湘教版九年级数学上册 第2章一元二次方程 综合素质评价试题（含答案）

第2章一元二次方程 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．【母题：教材P29习题T5】下列方程是关于x的一元二次方程的是(　　)
A．3x2－5y＋4＝0 B．－2x－1＝0
C．2x3＋3x2－7＝0 D．5x(x－3)＝9
2．【2022·青海】已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为(　　)
A．4　 B．－4 C．3 D．－3
3．用配方法解方程x2－4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)
A．(x－2)2＝3 B．(x＋2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x－2)2＝5
4．一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2的值为(　　)
A．－2　 B．1 C．2 D．0
5．【2023·怀化三中模拟】解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③x2－5x＋2＝0；④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是(　　)
A．依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B．依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
6．若菱形两条对角线的长度是x2－6x＋8＝0的两根，则该菱形的边长为(　　)
A． B．4 C．25 D．5
7．【2023·常德五中模拟】定义新运算a*b；对于任意实数a，b均满足a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6，若x*k＝x(k为实数) 是关于x的方程，则它的根的情况是(　　)
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(　　)
9．【新情境】2022年年底第二十二届世界杯在卡塔尔成功举办，世界杯期间某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是(　　)
A．x(x＋1)＝66　 B．x(x－1)＝66
C．x(x＋1)＝66 D．x(x－1)＝66
10．若整数a使得关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋2ax＋a－1＝0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(每题3分，共24分)
11．【2023·浦北中学月考】把方程3x2＋5x＝2化为一般形式为____________．
12．关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝0的根是________________．
13．【母题：教材P45习题T4】【2022·长沙】关于x的一元二次方程x2＋2x＋t＝0有两个不相等的实数根，则实数t的值为________．
14．已知t2－3t＋1＝0，则t＋＝________．
15．已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是________．
16．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，设矩形的长为x cm，则列方程为________________．
17．【母题：教材P57复习题T14】已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．
18．有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4.把十位上的数字与个位上的数字调换位置后，所得的两位数乘原来的两位数得403，则原来的两位数是____________．
三、解答题(19，23，24题每题12分，其余每题10分，共66分)
19．【母题：教材P56复习题T3】解方程：
(1)3x2－1＝4x；　　　　　　　　　　(2)(x＋4)2＝5(x＋4)．
20．【2022·南充】已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．
22．【2023·永州一中模拟】已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方程的一个根．
(1)求a的值及方程的另一个根；
(2)一个三角形的三边长都是此方程的根，求这个三角形的周长．
23．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用(简称“堂食”小面)，也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面)．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元；
(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4 500份，“生食”小面2 500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 a%.统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%.求a的值．
24．【2023·衡阳二中模拟】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动(到达点B即停止运动)，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动(到达点C即停止运动)．
(1)如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，经过几秒时，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？
(2)如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒后，P，Q相距6厘米？
答案
一、1．D
2．B　【点拨】将x＝1代入方程，解出m的值即可．
3．A　【点拨】x2－4x＋1＝0，移项得x2－4x＝－1，配方得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3.
4．C
5．C
【点思路】通过观察一元二次方程的形式来判断解方程的方法．
6．A　【点拨】解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.如图，四边形ABCD为菱形，AC>BD，∴AC＝4，BD＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝CO＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得AD＝＝＝，即菱形的边长为，故选A.
7．B　【点拨】根据新运算法则可得x*k＝(x＋k)(x－k)－1＝x2－k2－1，则x*k＝x即为x2－k2－1＝x，整理得x2－x－k2－1＝0，则a＝1，b＝－1，c＝－k2－1，可得Δ＝(－1)2－4×1×(－k2－1)＝4k2＋5>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选B.
8．B　【点拨】由一元二次方程有两个不相等的实数根得Δ>0，可得kb<0，据此可得答案．
9．D
10．C
【点思路】通过一元二次方程有实数根，并且二次项系数不为零，再解不等式组，即可判断符合条件的整数a的个数为5.
二、11．3x2＋5x－2＝0
12．x1＝3，x2＝2
13．t<1　【点拨】∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋t＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22－4×1×t>0，∴t<1.
14．3　【点拨】t＋＝＋＝，又∵t2－3t＋1＝0，∴t2＋1＝3t，则t＋＝＝＝3.
15．3
【点易错】本题易忽略一元二次方程有两个实数根的前提是Δ≥0而致错．
16．x(20－x)＝64
17．直角
18．13或31　【点拨】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为4－x，则这个两位数为10(4－x)＋x＝40－9x.把十位上的数字与个位上的数字调换位置后，所得两位数为10x＋(4－x)＝9x＋4，因为所得的两位数乘原来的两位数得403，所以(9x＋4)(40－9x)＝403，解得x1＝1，x2＝3，所以原来的两位数为13或31.
三、19．解：(1)3x2－4x－1＝0，∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝
(－4)2－4×3×(－1)＝16＋12＝28>0.∴x＝＝，∴x1＝，x2＝.
(2)(x＋4)2＝5(x＋4)，(x＋4)2－5(x＋4)＝0，(x＋4)(x＋4－5)＝0，(x＋4)(x－1)＝0，∴x＋4＝0或x－1＝0，∴x1＝－4，x2＝1.
20．解：(1)∵一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，∴Δ≥0，即32－4(k－2)≥0，解得k≤.
(2)∵方程的两个实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2.
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，∴x1x2＋x1＋x2＋1＝－1，∴k－2－3＋1＝－1，解得
k＝3.
21．(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)
＝4m2＋4m＋1－4m＋8
＝4m2＋9>0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－(2m＋1)，
x1x2＝m－2.
由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1.解得m＝8.
22．解：(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，得9(a－1)－12－1＋2a＝0.
解得a＝2.
将a＝2代入原方程，得x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0，
∴x1＝1，x2＝3.
∴方程的另一个根是x＝1.
(2)∵三角形的三边长都是这个方程的根，
∴①当三边长都为1时，周长为3；
②当三边长都为3时，周长为9；
③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；
④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．
综上，三角形的周长为3或9或7.
23．解：(1)设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别为x元，y元．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别为7元，5元．
(2)“堂食”小面和“生食”小面4月的总销售额为4 500×7＋2 500×5＝44 000(元)．
根据题意得5××2 500×(1＋a%)－5×2 500＝44 000×a%.
设a%＝m，原方程可化为5×(1－m)×2 500×－5×2 500＝44 000×m.
化简，得25m2－2m＝0.
解这个方程，得m1＝0.08，m2＝0(舍去)．
所以a＝8.
答：a的值为8.
24．解：(1)设t秒时，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一，根据题意得
×2t(6－t)＝××6×8，解得t＝2或t＝4.
由题意得0≤t≤4，则t＝2，t＝4均符合题意．
答：2秒或4秒时，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一．
(2)设x秒时，P，Q相距6厘米，根据题意易得(6－x)2＋(2x)2＝36，解得x＝0或x＝.
x＝0，x＝均符合题意．
答：0秒或秒时，P，Q相距6厘米．