湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（含答案）

2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高二数学试卷
考试时间：2023年4月10日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数可导，且满足，则函数在x=3处的导数为（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.已知.则（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
3.下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知直线l是曲线的切线，切点横坐标为-1，直线l与x轴和y轴分别相交于A B两点，则△OAB面积为（ ）
A. B.1 C. D.
5.某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）参考数据：
A.2.438 B.19.9 C.22.3 D.24.3
6.学校音乐团共有10人，其中4人只会弹吉他，2人只会打鼓，3人只会唱歌，另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱，2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队，则不同的组合方案共有（ ）
A.36种 B.78种 C.87种 D.90种
7.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ）
A.常数项为第三项
B.展开式的二项式系数和为729
C.展开式系数最大项为第三项
D.展开式中系数最大项的系数为240
10.对于数列，把它连续两项与的差记为得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列.若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列 如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列满足且，则下列结论中正确的有（ ）
A.数列为二阶等差数列
B.数列为三阶等差数列
C.数列的前n项和为
D.若数列为k阶等差数列，则的前n项和为阶等差数列
11.已知函数，其中且，则下列说法正确的有（ ）
A.的对称中心为
B.恰有两个零点
C.若方程有三个不等的实根，则
D.若方程的三个不等实根分别为，则
12.建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有这些不等式同样体现数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.己知函数，则的值为__________.
14.已知某等比数列首项为4，其前三项和为12，则该数列前四项的和为__________.
15.用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位 十位 百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有__________个.
16.函数的值域是实效集R，则实数a的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17，某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.
（1）若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？
（2）郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？
18.已知函数的一个极值点是-1
（1）求函数的极值：
（2）求函数在区间上的最值.
19.已知数列的前n项和
（1）求数列的通项公式：
（2）设数列满足：，求数列的前2n项和.
20.在探究的展开式的二项式系数性质时.我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的降幂排列，将各项系数列表如下（如图2）；
上表图2中第n行的第m个数用表示，即“展开式中的系数为
（1）类比二项式系数性质表示（无需证明）：
（2）类比二项式系数求和方法求出三项式展开式中x的奇次项系数之和.
21.已知正项数列满足且
（1）求的通项公式
（2）设数列的前n项和为，是否存在p q使恒成立，若存在，求出p q的值：若不存在，请说明理由
22.已知函数
（1）求的单调区间：
（2）若方程的两个实根分别为（其中），求证：
2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高二数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B C C B D A CD ABD ABD BC
13.0 14.16或-20 15.45 16.
8.【详解】已知函数，则有且只有一个负整数解.
令，则，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，当时，取得最小值-1.
设，则恒过点
在同一坐标系中分别作出和的
简图，显然，
依题意得且即
且，解得.
故选：A.
10.【详解】因为，所以，，两式相减得：
，即
故，
，故数列为二阶等差数列，故A正确；
对数列，它的一阶差数列为，为二阶等差数列，故为三阶等差数列，故B正确；，故的前项和为，故C错误；
对数列，它的一阶差数列为，为阶等差数列，故为阶等差数列，
故D正确.
故选：ABD
11.【详解】由于，故对称中心为，A选项正确；
，当时，，其中为极小值点，为极大值点，其中，由于，当时，当时，两种情况下均只有两个零点，选项正确；
当时，当时，C选项错误；
由于的三个零点分别为
故，
即
故
因此，D选项正确.故选：ABD
12.【详解】令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
故，当且仅当时等号成立，
A选项：时不等式左右两端相等，故错误；
选项：将中的替换为，可得，
当且仅当时等号成立，
令，可得，
所以，
故，
其中，
所以，B正确；
C选项：将中的替换为，显然，
则，
故，
当时，，故成立；
当时，显然成立，
故正确；
选项：将中的替换为，其中，且，则，
则，故，
则，又，D错误.
故选：
15.【详解】设对应个位到百位上的数字，则且，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，即10个空用2个隔板将其分开，故共种.故答案为：45.
16.【详解】函数的值域是实数集，则能取遍内所有的数.，
当时，，函数值域恒为；
当时，令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
成立，令，
在上单调递增且，故.
综上：.
17.（1）40（2）30240
【详解】（1）八个人坐两台车，只需要考虑车坐的人，先选一位老师坐入车，共种选法，再选三名学生坐入车，共种选法，因此共有种分配方式；
（2）先让6名学生排队，共种方法，然后两名老师插入7个空隙，共种方法，因此共有种站法.
18.【详解】（1），
有一个极值点是，
即又，
-1 3
- 0 + 0 -
单调递减 单调递增 单调递减
当时，有极小值，极小值为.
当时，有极大值，极大值为.
（2）由（1）知，在上递减，上递增，上递减，
又
在上的最大值为.
在上的最小值为.
19.（1） （2）
【详解】（1）时显然时
时也满足该等式，故，
（2），
.
因此
20.【详解】（1）.
（2）由题意，设，
当时①
当时，②
①-②得：，
即展开式中的奇次项系数之和为-16.
21.【详解】（1），
，
为正项数列，，
即.
（2），
，
，
，
又恒成立，
解得：，
存在满足条件.
22.【详解】（1），
当时单调递增，
当时，单调递减，
的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在上递增，上递减的两个零点
下面先证明：
要证，只需证只需证，
即证，
设，
当时，
，
，
即在上递增，，
即成立，.
下面证明：
是函数的零点，
设零点为，要证：即证.
又在上递增，上递减，则则.
要证即证即，
令，
，
，
即，
即单调递增，又，
单调递减，，
即，
成立，即成立，综上所述：.