8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 课后练（含答案）

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
2. 如图所示，用符号语言可表示为( )
A. ，， B. ，，
C. ，，， D. ，，，
3. 设，，是空间的三条直线，有下列四个命题：
若，，则；
若，是异面直线，，是异面直线，则，也是异面直线；
若和相交，和相交，则和也相交；
若和共面，和共面，则和也共面．
其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
4. 以下四个命题：
梯形一定是平面图形；等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥；
棱锥的侧棱一定相等；如果平面外有两点，，它们到平面的距离都是，则直线平面．
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
5. 已知，是不重合的平面，，是不重合的直线，则的一个充分条件是( )
A. ， B. ，
C. ，， D. ，，
6. 正方体--中，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是( )
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
7. 已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条
8. 如图，正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，连接、，对空间任意两点、，若线段与线段、都不相交，则称、两点可视，下列选项中与点可视的为
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
9. 如图，棱长为的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是( )
A. B. 三棱锥的体积为定值
C. D. 的最小值为
10. 如图是某几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，其余均为等腰三角形，，，，分别为，，，的中点．则在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是( )
A. 直线平面 B. 直线与平面相交
C. 直线平面 D. 平面平面
二、多选题
11. 三条两两相交的直线可以确定的平面的个数为( )
A. B. C. D. 无数
12. 设，为不重合的直线，，，为不重合的平面，下列是成立的充分条件的有
A. ，，
B. ，，，，
C. ，
D. ，
13. 下列叙述错误的是( )
A. 已知直线和平面，若点，点且，，则
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交
D. 若直线和不平行，且，，，则至少与，中的一条相交
14. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点则下列说法正确的是( )
A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等
15. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点则( )
A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点到平面的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 已知空间中不过同一点的三条直线，，“，，共面”是“，，两两相交”的 条件从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选择一个填入
17. 如图，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示是异面直线的图形的序号为 ．
18. 已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号是
若，，则 若，，且，则
若，，，，则 若，，，则
19. 设平面与平面相交于，直线，直线，，则
20. 如图，平面，为正方形，且，，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
四、解答题
21.如图，平面平面，，，，分别为，的中点，，．
Ⅰ设平面平面，判断直线与的位置关系，并证明；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
22. 如图，边长为的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求点到平面的距离．
23. 如图，在直角梯形中，，，，以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，使得平面平面，点为线段上一点，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：；
Ⅲ若平面与直线相交于点，试确定点的位置，并求线段的长．
24. 如图，已知平面与平面相交于直线，直线，且，直线，且证明：，是异面直线．
25. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，、分别是、的中点，
求证：平面；
求证：；
若，是边长为的正三角形，求三棱锥的体积．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ；
11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、必要不充分 ； 17、 ； 18、 ； 19、 ； 20、
21、解：Ⅰ证明如下：
，分别为，的中点，在中，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
由线面平行的性质定理得．
Ⅱ，是中点，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
同理，，，平面，
，，三线两两垂直，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由题可知，，，，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
22、Ⅰ证明：取的中点，连接、、
为正三角形
，
平面平面
平面
四边形是矩形
、、均为直角三角形
由勾股定理得，，
，
Ⅱ解：设点到平面的距离为，连接，则
而
在中，由勾股定理得
，即点到平面的距离为
23、解：Ⅰ证明：平行等于，又也平行等于，
平行等于，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
Ⅱ证明：平面平面，
又，平面，且平面平面，
平面，又平面，
；
Ⅲ如图，延长交直线于点，
则，平面，
点即为平面与直线的交点，
又，且∽，
，
，
又，
由易知平面，又，
平面，平面，
，
．
24、证明：若，共面，设该平面为，
，，
，
又两，平面经过点和直线，
平面与重合，
由于与重合，且，
平面经过直线和，
与是相交直线，
与也重合，于是与重合，这就与条件平面与平面相交于直线矛盾，
故假设不成立。，是异面直线．
25、解：连接，由是菱形的对角线和的交点，知：点为的中点且是的中点，由三角形的中位线定理知：
矩形的对边，得：
，平面，平面，故平面
由菱形的对角线互相垂直，得：，，平面，平面，，故平面，平面，
故有
由侧面是矩形，知又由，，平面，平面，所以平面，即平面
由是边长为的正三角形，知：
故