内蒙古赤峰名校2022-2023学年高一下学期4月第一次月考数学试题（含解析）

内蒙古赤峰名校2022-2023学年高一下学期4月第一次月考
数学试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．在中,已知,,,则角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．
4．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．
A． B． C．4 D．12
6．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．4 B．6 C． D．
8．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则 D．恒成立
10．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（　　）
A． B．
C． D．
11．在△ABC中，，，F是AC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，点D在线段BC的延长线上，则
B．若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则
C．若，则的值是
D．若E是线段AB上一动点，则为定值
12．设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．在上有且仅有2个零点
C．若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则
D．若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且，则__.
14．已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则y的取值范围为__________．
15．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_______海里.
16．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．
四、解答题
17．已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，求与的夹角的余弦值．
18．已知的内角的对边分别为，且
(1)求角；
(2)若，，求的值．
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和值域；
(2)若，且，求的值.
20．已知向量，函数.
(1)求函数的最大值及相应自变量的取值；
(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.
21．如图所示，为增加学生劳动技术实践活动区域，学校计划将一矩形试验田扩建成一个更大的矩形试验田，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点．已米，米，设（单位：米），记矩形试验田的面积为．
(1)要使不小于64平方米，求的取值范围；
(2)若（单位：米），求的最大值及此时的长度．
22．已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求的取值范围；
(3)若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值.
参考答案：
1．C
【分析】根据不等式的运算得出集合或与或，再根据集合的交集与并集运算判断选项AB，根据集合间的包含关系判断选项CD.
【详解】由，解得或，即或；
由，解得或，即或.
则或，故选项A错误；
或，故选项B错误；
根据集合间的包含关系，可知，故选项C正确，选项D错误.
故选：C.
2．C
【分析】根据向量的运算法则和公式进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，则，即，
可得，所以，即充分性成立；
反之：由，则，可得且，
所以，即必要性成立，
综上可得，是的充分必要条件.
3．C
【分析】根据正弦定理求得,进而求得角即可.
【详解】由题知,,,
在中,由正弦定理可得:
,
解得,因为,,
所以或.
故选:C
4．A
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为 ，，，
所以，
故选：A
5．B
【分析】利用转化即可
【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，
所以，所以．
故选：B
6．A
【分析】根据题意得，得，再根据基本不等式解决即可.
【详解】由题知，奇函数是定义在上的单调函数，正实数，满足，
所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故选：A
7．D
【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.
【详解】因为，由正弦定理可得，
则，
，，，
，为内角，
，则，，,
故选：D.
8．D
【分析】根据，利用二次函数的性质结合其最小值为，得到，再结合，得到，然后利用余弦定理即得.
【详解】因为，
当时，取最小值，则，
所以，又为锐角，
故，
因为，所以，
所以，得，
所以．
故选：D
9．ABC
【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
10．BC
【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.
【详解】A选项有无穷多解，显然错误；
B中，因为，C为锐角，所以，所以该三角形有一解，B正确；
C中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有一解，C正确；
D中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有两解，D错误.
故选：BC
11．ABD
【分析】以为基底，按题中要求表示出相关的向量，用数量积的公式计算即可．
【详解】选项A：直角三角形中，若，则，则，故A正确．
选项B：令 ，则
所以 ；
令 ，则 .
所以
即 ，故B正确；
选项C：若，则，，，
所以，故C错误；
选项D：设，，则
因为，
所以
所以（定值），故D正确．
故选：ABD．
12．AC
【分析】根据正弦函数的最值列出不等关系，求得，判断A；结合正弦函数的零点判断B；根据三角函数的平移变换结合奇偶性可求得的值，判断C；根据三角函数的伸缩变化，可得的表达式，结合正弦函数的单调性即可判断D.
【详解】由题意若的图象与直线在上有且仅有1个交点，
则，结合正弦函数图像，如图：
由于，故，
解得，即，A正确；
结合以上分析可知，
令时, ，
由此可知时，函数一定有2个零点，
当时，相应的x可能是函数的零点，也可能不是，
即在上可能有2个零点，也可能有3或4个零点，B错误；
的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，
即平移后图象对应的函数为偶函数，
则，即，
只有当时，，C正确；
将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，
则，，则，
由于，故，而，
故在上不一定单调递增，D错误，
故选：AC
【点睛】关键点睛：本题综合考查正弦型函数的性质，涉及到最值、零点、奇偶性以及平移变换等，综合性强，解答时要能熟练应用正弦函数的相关知识，难点在于要注意采用整体处理的方法，即将角一个整体来处理，另外就是计算较复杂，要十分细心.
13．##
【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式求解.
【详解】由，得，即.
所以.
故答案为: .
14．
【分析】由与的夹角为锐角，可得，且与不同向，先由，再排除时的值，即可得解.
【详解】由题意可得，
因为与的夹角为锐角，
所以且与不同向，
由，即，解得，
当时，则，解得，
综上y的取值范围为.
故答案为：.
15．4
【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．
【详解】设轮船的初始位置为A，20分钟后轮船位置为B，灯塔位置为C，如图所示
由题意得，，，，
由余弦定理得 ，即 ，解得．
则灯塔与轮船原来的距离为4海里
故答案为：4．
16．
【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为，所以，
可得，
因为，所以，
所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.
故答案为：.
17．
【详解】（1）因为，，，所以，
即，所以或．-------------------------------4分
（2）因为，所以，即
所以，
所以，即， -------------------------------------6
所以,，则，
所以.---------------------10
18．
【详解】（1）已知，
由正弦定理得，-------------------------1
，-----------3
显然，------------------------------------4
所以有，得，----------------------------5
因为角为内角，
所以.------------------------------------6
（2）由正弦定理可知，-----------------------7
由（1）可知，因为，
由余弦定理可得，，-----------------------8
所以有，，------------------------------9
解得，.---------------------------12
19．
（1）
，---------------------3
最小正周期，-----------------------------4
因为，所以，----------------------------------5
所以的值域为.---------------------6
（2）
，所以.---------------------8
因为，所以，----------------------------9
所以，----------------------------10
所以-----------------12
20．
【详解】（1）由题知，
-------------------------1
，--------------------2
所以当，---------------------------------3
即时，最大，且最大值为；-------------------5
（2）由(1)知，，
则，
解得或，
所以中，，又，------------------------------6
则，---------------------7
整理得，---------------8
则，---------------9
当且仅当时，等号成立，-------------------10
整理可得，
又在中，所以，-----------11
即的取值范围为. --------------12
21．
【详解】（1）由题意可知，则，--------2
故，要使S不小于64平方米，-----------------3
则，且--------------------------4
，解得或，-------------------------5
即x的取值范围为.-----------------------6
因为，------------------7
令，
由于，所以，---------------8
则，-----------------------9
所以----------------------10
即当时，取到最大值，则的最大值为（平方米），此时的长度为米.---------12
22．
【详解】（1）解：已知，由正弦定理，
得，又，
所以，即，-----1
可得或，因为，，
所以，则，即.-------------------------2
（2）由（1）可知为直角三角形，若，
则，-----------------3
所以，即，则，-------------------4
在中，，，，
所以，----------------------5
令，
又因为，
所以，所以，-------6
令，因为在上单调递增，
所以在上单调递减，----------------7
所以，
所以的取值范围为.----------------------8
（3）的外接圆的半径，设，
则，，
所以，------------9
而，
，------------------10
令，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.--------------------------------12
【点睛】关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用. 考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.