导数应用----最值应用
一、单选题
1．在区间上的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．函数在上的最大值与最小值分别是 （ ）
A．23 ， 5 B．5 ， 4 C． D．
3．函数，若恒有，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．函数在区间上的最大值 最小值分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
5．函数在区间上的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知点M与点N分别在函数与图象上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A．4 B．
C． D．
8．已知函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数不是周期函数
B．函数的最大值为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数的增区间为
二、多选题
9．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处有最小值
B．1是的一个极值点
C．当时，方程有两异根
D．当时，方程有一根
10．已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于点中心对称
11．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调增区间为
D．曲线在点处的切线方程为
12．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增
C．函数没有最小值 D．函数的最小值为
三、填空题
13．函数在区间上的最大值是_____
14．函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.
15．已知函数有零点，则实数的取值范围是___________．
16．已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为_________.
四、解答题
17．函数在区间上的最大值．
18．已知曲线，直线，当时，直线恒在曲线C的上方，求实数的取值范围．
19．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
20．已知函数，若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.
21．已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
22．已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值．
参考答案：
1．B
【分析】先求出函数在区间上的极值，然后比较极值和区间端点的函数值大小，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
令，解得，或，
当变化时，的变化情况如下表所示，
0
+ 0 -
单调递增 2 单调递减
因此，当时，有极大值，并且极大值为，
又由于，
所以函数在区间上的最小值是-2.
故选：B
2．A
【分析】利用导数和函数单调性之间的联系即可.
【详解】，
，
所以在上，，函数单调递增，
，
故选：A.
3．C
【分析】由题可知的最小值大于等于0，利用导数求函数的最值即得.
【详解】由题可得，
由，可得，此时单调递减，
由，可得，此时单调递增，
∴，
∴.
故选：C.
4．B
【分析】根据函数的奇偶性可得为偶函数，利用导数求解上的单调性，即可求解最值.
【详解】因为,所以为偶函数，
当时，，.
易知当时,，，则，在[0，π]上单调递增，
所以，，
故选:B
5．C
【分析】对函数求导利用函数导数的单调性求函数极值，在计算端点值，比较得出最大值.
【详解】因为，
所以，
令或，
又，所以
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以函数有极大值，
又，
所以函数在上的最大值为：，
故选：C.
6．C
【分析】根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，结合图象得出最小值时的条件，求出的坐标即可求解.
【详解】根据反函数的性质，函数的图象与函数的图象关于直线对称，
结合图象可知，当直线与直线垂直，且处两函数图象的切线均与直线平行时，最小.设，，因为，，
所以，，则有，所以，即点，
，所以，即点，此时，即的最小值为.
故选：A.
7．D
【分析】根据给定的不等式，变形并分离参数，构造函数，利用导数探讨单调性求出最大值作答.
【详解】，不等式，
令，求导得，
当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
即，依题意，，
所以实数的最大值为.
故选：D
8．B
【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用导数法求解判断；C.判断的关系；D.令求解判断.
【详解】因为，所以是函数的一个周期，所以函数是周期函数，故A错误；
，要求函数的最大值，则，
不妨取，又，
则 时，， 时， ，
则在上递增，在递减，则函数的最大值为，故B正确；
因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
由选项B知：令，得，则，
所以函数的增区间为，故D错误，
故选：B
9．BC
【分析】对AB，由导数法研究函数的极值及最值判断；
对CD，由导数法研究函数的单调性，由数形结合判断交点个数.
【详解】对AB，，则，
故在处有唯一极大值，即最大值，B对A错；
对CD，，又，.
故当时，图象与图象有两个交点，即方程有两异根；
当，图象与图象无交点，即方程无根，C对D错.
故选：BC
10．BCD
【分析】由题可得有两个不相等的实数根，利用可以判断A错误；
再利用韦达定理可以判断B正确；
利用导数研究的单调性，可以判断C正确；
利用为奇函数可以判断D正确.
【详解】由题可得有两个不相等的实数根，
所以，
所以错误；
根据题意，为的两个根，
所以正确；
因为，且为的两个根，
所以由得或，
由得，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以成立，C正确；
因为为奇函数，
所以关于对称，
所以关于对称，D正确，
故选：BCD.
11．AD
【分析】先求导，由导数的几何意义及求解函数的单调区间，求极值和最值，根据选项一一判断.
【详解】因为，所以，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，C不正确；
所以的极大值为，极小值为，A正确；
因为在上单调递增，
所以函数的最大值为，最小值为，B错误；
又，所以切线的斜率为，故切线方程是，即，D正确.
故选：AD.
12．BC
【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案.
【详解】由，定义域为，且，则，
当和时，，
故函数在上单调递减，故A错误；
当时，，故函数在上单调递增，故B正确；
当时，，当时，，
作出其大致图像如图：
由图像可知函数没有最小值，故C正确，D错误，
故选：BC
13．
【分析】求出函数的导函数，令，求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，再求出区间端点函数值，即可得解.
【详解】因为，所以，
令或，
又，所以当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以函数有极大值，
又，，
所以函数在上的最大值为.
故答案为：
14．
【分析】求导，根据函数在上的最小值为即可判断函数的单调性，将恒成立转化为函数最值问题求解.
【详解】，在上的最小值为，
说明在上单调递减，
所以当时，恒成立，即
所以所以
故答案为：
15．
【分析】对函数求导，判断其单调性，得到函数的最值，结合题意可得到实数的取值范围．
【详解】函数的定义域为，，
令，，则恒成立，
在上单调递增，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
函数有零点，则，解得．
故答案为：．
16．
【分析】先对函数求导，由函数有唯一极值点，可得方程在无实根，设，利用导数分析其单调性，进而求解.
【详解】函数的定义域为，
.
因为函数有唯一极值点，所以有唯一异号根，
所以在无实根，即在无实根.
记，则，
令，得：；令，得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
要使在无实根，只需，
即的取值范围为.
故答案为：.
17．
【分析】利用函数的导数判断单调性，然后利用单调性求最值即可.
【详解】由，
所以，
当时，，
所以，
则在单调递减，
所以.
故答案为：.
18．
【分析】转化为当时，恒成立问题，参变分离后，构造函数，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到答案.
【详解】由题意，知当时，恒成立，
即在上恒成立．
设，
则．
令，解得．
因为当时，，所以在内单调递减；
因为当时，，所以在内单调递增．
所以当时，取到极小值，也是最小值，为，
故．
所以实数的取值范围是.
19．(1)的单调递增区间为，；
(2).
【分析】（1）求导后，根据导数的正负可求出函数的单调区间；
（2）根据导数与函数最值的关系结合条件即得.
【详解】（1）因为．
所以，
由，可得或，
，的变化情况如下：
2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以函数的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以为极大值点，为极小值点，又，，，，
所以在上的值域为.
20．-7
【分析】对求导，得出的单调性，可求出函数在上的最大值为，可求出的值，进而求出函数在上的最小值
【详解】，则，
令，得，
和的变化情况如下表：
2
0
极小值
因为，
所以函数在上的最大值为，
所以，解得，
所以，
由上面可知在上单调递增，在上单调递减；
又因为，
所以函数在上的最小值为.
21．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可.
（2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可.
【详解】（1）由题得，，
当时，，在上单调递减，故无最值
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得唯一的极小值，即为最小值，
即，
综上所述，当时，无最值
当时，的最小值为，无最大值.
（2），
函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，
即恰有个不等的实根，
设，则，
，单调递增，
有两个解，即有两个解.
令，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
又时，，且，，
当时，，
当时，仅有一个零点，
的取值范围为.
22．(1)
(2)
【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可；
(2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解.
【详解】（1）当时，，，
所以切点为，
，则，
所以切线方程为，即.
（2），，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，不满足题意；
若，令，解得，令，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，解得，满足题意；
若， 则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，解得，不满足题意，
综上，.导数应用----最值应用
一、单选题
1．在区间上的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．函数在上的最大值与最小值分别是 （ ）
A．23 ， 5 B．5 ， 4 C． D．
3．函数，若恒有，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．函数在区间上的最大值 最小值分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
5．函数在区间上的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知点M与点N分别在函数与图象上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A．4 B．
C． D．
8．已知函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数不是周期函数
B．函数的最大值为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数的增区间为
二、多选题
9．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处有最小值
B．1是的一个极值点
C．当时，方程有两异根
D．当时，方程有一根
10．已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于点中心对称
11．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调增区间为
D．曲线在点处的切线方程为
12．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增
C．函数没有最小值 D．函数的最小值为
三、填空题
13．函数在区间上的最大值是_____
14．函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.
15．已知函数有零点，则实数的取值范围是___________．
16．已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为_________.
四、解答题
17．函数在区间上的最大值．
18．已知曲线，直线，当时，直线恒在曲线C的上方，求实数的取值范围．
19．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
20．已知函数，若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.
21．已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
22．已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值．
