6.2 排列与组合 课时作业（含解析）

6.2 排列与组合 课时作业
一、单选题
1．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只能去1个场馆，则不同的安排方法共有（ ）
A．729 B．726 C．543 D．540
2．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂专业生产水稻收割机，它有三个等级：一级品 二级品和三级品.现A车间中有4个一级品，4个二级品和2个三级品，B车间中有5个一级品，3个二级品和2个三级品，先从B车间中随机取出两个水稻收割机放入A车间，再从A车间中随机取出一个水稻收割机，则从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列问题中不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2020个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
5．从单词“”中选取个不同的字母排成一排，含有、（其中、相连）的不同排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（　　）种不同的涂色方法？
A．260 B．180 C．240 D．120
二、多选题
7．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（ ）
A．共有种不同的排法 B．男生不在两端共有种排法
C．男生甲、乙相邻共有种排法 D．三位女生不相邻共有种排法
8．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．大学生小明与其他四位大学生分配到甲、乙、丙三个村庄当村干部，要求每个村庄至少一名大学生村干部，则小明分配到甲村的分配方法有_____种.（用数字作答）
10．不等式的解集是___________.
11．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有______种．
12．____________
四、解答题
13．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4．
（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？
（2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
14．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（2）正好是两个白球的取法有多少种？
（3）至少有一个白球的取法有多少种？
（4）两球的颜色相同的取法有多少种？
15．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人必须当选；
(2)甲必须当选，乙、丙不能当选；
(3)甲、乙、丙三人至多2人当选.
16．在100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．
(1)都不是次品的取法有多少种？
(2)至少有1件次品的取法有多少种？
(3)不都是次品的取法有多少种？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由题意可得从6名同学中选一名到甲、乙、丙三个场馆，方法有种，同理可得从6名同学中选第二名到甲、乙、丙三个场馆，也有种方法，由分步计数原理可得答案.
【详解】解：首先从6名同学中选一名到甲、乙、丙三个场馆，方法有种，
同理可得选第二名同学到甲、乙、丙三个场馆，方法有种，依此类推，
由分步计数原理可得6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者共有，
故选：A.
【点睛】本题主要考查排列组合中的分步计数原理，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题型.
2．B
【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有种分法；
其中伯爵恰有两人的分法有种分法，
伯爵恰有两人的概率.
故选：.
【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.
3．C
【分析】用排列组合的方法结合古典概型的概率公式来求古典概型的概率.
【详解】记事件M为“从A车间中取出的水稻收割机为三级品”，记表示从B车间中随机取出两个一级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出两个二级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出两个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个一级品1个二级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个一级品1个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个二级品1个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品.
从B车间中随机取出两个一级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；
从B车间中随机取出两个二级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；
从B车间中随机取出两个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；
从B车间中随机取出1个一级品1个二级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；
从B车间中随机取出1个一级品1个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；
从B车间中随机取出1个二级品1个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以.
所以
.
故选：C.
4．D
【分析】因为组合是与顺序无关的，所以A，B，C都是组合问题，D是排列问题．
【详解】选项A中 ，是组合问题；选项B中，是组合问题；选项C中，是组合问题；选项D中 有顺序，是排列问题.
故选：D.
5．D
【分析】先确定从中选择个不同的字母，且含有、的选法种数，然后将、这两个字母捆绑，利用捆绑法以及分步乘法计数原理可得结果.
【详解】单词“”中共有个字母，且这个字母都不相同，
从中选择个不同的字母，且含有、的选法种数为种，
若、相连，将这两个字母捆绑，则不同的排法种数为种，
由分步计数原理可知，不同的排法种数为种.
故选：D.
6．A
【分析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，最多四种颜色，分类讨论，最后相加.
【详解】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有种方法．
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．
在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，
根据分步计数原理求得共种涂法．
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法．
∴共有涂色方法120+120+20＝260种，
故选：A．
7．AC
【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答.
【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；
男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；
男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；
三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确.
故选：AC
8．CD
【分析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可
【详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有种排法；
②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有种情况．
则有种排法，
第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有种排法，
再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有种排法，
则歌手不相邻有种排法．
故选：CD
9．
【分析】人分三组，则人数为、、或、、，根据甲村分配人数进行讨论求解即可．
【详解】人分三组，则人数为、、或、、.
①若甲村只有人，则只能是小明去，其他人分两组有（种）；
②若甲村去人，则有（种）；
③若甲村去人，则（种）.
综上所述，小明分配到甲村的分配方法种数为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据甲村分配人数进行讨论是解决本题的关键，考查计算能力，属于中等题.
10．
【分析】利用组合数公式求解.
【详解】根据题意，得
即
解得，；
∴原不等式的解集为.
故答案为：
11．30
【分析】先假设可放入一个盒里，那么方法有种，减去在一个盒子的情况，就有5种，把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，从而可得到结果．
【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球，先假设可放入一个盒里，那么方法有.
再减去在一起的情况，就是种．把2个球的组合考虑成一个元素，
就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有种．
∴根据分步计数原理知共有种．
故选：C．
【点睛】本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起，或两个元素不能相邻，这都是常见的问题，需要掌握方法．
12．
【分析】由排列数公式即可得到答案.
【详解】.
故答案为：
【点睛】本题考查排列数公式，考查学生对排列数公式的记忆，是一道容易题.
13．（1）116(个)；36(个)；（2）360(个)．
【解析】（1）可以分成三类即在C1，C2，…，C6这六个点任取三点，在C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点和C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点，将三类情况加到一起即可；
（2）需要四个点，且无三点共线，类似于（1）可分三种情况讨论得四边形个数为
【详解】（1）可分三种情况处理：
①C1，C2，…，C6这六个点任取三点可构成一个三角形,有种；
②C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个三角形，有种；
③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个三角形，有．
所以共有=116(个)．
其中含C1点的三角形有=36(个)．
（2）构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
C1，C2，…，C6这六个点中任意三点都不共线.
①C1，C2，…，C6这六个点任取四点可构成一个四边形，有种；
②C1，C2，…，C6中任取三点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个四边形，有种；
③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个四边形，有种．
所以共有=360(个)．
【点睛】关键点睛：本题考查解决组合的实际问题，解答本题的关键是将问题分为三类，即以在C1，C2，…，C6和取点的个数情况进行分类讨论，属于中档题.
14．（1）80；（2）28；（3）108；（4）73.
【分析】（1）由分步乘法即可得解；
（2）利用组合的知识运算即可得解；
（3）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解；
（4）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法、组合即可得解.
【详解】（1）取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法；
所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种；
（2）取出两个球正好是两个白球的取法有种；
（3）至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球，共有种取法；
（4）两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球，
两球全是红球的选法有种，
所以两球的颜色相同的取法有种.
15．(1)36；
(2)126；
(3)756﹒
【分析】(1)只需从除掉甲、乙、丙的9人中选2人即可；
(2)只需从除掉甲、乙、丙的9人中选4人即可；
(3)从所有选法中去掉甲、乙、丙均当选的情况即可.
(1)
甲、乙、丙都入选，余下9人中选2人，有种选法；
(2)
甲入选，乙、丙不能当选，则要在余下的9人中选4人，有种选法；
(3)
所有的选法种数为，甲、乙、丙都入选有种选法，故有种选法.
16．(1)种
(2)种
(3)种
【分析】（1）直接根据组合数进行计算即可；
（2）（3）可以先考虑对立情况，然后用总体减去对立情况即可求解答案；
【详解】（1）根据题意，抽取的4件都不是次品，即4件都为合格品，
故有种；
（2）根据题意，抽取的4件里面至少有1件次品，
可以先考虑对立情况，即4件都为合格品，共有（种），
总共有（种），则至少有1件次品有（种）.
（3）根据题意，抽取的4件不都是次品，
可以先考虑对立情况，即4件都是次品，共有（种），
则不都是次品的取法有（种）.
答案第1页，共2页
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