点,以为边在的右侧作等腰Rt,连接,则的最小值为________.
3.如图,在平行四边形中,是边的中点,是边上的一动点,将沿所在直线翻折得到,连接,则长度的最小值是________.
4.如图,矩形中,,点是边上的动点,点在上,且,则的最小值为________.
5.在平面直角坐标系中,长为2的线段(点在点右侧)在轴上移动,已知,连接,则的最小值为________.
6.如图,已知线段,点在线段上,且是边长为4的等边三角形,以为边在其右侧作矩形,点为中点,连接,则线段的最小值为________.
7.如图,在边长为12的等边中,为边上一动点,过点作于点于点,连接周长的最小值为________.
8.如图,在中,是的中点,直线经过点,垂足分别为,则的最大值为________.
9.如图,在边长为1的菱形中,,将沿射线的方向平移得到,分别连接,则的最小值为__________.
10.如图,平面直角坐标系中,已知点,线段沿射线方向平移,在移动的过程中,的最小值是________.
11.如图,在中,,点分别在边上,且,则的最小值为________.
12.如图,在矩形中,分别为和上的两个动点,且,求的最小值.
13.如图,在正方形中,与交于点是的中点,点在边上,且6.为对角线上一点,则的最大值为________.
14.如图,在中,,点在外,且满足,则周长的最小值为________.
15.如图,在正方形中,为边的中点,分别是边上的动点,且始终保持,则的最小值为_________.
16.如图,矩形中,,则的最小值为_________.
17.如图,等边的边长为3,点在边上,,线段在边上运动,,有下列结论:(1)与可能相等;(2)与可能相似;(3)四边形面积的最大值为;(4)四边形周长的最小值为.其中,正确结论的序号为
第17题图
18.如图,等边中,,点在上,,点为边上一动点(不与点重合),关于的轴对称图形为.
(1)当点在上时,求证:;
(2)设的面积为的面积为,记是否存在最大值 若存在,求出的最大值；若不存在，请说明理由.
第18题图
专题14最值问题(2)一利用基本事实
1.如图,设的中点为与的切点为,连接、,易证为Rt为的直径,而,即,当时,最短,有最小值,此时,即的最小值为4.8.
第1题图
2.如图,作轴于,连接,
又,
,即,设,
点在直线上运动,作交其延长线于,易证是等腰直角三角形,,即的最小值为.
3.由翻折知,,显然,点始终在以点为圆心,2为半径的圆弧上运动,问题转化为直线外一点到圆上一点的距离最小值问题,当点三点共线时,线段的长度最短,如图,连接,过点作,交的延长线于点四边形为平行四边形,点为的中点,,
,
由勾股定理得,,故.
4.,如图,过点作交于,交于,则i.作点关于的对称点,连接,则,Rt中,,即的最小值为.
第4题图
5.如图,作点关于轴的对称点,将点向左平移的长度到点,连接,,则,当三点共线时,最小,由题意得,,即的最小值为.
第5题图
6.如图,过点作,过点作,设交于点,为等边三角形,,Rt中,,即的最小值为6.
第6题图
7.如图,过点作,过点作,过点作于点,于点为等边三角形,,,即,即周长的最小值为27.
第7题图
8.如图,过点作于点,过点作于点,设交于点.在Rt中,,在Rt中,,是的中点,,即.当时,,此时最大.即的最大值为.
第8题图
9.法1:易证四边形为平行四边形,则,要使最小,只需使最小.如图1,连接并延长到点,易知,点在射线上运动,作点关于的对称点,连接,则,当三点共线时,的最小值即为的长,,易证,,故,即的最小值为.
第9题图1 第9题图2
法2:如图2,过点作,作点关于的对称点,
连接交于,连接交于点,连接,将点看作定点,将点看作动点,确定其“相对运动”轨迹,应为平行于的直线.问题转化为熟悉的“将军饮马”模型,则.易知,在等腰中,.即的最小值为.
10.如图,过点作,作点关于的对称点,连接,连接交于,连接,将点看作定点,点看作动点,确定动点的“相对运动”轨迹,即平行的直线.则.中,为等边三角形,,过点作延长线于点,Rt中,.即的最小值为.
第10题图
11.如图,过点作,在上截取,过作于点,在和中,,当三点共线时,取得最小值.,则的最小值为.
第11题图
12.如图,作,过点作延长线于,连接.
,Rt中,,Rt中,,即的最小值为
第12题图
13.如图,作点关于的对称点,连接,根据轴对称性质可知,,,当三点共线时,取得最大值.
正方形边长为为中点,,
为中点,,
为等腰直角三角形,
,即的最大值为2.
第13题图
14.如图,作点关于的对称点,关于的对称点,连接,则周长,当四点共线时,周长最小,,则,则为等腰直角三角形,,即周长最小值为.
第14题图
15.如图,作于点,易证,则,过点作,过点作交于点,连接,则四边形为平行四边形,则,当三点共线时,的最小值为的长,易证,为等腰直角三角形,,即的最小值为.
第15题图
16.矩形中,,如图,作于点,易证,则,过点作,过点作交于点,连接,则四边形为平行四边形,则,当、三点共线时,的最小值为的长,易证,在Rt中,,即的最小值为5.
第16题图
17.(1)如图1,当为中点时,,当点与点重合,时,最大,,过点作与不可能相等,(1)错;(2)设,即,假设与相似,,即,解得或,均符合题意,(2)对;
第17题图1
(3)如图3,连接,过作,过作,,当时,,即,则,(3)对;
第17题图2 第17题图3
(4)作点关于的对称点,过点作,连接交于,延长交于,在上截取,连接.由对称知,,易证四边形为平行四边形,,,Rt中,,中,,四边形周长的最小值为,(4)错;故正确结论的序号为(2)(3).
18.(1)如图1,是等边三角形,,由折叠知,,且点在上,.
第18题图1 第18题图2
(2)存在,.由题意得,,则最小时,有最大值,,故点在以点为圆心,2为半径的上运动,如图2,过点作于点,交于,当点三点共线时,取得最小值,则取得最小值.的最小值最大.
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