吉林省长春市吉林省第二实验学校2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 吉林省长春市吉林省第二实验学校2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 993.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-12 14:20:45 | ||
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文档简介
吉林省第二实验学校2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题
2023年4月
本试卷分客观题和主观题两部分共22题，共150分，共3页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.
第I卷客观题
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱 五棱锥都是六面体.
A.①②④⑥ B.②③④⑤ C.①②③⑥ D.①②⑤⑥
2.在，若，则的形状是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.在平面直角坐标系中，点，且是线段的一个三等分点（靠近点），则向量（ ）
A. B. C. D.
4.如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A.6 B. C.8 D.
5.在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A. B.2 C. D.1
6.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.4
8.记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量，则下列说法错误的是（ ）
A.若，则的值为
B.与垂直的单位向量一定为
C.的最小值为3
D.若在上的投影向量为（为与向量同向的单位向量），则
10.在中，角所对的边分别为，且，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.若，则内切圆的半径为2
C.若，则
D.若为内一点满足，则与的面积相等
11.下列说法中正确的有（ ）
A.已知在上的投影向量为且，则；
B.已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；
C.若非零向量满足，则与的夹角是.
D.在中，若，则为锐角；
12.在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则面积的最大值为
B.若，且只有一解，则的取值范围为
C.若，且为锐角三角形，则的取值范围为
D.为的外心，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知为虚数单位，复数满足，记为的共轭复数，__________.
14.在中，角所对的边分别为，且面积为，若，则__________.
15.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则MPN的余弦值为__________.
16.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国 各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______.
第II卷 主观题
四，解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知
（1）求；
（2）设的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值.
18.已知复数（，是虚数单位）.
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
19.如图，在菱形中，，
（1）若求；
（2）若菱形的边长为，
（i）用表示；
（ii）求的取值范围.
20.某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
21.如图，四边形ABCD中，.
（1）若，求△ABC的面积；
（2）若，，，求∠ACB的值.
22.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列的问题中，并解决问题.
的内角A B C的对边分别为 ，已知____________.
（1）求B；
（2）若的外接圆半径为，求的最大值.
吉林省第二实验学校2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题答案
2023年4月
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.C 2.В 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BD 10.BCD 11.AC 12.ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14.3 15. 16.①.1 ②.
四 解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1）；（2）；（3）.
（1）因为，
所以；
（2）由题意得，
，
故；
（3）因为向量与互相垂直，故，
即.
18.【答案】（1）（2）
（1）解：，
，
因为在复平面内对应的点落在第一象限，
所以，解得；
（2）解：因为虚数是实系数一元二次方程的根，
所以虚数也是一元二次方程的根，
则，
所以.
19.【答案】（1）（2）①；②
（1）解：在菱形中，，
且，
又
（2）（i）菱形，
（ii）
，
的取值范围是：
20.【答案】（1）海里；（2）小时
（1）由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以海里，
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，
所以需要的时间为小时，
所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.
21.【答案】（1）
（2）∠ACB=
（1）在△ABC中，，
因为，所以.
.
（2）设，则，，.
在△ACD中，由，得.
在△ABC中，由，
得.
联立上式，并由得，
整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得，即∠ACB的值为.
22.【答案】（1）；（2）6
（1）若选①，由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
因为，所以；
若选②，由正弦定理可得，
因为，所以，
因为，所以；
若选择③，因为，
所以，即，
因为，所以；
（2）∵外接圆半径为，
∴.
由余弦定理，得，
∴，化简得.
配方可得，
∵，∴，解之得，
因此，当且仅当时等号成立.
所以的最大值为6.
数学试题
2023年4月
本试卷分客观题和主观题两部分共22题，共150分，共3页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.
第I卷客观题
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱 五棱锥都是六面体.
A.①②④⑥ B.②③④⑤ C.①②③⑥ D.①②⑤⑥
2.在，若，则的形状是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.在平面直角坐标系中，点，且是线段的一个三等分点（靠近点），则向量（ ）
A. B. C. D.
4.如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A.6 B. C.8 D.
5.在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A. B.2 C. D.1
6.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.4
8.记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量，则下列说法错误的是（ ）
A.若，则的值为
B.与垂直的单位向量一定为
C.的最小值为3
D.若在上的投影向量为（为与向量同向的单位向量），则
10.在中，角所对的边分别为，且，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.若，则内切圆的半径为2
C.若，则
D.若为内一点满足，则与的面积相等
11.下列说法中正确的有（ ）
A.已知在上的投影向量为且，则；
B.已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；
C.若非零向量满足，则与的夹角是.
D.在中，若，则为锐角；
12.在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则面积的最大值为
B.若，且只有一解，则的取值范围为
C.若，且为锐角三角形，则的取值范围为
D.为的外心，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知为虚数单位，复数满足，记为的共轭复数，__________.
14.在中，角所对的边分别为，且面积为，若，则__________.
15.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则MPN的余弦值为__________.
16.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国 各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______.
第II卷 主观题
四，解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知
（1）求；
（2）设的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值.
18.已知复数（，是虚数单位）.
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
19.如图，在菱形中，，
（1）若求；
（2）若菱形的边长为，
（i）用表示；
（ii）求的取值范围.
20.某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
21.如图，四边形ABCD中，.
（1）若，求△ABC的面积；
（2）若，，，求∠ACB的值.
22.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列的问题中，并解决问题.
的内角A B C的对边分别为 ，已知____________.
（1）求B；
（2）若的外接圆半径为，求的最大值.
吉林省第二实验学校2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题答案
2023年4月
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.C 2.В 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BD 10.BCD 11.AC 12.ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14.3 15. 16.①.1 ②.
四 解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1）；（2）；（3）.
（1）因为，
所以；
（2）由题意得，
，
故；
（3）因为向量与互相垂直，故，
即.
18.【答案】（1）（2）
（1）解：，
，
因为在复平面内对应的点落在第一象限，
所以，解得；
（2）解：因为虚数是实系数一元二次方程的根，
所以虚数也是一元二次方程的根，
则，
所以.
19.【答案】（1）（2）①；②
（1）解：在菱形中，，
且，
又
（2）（i）菱形，
（ii）
，
的取值范围是：
20.【答案】（1）海里；（2）小时
（1）由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以海里，
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，
所以需要的时间为小时，
所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.
21.【答案】（1）
（2）∠ACB=
（1）在△ABC中，，
因为，所以.
.
（2）设，则，，.
在△ACD中，由，得.
在△ABC中，由，
得.
联立上式，并由得，
整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得，即∠ACB的值为.
22.【答案】（1）；（2）6
（1）若选①，由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
因为，所以；
若选②，由正弦定理可得，
因为，所以，
因为，所以；
若选择③，因为，
所以，即，
因为，所以；
（2）∵外接圆半径为，
∴.
由余弦定理，得，
∴，化简得.
配方可得，
∵，∴，解之得，
因此，当且仅当时等号成立.
所以的最大值为6.
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