6.3 二项式定理 课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 6.3 二项式定理 课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 247.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-12 15:04:20 | ||
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文档简介
6.3 二项式定理 课时作业
一、单选题
1．的展开式中的系数为（ ）
A．20 B．-40 C．40 D．-10
2．已知：，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
3．在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）．
A． B． C． D．
4．展开式中的各二项式系数之和为1024，则的系数是（ ）
A．-210 B．-960 C．960 D．210
5．的展开式中系数为（ ）
A．180 B．90 C．20 D．10
6．若的展开式中各项系数之和为，所有偶数项的二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C．540 D．180
二、多选题
7．二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
8．已知的展开式的常数项为16，则（ ）
A． B． C．展开式中各项的系数之和为216 D．展开式中的系数为12
三、填空题
9．的二项展开式中，常数项为___________.
10．若，则__________．
11．在展开式中第三项为_________．
12．已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________.
四、解答题
13．在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；条件③：展开式中常数项为第三项.
问题：已知二项式，若___________(填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分)，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中所有的有理项.
14．求证：能被20整除．
15．设n是正整数，化简．
16．已知.
（1）当n＝6时，求的值；
（2）化简：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解
故选：C
2．C
【分析】利用二项式展开式的通项求出即得解.
【详解】由题得的展开式的通项为，
令；令,
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项求系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．C
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．
【详解】解：对于，
对于10﹣3r＝4，
∴r＝2，
则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10
故选．
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
4．B
【分析】由二项式系数和等于，求得n的值，写出通项公式，再按指定项计算可得.
【详解】依题意得：，解得，
于是得展开式的通项为，
由，解得，从而有，
所以的系数是-960.
故选：B
5．A
【解析】利用展开式通项公式即可得解.
【详解】展开式通项公式，
其各项次数依次为,
所以的系数是的一次项系数2乘以展开式的的系数.
由展开式通项公式知 解得，
所以系数为.
故选：A
【点睛】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用.
求解形如 的展开式问题的思路：
(1)若 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如 ，然后展开分别求解．
(2)观察是否可以合并，如 ；
(3)分别得到的通项公式，综合考虑．
6．A
【分析】用赋值法求出，由二项式系数性质求得，根据已知求出，然后由二项展开式通项公式求得的系数．
【详解】记，
则，由二项式系数性质得，
∵，
∴，解得．
∵，
由，得，
∴展开式中含项的系数为．
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求各项系数和、考查二项式系数的性质，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
7．BC
【分析】根据二项式系数的性质进行求解即可.
【详解】根据二项式系数的性质可知，该二项式系数最大的项为：即第5项和第6项，
故选：BC
8．AD
【分析】根据的展开式的常数项为16，求得，再由，利用通项公式及赋值法求解.
【详解】依题意，，
∴.
∴，
∴展开式中的系数为，
展开式中各项系数之和为，
故选：AD.
9．15
【解析】利用二项式的通项公式即可得出结果.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以的二项展开式中，常数项为，
故答案为：15.
【点睛】本题主要考查了二项式的通项公式、常数项的求法，属于基础题.
10．
【分析】令，则有，写出展开式通项，令的指数为，求出参数值，代入通项即可得解.
【详解】令，则有，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
因为，则，故，
令，解得，因此，.
故答案为：.
11．60
【分析】结合已知条件，根据二项式定理中展开式的通项公式即可求解.
【详解】∵展开式的第项为，
∴展开式中第三项为.
故答案为：60.
12．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．根据展开式的系数最大的项等于，求得的值．
【详解】展开式的通项为:
，
令，解得，故展开式的常数项为．
由题意可得，故有．
由于展开式的系数最大的项等于，，解得．
由于，所以
故答案为：
13．条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】先化简条件①②③得到；
（1）二项式系数最大项为，化简计算得解；
（2），所以，2，4，6时，是有理项，计算得解.
【详解】解：选①：由得(负值舍去)；
选②：由得；
选③：设第项为常数项，，
由及得；
（1）由得展开式的二项式系数最大为，
则二项式系数最大项为；
（2）设第项为有理项，由，
因为，，所以，2，4，6，
则有理项为.
14．证明见解析
【分析】通过变形，然后利用二项式定理可证.
【详解】
，
所以能被20整除．
15．
【分析】由二项式定理易知，结合其与目标式的关系，即可得结果.
【详解】由，
∴.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）利用赋值法可求的值.
（2）在中 分别令和后可求的值.
【详解】（1），
令，故，
令，故，
故.
（2）由二项式定理可得，
令，则；
令，则；
故.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．的展开式中的系数为（ ）
A．20 B．-40 C．40 D．-10
2．已知：，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
3．在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）．
A． B． C． D．
4．展开式中的各二项式系数之和为1024，则的系数是（ ）
A．-210 B．-960 C．960 D．210
5．的展开式中系数为（ ）
A．180 B．90 C．20 D．10
6．若的展开式中各项系数之和为，所有偶数项的二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C．540 D．180
二、多选题
7．二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
8．已知的展开式的常数项为16，则（ ）
A． B． C．展开式中各项的系数之和为216 D．展开式中的系数为12
三、填空题
9．的二项展开式中，常数项为___________.
10．若，则__________．
11．在展开式中第三项为_________．
12．已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________.
四、解答题
13．在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；条件③：展开式中常数项为第三项.
问题：已知二项式，若___________(填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分)，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中所有的有理项.
14．求证：能被20整除．
15．设n是正整数，化简．
16．已知.
（1）当n＝6时，求的值；
（2）化简：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解
故选：C
2．C
【分析】利用二项式展开式的通项求出即得解.
【详解】由题得的展开式的通项为，
令；令,
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项求系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．C
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．
【详解】解：对于，
对于10﹣3r＝4，
∴r＝2，
则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10
故选．
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
4．B
【分析】由二项式系数和等于，求得n的值，写出通项公式，再按指定项计算可得.
【详解】依题意得：，解得，
于是得展开式的通项为，
由，解得，从而有，
所以的系数是-960.
故选：B
5．A
【解析】利用展开式通项公式即可得解.
【详解】展开式通项公式，
其各项次数依次为,
所以的系数是的一次项系数2乘以展开式的的系数.
由展开式通项公式知 解得，
所以系数为.
故选：A
【点睛】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用.
求解形如 的展开式问题的思路：
(1)若 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如 ，然后展开分别求解．
(2)观察是否可以合并，如 ；
(3)分别得到的通项公式，综合考虑．
6．A
【分析】用赋值法求出，由二项式系数性质求得，根据已知求出，然后由二项展开式通项公式求得的系数．
【详解】记，
则，由二项式系数性质得，
∵，
∴，解得．
∵，
由，得，
∴展开式中含项的系数为．
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求各项系数和、考查二项式系数的性质，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
7．BC
【分析】根据二项式系数的性质进行求解即可.
【详解】根据二项式系数的性质可知，该二项式系数最大的项为：即第5项和第6项，
故选：BC
8．AD
【分析】根据的展开式的常数项为16，求得，再由，利用通项公式及赋值法求解.
【详解】依题意，，
∴.
∴，
∴展开式中的系数为，
展开式中各项系数之和为，
故选：AD.
9．15
【解析】利用二项式的通项公式即可得出结果.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以的二项展开式中，常数项为，
故答案为：15.
【点睛】本题主要考查了二项式的通项公式、常数项的求法，属于基础题.
10．
【分析】令，则有，写出展开式通项，令的指数为，求出参数值，代入通项即可得解.
【详解】令，则有，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
因为，则，故，
令，解得，因此，.
故答案为：.
11．60
【分析】结合已知条件，根据二项式定理中展开式的通项公式即可求解.
【详解】∵展开式的第项为，
∴展开式中第三项为.
故答案为：60.
12．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．根据展开式的系数最大的项等于，求得的值．
【详解】展开式的通项为:
，
令，解得，故展开式的常数项为．
由题意可得，故有．
由于展开式的系数最大的项等于，，解得．
由于，所以
故答案为：
13．条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】先化简条件①②③得到；
（1）二项式系数最大项为，化简计算得解；
（2），所以，2，4，6时，是有理项，计算得解.
【详解】解：选①：由得(负值舍去)；
选②：由得；
选③：设第项为常数项，，
由及得；
（1）由得展开式的二项式系数最大为，
则二项式系数最大项为；
（2）设第项为有理项，由，
因为，，所以，2，4，6，
则有理项为.
14．证明见解析
【分析】通过变形，然后利用二项式定理可证.
【详解】
，
所以能被20整除．
15．
【分析】由二项式定理易知，结合其与目标式的关系，即可得结果.
【详解】由，
∴.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）利用赋值法可求的值.
（2）在中 分别令和后可求的值.
【详解】（1），
令，故，
令，故，
故.
（2）由二项式定理可得，
令，则；
令，则；
故.
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