郑州四禾美术学校 2022-2023 2学年第二学期高二数学期中考试试卷 (2)由(1)得 ( ) = + 26 50 25 ln 5 ( ≥ 10)
【答案】 ( ) = 26 1 ( 1)( 25)则 ′ 25 + 25 = 25 ，令 ′( ) = 0，则 = 1(舍)或 = 25，
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
当 ∈ (10,25)时， ′( ) > 0，因此 ( )在(10,25)上是增函数；
9. 10. 11. 12.
当 ∈ (25, + ∞)时， ′( ) < 0，因此 ( )在(25, + ∞)上是减函数，
13. 195 14. 160 15. 12310 16. ( ∞,1] ∴ = 25为 ( )的极大值点，也是最大值点，且 max = 25 = 11.9，
17. 解：(1)由 1，2，3，4，5，6这六个数字，可组成 6 × 6 × 6 = 216个可重复的三位数； 所以当投入 25万元时，旅游增加值利润最大，最大利润是 11.9万元．
(2)可组成 36 = 6 × 5 × 4 = 120个不重复的三位数； 21. 解：(1)由第 4项的二项式系数与第 3项的二项式系数的比为 8：3，
(3)末尾为 5，先选择末尾数 5，有 1种，再从剩下的 5个数中选择两个元素有 5 × 4 = 20 种， 可得
3
= 8 2 8 2 3，化简可得 3 = 3，求得 = 10．
故没有重复数字的末位数字是 5的三位数有 20个
(2)由于( 2 )10 二项展开式的通项公式为 +1 = ( 2)
5 10 ，
18. 解：(Ⅰ)设等差数列{ }的公差为 ，
令 5 = 3，求得 = 2，可得展开式中
9
3项的系数为( 2)2 210 = 180．
∵ 3 = 2，前 3项和 3 = 2． 10
(3)由二项式定理可得 2 = 10 =0 2
10 5 ，
∴ 9 11 + 2 = 2，3 1 + 3 = 2，解得 1 = 1， = 2．
所以令 = 1，得 0 2 110 10 + 4 2 310 8 10 + … + 1024 10 1010 = (1 2) = 1．
∴ = 1 + 1 ( 1) = +1 2 2 ； 22. 解：(1) ( ) = 的定义域为 ， ′( ) = (1 + ) ， ′(1) = 2 ，又 (1) = ，
(Ⅱ) 31 = 1 = 1， 4 = 15 = 8，可得等比数列{ }的公比 满足 = 8， ∴曲线 ( )在 = 1 处的切线方程为 = 2 ( 1)，即 2 = 0；
解得 = 2．∴ { }前 = 2 1项和 = 2 1． (2) ′( ) = (1 + )
，令 ′( ) = 0，得 = 1，
2 1
列表如下：
19. 解：(1)100件产品，从中任意抽出 3件检查，共有 3100 = 161700种不同的抽法；
1
(2)事件分两步完成，第一步从 2 1 ( ∞, 1) ( 1, + ∞)件次品中抽取 件次品，第二步从 98件正品中抽取 2件正品，
′ 0 +
根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有 1 22 98 = 9506种不同的抽法；
( )
1
(3)利用间接法，从中任意抽出 3件检查，共有 3100种不同的抽法， ( ) 递减 极小值 递增
全是正品的抽法有 398，则至少有一件是次品的抽法有 3 3100 98 = 9604种不同的抽法； ∴ ( )的单调递减区间是( ∞, 1)，单调递增区间是( 1, + ∞)，
(4)恰好有一件是次品，再把抽出的 3件产品放在展台上，
所以 ( ) = ( 1) = 1极小值 ，无极大值;
排成一排进行对比展览，共有 9506 × 6 = 57036种不同的排法．
1 (3)由(2)知 ( )在 = 1处取极小值，无极大值，则 ( )min = ( )极小值 =
1
，无最大值，所以 ( )的值域
2 × 100 + 10 ln2 = 17.720. 解：(1)由条件 1 ,
2 × 225 + 15 ln3 = 25 为[
1
, + ∞),
= 1 , = 51解得 ， 因为方程 = 0 有实数解，所以 = ( )有实数解，25 25
2 51 所以 的范围就是函数 ( )的值域，则 = 50+ 25 ln 5 ( ≥ 10)，
1
2 2 所以实数 的范围为[ , + ∞)．
则该景点改造升级后旅游增加利润为 ( ) = + 51 ln = + 26
50 25 5 50 25 ln
( ≥ 10)．5
第 1页，共 1页郑州四禾美术学校 2022-2023学年第二学期高二数学期中考试试卷 8. 已知( + 1)5 = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 54 + 5 ，则 2 + 4的值为 ( )
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
满分 150 分
12 60.0 9. 函数 = 2 ln 的单调递减区间为 ( )一、单选题（本大题共 小题，共 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
A. 0, 1 B. 1 , + ∞ C. 1 , 2 ∞, 21. 3 4 5 6数列 ， ， ， ， ，则该数列的第 项应为 ( ) D.2 2 2
5 7 9 11
+2 +2 10. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四A. 2 1 B. C. 2 +1 D.2 3 2 +3 种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方
2. 下列求导正确的是( )
A. (3 2
1
2)’ = 3 B. (log2 )’ =
1
·ln 2 C. (cos )’ = sin D. ’ = ln 法种数为 ( )
3. 在等差数列{ }中， 1 + 2 = 5， 5 + 6 = 7，则 9 + 10 =( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 A. 84 B. 72 C. 64 D. 56
4. . 11.
的展开式共有七项，且常数项为 20，则 =( )
《莱因德纸草书》( )是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样
100 A. 1 B. 1 C. 2 D. 2的题目，请给出答案：把 个面包分给 5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使
1 12. 已知函数 ( ) = 1 2 ln + ( ) 在 1,+∞ 上单调递增，则实数 的取值范围是 ( )较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小的一份为． 2
7
5 10 5 11 A. ≤ 0 B. 0 ≤ ≤ 1 C. ≤ 2 D. <2A. B. C. D.
3 3 6 6 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分）
5. 已知函数 = ( )的图象是下列四个图象之一，且其导函数 = ′( )的图象如图所示， 13. 37 46 = ．
14. 在(2 1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是____. (用数字作答)
( ) 15. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.它的则该函数的图象是
开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第 1行开始的每
1
一个数C 都换成分数 +1 C ，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了
很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第 10行第 5个数是
A. B. C. D. ___________．
6. 4名学生和 3位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有 ( )
A. 240种 B. 2880种 C. 720种 D. 960种
7. 已知函数 = 3 2 ′ 1 ，则 ′ 1 的值为 ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
第 1页，共 2页
16. 若 ≥ + 在 上恒成立，则实数 的取值范围为 ． 20. (本小题 12.0分)
三、解答题（本大题共 6小题，第 17题 10分，18至 22题每题 12分，共 70.0分。解答应写出文字说明， 某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来
证明过程或演算步骤） 参观旅游，为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后
17. (本小题 10.0分) 1 旅游增加值 万元与投入 ≥ 10 万元之间满足： = 2 + ln ( , 为常数)，当 =
2 5
由 1，2，3，4，5，6这六个数字可组成多少个： 10万元时， = 17.7万元，当 = 15万元时， = 25万元．
(1)三位数？ (参考数据：ln2 = 0.7, ln3 = 1.1, ln5 = 1.6)
(2)没有重复数字的三位数？ (1)写出该景点改造升级后旅游增加利润 万元与投入 万元的函数解析式：(利润=旅游增
(3)没有重复数字的末位数字是 5的三位数？
加值 投入)
(2)投入多少万元时，旅游增加值利润最大？最大利润是多少万元？(精确到 0.1)
18.(本小题 12.0分) 21. (本小题 12.0分)
已知等差数列{an}满足a3 = 2 3 S =
9
，前 项和 3 ． ( 22 已知 ) 二项展开式中，第 4项的二项式系数与第 3项的二项式系数的比为 8：3．
(Ⅰ)求{an}的通项公式； (1)求 的值；
(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b1 = a1，b4 = a15，求{bn}前 n项和Tn． (2)求展开式中 3项的系数；
(3)计算式子 的值．
19. (本小题 12.0分)
22. (本小题 12.0分)
在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从 98件正品和 2件次品共 100
3 设函数 ( ) =
．
件产品中，任意抽出 件检查．
(1) (1)求曲线 ( )在 = 1处的切线方程；共有多少种不同的抽法？
(2) (2)求 ( )的单调区间与极值；恰好有一件是次品的抽法有多少种？
(3) (3)若方程 = 0有实数解，求实数 的范围．至少有一件是次品的抽法有多少种？
(4)恰好有一件是次品，再把抽出的 3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多
少种不同的排法？
第 2页，共 2页
