2022-2023学年湖北省武汉市东西湖区常青第一学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市东西湖区常青第一学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法正确的是( )
A. 为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B. 一组数据，，，，，，的众数和平均数都是
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定
D. 抛掷一枚硬币次，一定有次“正面向上”
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 由个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为( )
A. B. C. D.
6. 小王同学从家出发，步行到离家米的公园晨练，分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离单位：米与出发时间单位：分钟的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
7. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
A. B. C. D.
8. 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为单位：( )
A. B. C. D.
9. 方程的实数根就是方程的实数根，用“数形结合”思想判定方程的根的情况，正确的是( )
A. 方程有个不等实数根 B. 方程的实数根满足
C. 方程的实数根满足 D. 方程的实数根满足
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
10. 计算的结果是 ．
11. 开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温
天数天
这天中，小宁体温的中位数为 ．
12. 方程的解是 ．
13. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为______
，结果保留整数．
14. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：；若为任意实数，则有；当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中，其中正确的是 填写序号．
15. 如图，中，，是外面的一点，连接，，且，，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答．
解不等式，得______；
解不等式，得______；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集是______．
17. 本小题分
如图，平行四边形中，点、在对角线上，且求证：
≌；
四边形是平行四边形．
18. 本小题分
为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间单位：分钟按照完成时间分成五组：组“”，组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
在扇形统计图中，组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内；
若该校有名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
19. 本小题分
如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
求证：直线是的切线；
若，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．
20. 本小题分
在如图所示的网格中仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
画格点，使；
画的高；
将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段；
在上找一点，使．
21. 本小题分
【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造如图，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池同时，再建造一个周长为的矩形水池如图，以下简称水池．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图．
【问题解决】
若水池的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______可省略单位，水池面积的最大值是______；
在图字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是______，此时的值是______；
当水池的面积大于水池的面积时，的取值范围是______；
在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
假设水池的边的长度为，其他条件不变这个加长改造后的新水池简称水池，则水池的总面积关于的函数解析式为：若水池与水池的面积相等时，有唯一值，求的值．
22. 本小题分
同学们还记得吗？图，图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为______；
【问题二】受图启发，兴趣小组画出了图：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为，求四边形的面积；
【问题三】受图启发，兴趣小组画出了图：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
23. 本小题分
抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
直接写出点和点的坐标；
如图，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
如图，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B.数据，，，，，，的众数是平均数为，故本选项不合题意；
C.若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定，说法正确，故本选项符合题意；
D.抛掷一枚硬币次，不一定有次“正面向上”，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据抽样调查和全面调查的意义判断即可；选项B根据众数和平均数的定义判断即可；选项C根据方差的意义判断即可；选项D根据随机事件的定义判断即可．
本题考查了方差，众数，平均数以及全面调查与抽样调查，掌握相关定义是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、该字母不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该字母不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该字母是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该字母既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
4.【答案】
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】
【解析】解：在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，
，则，
整式是一个完全平方式，
，则，
，
该反比例函数的解析式为，
故选：．
先根据反比例函数的性质得到，再根据完全平方式的特点求得，进而求得即可求解．
本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．
6.【答案】
【解析】解：由图象可得，
小明的速度为米分钟，
爸爸的速度为：米分钟，
设小明出发分钟两人第一次相遇，出发分钟两人第二次相遇，
，，
解得，，
，
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．
7.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有种结果，
所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为，
故选：．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：设圆心为，与交点为，连接、、，
垂直平分，，
在上，，
设，则，
在中，
在中，
解得：，
则，
圆形硬纸板的最小直径为，
故选：．
连接、、，设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案．
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正方形的性质、勾股定理、垂径定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：方程的实数根就是方程的实数根，
方程的根可以看作是：与两函数的交点的横坐标，
函数和函数的图象如图，
观察图象，函数和函数的图象有一个交点，交点的横坐标在范围内，
所以，方程的实数根满足．
故选：．
画出函数和函数的图象，观察交点情况，即可判断方程的根的情况．
本题考查的是反比例函数及二次函数的图象，根据判别式及高次方程，利用数形结合求解是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的性质求解即可．
本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键，注意符号问题．
11.【答案】
【解析】解：在所给个数据中，第和第个的数据均为，
小宁体温的中位数为，
故答案为：．
根据中位数的定义求第和第个的数据的平均数即可．
本题考查中位数，解答关键是熟知中位数是一组数据从小到大或从大到小重新排列后，若数据是奇数个，则中位数是最中间的那个数，如果数据是偶数个，则中位数是最中间两个数的平均数，注意先进行排序．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图．
则，，，
在中，，
设，则，
，，
在中，
，
解得，
．
故答案为：．
过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向上，与轴负半轴相交，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故正确；
当时，有最小值，
为任意实数，
即，
故正确；
图象经过点，对称轴为直线，
二次函数图象经过另一个点，
即二次函数与直线的交点为和，
方程的两个根为，，
，
故正确，
综上，正确的是，
故答案为：．
根据抛物线的开口方向和对称轴方程、与轴的交点可判断；利用时取得最小值可判断；由抛物线与直线的交点以及抛物线的对称性可判断，进而可得结论．
本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质，数形结合思想求解是解答的关键．
15.【答案】
【解析】解：作于点，交于点，连接，
，
，
，即，
设，，则，，，，
，即，
∽，
，，
，，
即，
在中，，即，
解得，
．
故答案为：．
作于点，交于点，连接，由，设，，则，，，，推出∽，求得，，在中，利用勾股定理即可求解．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，作出辅助线，证明∽是解题的关键．
16.【答案】解：；
；
如图所示：
．
【解析】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
把不等式和的解集在数轴上表示出来为：
原不等式组的解集为：．
故答案为：；
；
．
分别解这两个不等式，把不等式和的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．
17.【答案】证明四边形是平行四边形，
，
，
，
≌ ；
证明：由知，≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】根据平行四边形平行四边形的性质得到 ，从而得到，然后利用证得两三角形全等即可；
利用中的全等三角形的对应角相等推知，则等角的补角相等，即，所以根据“有一组对边平行且相等”证得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
18.【答案】，
补全的条形统计图如图所示：
；；
人，
答：估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生有人．
【解析】解：这次调查的样本容量是：，
组的人数为：人，
故答案为：；
在扇形统计图中，组的圆心角是：，
本次调查了个数据，第个数据和个数据都在组，
中位数落在组，
故答案为：；；
见答案．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】证明：连接，
是直径，
，则，
，
，
又，
，即，
是半径，
直线是的切线；
解：设，
，
，，
在中，，，
，解得或舍去，
，，
∽，
，则，
在中，，
，，
平分，
，
又，
∽，
，
．
【解析】连接，先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质结合已知可证得，然后根据切线的判定可证得结论；
设，根据勾股定理求出，再证明∽，然后利用相似三角形的性质得到，再次利用勾股定理求得，，证明∽，得到求解即可．
本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
20.【答案】解：方法一：如图，取格点，连接，则，
，
，
故点即为所求作；
方法二：还可取格点，连接，，则，
，
根据网格特点和全等三角形的性质得，
，
故点即为所求作；
取格点，连接交于，
则即为所求作的高；
理由：由网格特点，，
则，
，与相交，
，
即；
取格点、，连接交于，连接，则线段即为所求作；
理由：根据网格特点，，则，
，
，则，又，
垂直平分，
，即；
取格点、，连接交于，连接，则，故点即为所求．
理由：根据网格特点，，
即，又，
∽，
，
．
【解析】取格点，连接，则，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可求解；还可取格点，连接，，则，，再根据网格特点和全等三角形的性质得到平分，进而可得到；
取格点，连接交于，由网格特点，证明，根据三角形的内角和定理和对顶角相等证得即可；
取格点、，连接交于，连接，根据网格特点，证明得到，根据平行线分线段成比例可得，进而得到垂直平分，根据垂直平分线的性质证得，即可；
取格点、，连接交于，连接，根据网格特点，可证明，即，根据相似三角形的判定与性质证明∽得到，然后根据平行线的判定可得到．
本题考查作图应用与设计作图，掌握正方形性质、全等三角形、旋转、锐角三角函数、角平分线、三角形的外角、等腰三角形、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、平行线、平行线分线段成比例等知识是解题的关键．
21.【答案】解：；；
，；或
或；
在抛物线上的段上任取一点，过点作轴交线段于点，
则线段表示两个水池面积差，
设，则，
，
，
当时，有最大值为．
在范围内，两个水池面积差的最大值为，此时的值为；
水池与水池的面积相等，
，
即：，
．
若水池与水池的面积相等时，有唯一值，
，
解得：．
若水池与水池的面积相等时，有唯一值，的值为．
【解析】
【分析】
本题考查一次函数与二次函数综合，涉及一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征．
依据函数图象和函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；
利用图象交点的数学意义解答即可；
依据图象，利用数形结合法解答即可；
在范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可；
令，得到关于的一元二次方程，解的方程即可求得值．
【解答】
解：，
又，
抛物线的开口方向向下，当时，水池的面积随长度的增加而减小，
，
当时，水池的面积随长度的增加而减小，水池面积的最大值是．
由图象可知：两函数图象相交于点，，此时两函数的函数值相等，即：
，
解得：或，
表示两个水池面积相等的点是：，，此时的值是：或．
由图象知：图象中点的左侧部分和点的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
即当或时，水池的面积大于水池的面积，
见答案；
见答案．
22.【答案】
【解析】解：【问题一】正方形的对角线相交于点，
，，，
四边形是正方形，
，
，
≌，
，
故答案为：；
【问题二】如图，
连接，，
点是正方形的中心，
，
点是正方形的中心，
，，，
，
，
，
≌，
，
；
【问题三】在直线上存在点，使为直角三角形，
当时，如图，延长，相交于点，
四边形和四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
当时，如图，
同的方法得，∽，
，
，
，
或；
当时，如图，
过点作的平行线交的延长线于，延长，相交于，
同的方法得，四边形是矩形，
，，，
同的方法得，四边形是矩形，
，，
，
同的方法得，∽，
，
，
，
，
即的长度为或或或．
【问题一】利用判断出≌，即可得出答案；
先求出，再利用判断出≌，即可求出答案；
【问题三】分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
23.【答案】解：；顶点．
过点作轴于点，
，，
，
，
，
当点在线段的右侧时，轴，如图，
；
当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
．
综上，点的坐标为或；
点与点关于对称轴对称，
．
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
直线的解析式是，
，，
点横坐标为，
，，
．
，，
，
，
当时，的最大值为．
【解析】令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标；
过点作轴于点，易得，因为，所以，分两种情况进行讨论，当点在线段的右侧时，轴，当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，分别求出点的坐标即可；
分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
令，
解得或，
；
，
顶点．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
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