8.6 空间直线、平面的垂直 课后练（含答案）

8.6 空间直线、平面的垂直
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 若正六棱柱底面边长为，高为，则直线和所成的角大小为( )
A. B. C. D.
2. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，点E、F分别是棱AB,BB1的中点，则直线与BC1所成的角是( )
A. B. C. D.
3. 如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任一点，则下列关系中不正确的是( )
A. B. 平面 C. D.
4. 设平面平面，且，，，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分不必要条件
5. 已知二面角，其中平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的大小可能为
A. B. C. 或 D.
6. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
7. 在三棱锥中，底面，，底面是边长为的正三角形，为的中点，球是三棱锥的外接球，若是球上一点，则三棱锥的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，四边形为菱形，四边形为正方形，平面平面，，，若二面角的大小为，则( )
A. B. C. D.
9. 在四棱锥中，，，平面平面，，，则二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
10. 已知如图，六棱锥的底面是正六边形，平面则下列结论不正确的是( )
A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面
二、多选题
11. 已知正方体，则( )
A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为
12. 正方体中，为中点，为中点，以下说法正确的是( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
13. 如图所示，四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的是( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
14. 如图，在菱形中，，，将沿折起，使点到达点的位置，形成三棱锥，如图在翻折的过程中，下列结论正确的是( )
A.
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 存在某个位置，使
D. 若平面平面，则直线与平面所成角的正弦值为
15. 如图，直角梯形，，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，则( )
A. 平面平面 B.
C. 二面角的大小为 D. 与平面所成角的正切值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 三棱锥中，所有棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为
17. 已知垂直于平行四边形所在平面，若，平行四边形一定是 ．
18. 如图：二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，，，则的长等于___．
19. 在正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，当 时，平面．
20. 在正四面体中，，，分别是，，的中点，下列结论中成立的是________填序号
平面；
平面；
平面平面；
平面平面．
四、解答题
21. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点，且．
Ⅰ求直线与所成角的大小；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
22. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱上的一点，且．
求证：平面；
求直线与平面所成的角．
23. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面平面．
求证：
平面；
平面平面．
24. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点、分别为线段， 上的点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：当点不与点，重合时，，，，四个点在同一个平面内；
Ⅲ当，二面角的大小为时，求的长．
25. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ；
11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ； 17、菱形 ； 18、 ；
19、 ； 20、
21、解：Ⅰ分别以、、所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．
则由题意可得：，，，
，，，
又，分别是，的中点，
，．
，，

，
因为
直线与所成角的大小为．
Ⅱ设平面的一个法向量为，
由，得，
令则，
，
又，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
22、证明：连结交于点，连结，
因为在底面中，，
所以，又，
则在中，，
故，
又因为平面，平面，
所以平面；
过点作直线的垂线交的延长线于点，连结，
因为平面，又平面，
所以，，
又因为，且，平面，
所以平面，
则即为直线与平面所成的角，
又因为平面，所以，
又在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
因为，所以，
即所求直线与平面所成之角为．

23、证明：，分别为棱，的中点，
，
平面，平面，
平面；
，是棱的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
24、证明：Ⅰ在正方形中，，分
因为平面，平面，所以分
因为，且，平面，
所以平面分
Ⅱ因为平面，平面，
所以分
在中，，，
所以分
在正方形中，，所以，分
所以 ，可以确定一个平面，记为
所以，，，四个点在同一个平面内 分
解：Ⅲ因为平面，，平面，
所以，又，
如图，以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，分
所以，，，．
设平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
设，，
因为，所以，
又，所以，即，
取，得到，分
因为，，
所以，即，
取得，到，分
因为二面大小为，所以，
所以
解得，所以分
25、证明：四边形是矩形，
，
又平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面，
又，，平面，
平面平面，
而平面，
平面
解：，，
即为二面角的平面角，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面，
作于，连接，
平面平面，平面平面，平面，
则平面，
所以直线与平面所成角为，
可知，，
所以．
因此，直线与平面所成角的正弦值为．